专题01 二次根式的综合化简与求值七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题01 二次根式的综合化简与求值七类题型 典例详解 类型一、二次根式的非负性综合 类型二、多层根号化简 类型三、二次根式的混合运算 类型四、分母有理化 类型五、二次根式的整体带入求值 类型六、条件式的化简求值 类型七、含参数的二次根式求参数范围 压轴专练 类型一、二次根式的非负性综合 相二次根式的双重非负性 二次根式的非负性包含两层： 被开方数非负：a ≥0（二次根式有意义的前提条件） 算术平方根非负： ≥0（运算结果的属性） 例1（25-26八年级上·四川达州·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 变式1-1（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 变式1-2（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，则 ． 变式1-3（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为 ． 类型二、多层根号化简 双层根式的化简模型 若能找到两个正数 a,b（a≥b），满足​ 则​== ± （需保证 ± ≥0） 例2（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 变式2-1（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 变式2-2（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 变式2-3（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 类型三、二次根式的混合运算 例3（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 变式3-1（上海市松江区2025－2026学年八年级上学期期末考试数学试卷）计算：； 变式3-2（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 变式3-3（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 类型四、分母有理化 例4（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 变式4-1（25-26八年级上·吉林长春·期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 变式4-2（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 变式4-3（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列式子：． 类型五、二次根式的整体带入求值 例5（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 变式5-1（24-25八年级下·广东广州·月考）请阅读下列材料： 问题：已知 ，求代数式 的值． 小明的做法如下： ， ， 两边平方，得： ， ， ． 把 作为整体代入，得 ，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求代数式 的值； (2)已知 ，求代数式 的值． 变式5-2（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 变式5-3（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)化简：① ，② ． (2)计算：． (3)已知是整数，，，且，则的值为 ． 类型六、条件式的化简求值 例6（北京市延庆区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）已知：，求代数式的值． 变式6-1（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 变式6-2（2021七年级下·四川德阳·学业考试）若，则的值为 ． 变式6-3（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知，且，则的值为 ． 变式6-4（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为 ． 类型七、含参数的二次根式求参数范围 例7（25-26八年级上·上海闵行·月考）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 变式7-1（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 变式7-2（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 变式7-3（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 1.计算： (1)； (2)． 2.先化简，再求值：已知，求的值． 3.已知，求式子的值． 4.已知，判断和的正负并求的值． 5.如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 6.二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则________； (2)已知实数满足，求的值； (3)若x，y为实数，且，求的值． 7.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 8.【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 9.阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 10.已知，，求的平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式的综合化简与求值七类题型 典例详解 类型一、二次根式的非负性综合 类型二、多层根号化简 类型三、二次根式的混合运算 类型四、分母有理化 类型五、二次根式的整体带入求值 类型六、条件式的化简求值 类型七、含参数的二次根式求参数范围 压轴专练 类型一、二次根式的非负性综合 相二次根式的双重非负性 二次根式的非负性包含两层： 被开方数非负：a ≥0（二次根式有意义的前提条件） 算术平方根非负： ≥0（运算结果的属性） 例1（25-26八年级上·四川达州·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知实数m，n（）满足，求的值； (2)若x，y为实数，且，求的值． (3)已知：a、b、c满足，以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的运算，绝对值的非负性，三角形三边关系． （1）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性求出m，n的值，进而代入计算即可； （2）根据二次根式的非负性求出x，y的值，进而代入计算即可； （3）根据二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方的非负性求出a、b、c的值，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而作答即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴或 （3）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形，三角形的周长 变式1-1（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若，为实数，且，求的值； (3)已知实数， 满足，求的值． 【答案】(1)-2 (2)x+y的值为2或8； (3)m+n的值为1． 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得a+b的值为-2； （2）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得x+y的值； （3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得m+n的值． 【详解】（1）解：∵， 且≥0，≥0， ∴a-1=0，且3+b=0， ∴a=1，b=-3， ∴a+b=-2； 故答案为：-2； （2）解：∵x2+9， ∴y-5≥0且5-y≥0， ∴y≥5且y≤5， ∴y=5， ∴x2=9， ∴x=±3， 当x=3时，x+y=3+5=8； 当x=-3时，x+y=-3+5=2； 答：x+y的值为2或8； （3）解：∵|2m-4|+|n+2|++4=2m， ∴（m-3）n2≥0， ∴m≥3， ∴2m-4＞0， ∴|2m-4|+|n+2|++4=2m， 2m-4+|n+2|++4=2m， ∴|n+2|+=0， ∵|n+2|≥0，≥0， ∴n+2=0，（m-3）n2=0， ∴n=-2，m=3， ∴m+n=3-2=1． 【点睛】本题考查的非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解性质的含义，在中考中经常出现． 变式1-2（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，代数式求值，根据题意可得，得出，进而得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 当时， ∴， 故答案为：． 变式1-3（2026八年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为是解题的关键． 先根据互为相反数的两个数和为列出等式，再结合二次根式的非负性，得到关于的方程，求解出的值，最后代入式子计算结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ∵二次根式具有非负性， ∴只有当且时，和为， 解得： 将代入： ​． 故答案为：． 类型二、多层根号化简 双层根式的化简模型 若能找到两个正数 a,b（a≥b），满足​ 则​== ± （需保证 ± ≥0） 例2（25-26八年级上·江苏扬州·月考）阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式。 (1)______； (2)_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点． （1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 变式2-1（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 变式2-2（25-26八年级上·湖南怀化·期中）观察下列等式： 根据上述材料，解决下列问题： (1)化简：= (2)猜想： （，且为整数），并验证你的猜想． (3)计算： 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了化简复合二次根式，分母有理化，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，得，即可作答． （2）模仿题干解题过程，得，即可作答． （3）先根据复合二次根式的性质化简，再进行分母有理化，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式2-3（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们称这个过程为分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”：① _ ____；②______． (2)求的值 (3)设的小数部分为b，求证： 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次根式化简、新定义问题，熟练掌握二次根式化简方法和正确理解新的定义是解题的关键． （1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：，， 原式 （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， 由于 则 由于的小数部分为b， 则 、 所以 因此． 类型三、二次根式的混合运算 例3（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 变式3-1（上海市松江区2025－2026学年八年级上学期期末考试数学试卷）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键．先将除法转化为乘法，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 变式3-2（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 变式3-3（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先计算括号内的表达式，合并同类二次根式，然后利用乘除法则进行化简． 【详解】解： ． 类型四、分母有理化 例4（25-26八年级上·安徽·假期作业）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 变式4-1（25-26八年级上·吉林长春·期末）在探究二次根式时发现了下列有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴． ∴． 请根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，求代数式的值； （1）通过分母有理化，将分母乘以后化简． （2）每个分式分母有理化后，形成望远镜求和，中间项相互抵消． （3）先将分母有理化得到，然后通过变形，平方后得到，再代入所求表达式．仿照题的方法化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，则，即， ∴． 变式4-2（23-24八年级上·上海金山·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，分母有理化，先利用二次根式的性质化简，然后去括号，最后再计算括号外面的即可． 【详解】解： 变式4-3（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）阅读下列材料，并解决相应问题： 应用：用上述类似的方法化简下列式子：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．利用分母有理化计算后，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】解： ． 类型五、二次根式的整体带入求值 例5（25-26八年级上·宁夏银川·期末）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，对x进行分母有理化． (3)结合问题（2）的结论，运用整体代入法，求代数式的值． 【答案】(1)8 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的化简求值． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由分母有理化得； （3）由（2）得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即1， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 变式5-1（24-25八年级下·广东广州·月考）请阅读下列材料： 问题：已知 ，求代数式 的值． 小明的做法如下： ， ， 两边平方，得： ， ， ． 把 作为整体代入，得 ，即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决下列问题： (1)已知 ，求代数式 的值； (2)已知 ，求代数式 的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可； （2）根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 两边平方得：，即， ， ； （2）解：， ， ， 两边平方，得，即， ，即， ． 变式5-2（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【详解】（1）由， 得 ， ， ， 即， ， ， ， ． （2）由， 得 ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 变式5-3（24-25八年级下·山东德州·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)化简：① ，② ． (2)计算：． (3)已知是整数，，，且，则的值为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键； （1）仿照材料中方法求解即可； （2）先分母有理化，再合并即可； （3）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解：①， ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， 故答案为：1． 类型六、条件式的化简求值 例6（北京市延庆区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 变式6-1（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；1 (2)14 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，乘法运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． （1）根据二次根式的加法运算，乘法运算，计算的值即可． （2）根据的值，将代数式通分后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴． 变式6-2（2021七年级下·四川德阳·学业考试）若，则的值为 ． 【答案】2017 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义．解题的关键在于明确．先由二次根式有意义的条件得到：，再化简原等式，利用算术平方根的含义求解 从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验：符合题意； ∴． 故答案为：2017． 变式6-3（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的运算、完全平方公式等知识点，熟知分式混合运算的法则和换元法是解题的关键． 由已知条件，设，则，代入得，再利用完全平方公式求的值，结合确定符号即可解答． 【详解】解：设，则，且，代入得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即. 故答案为：． 变式6-4（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的化简求值，化简二次根式是解决此题的关键． 将所求表达式化简，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：8． 类型七、含参数的二次根式求参数范围 例7（25-26八年级上·上海闵行·月考）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 变式7-1（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 变式7-2（25-26八年级上·湖南长沙·月考）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 变式7-3（25-26八年级上·上海宝山·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】 变式7-4【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，理解最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键．先由被开方数相等列方程 ，然后验证被开方数非负且为最简二次根式． 【详解】由同类二次根式的定义，得： ， 移项整理： ， 解得，， 当 时，，不是最简二次根式，不符合题意， 当 时，，，最简二次根式，符合题意， 故答案为： ． 1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）直接运用二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 2.先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把分式的除法转化成乘法，再约分计算即可，利用分母有理化求出x的值，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解： ∴原式． 3.已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 4.已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可． 本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 5.如果最简二次根式与同类二次根式，且，求x，y的值． 【答案】x=4，y=3． 【分析】根据同类二次根式的概念列式求出a，根据算术平方根的非负性计算即可． 【详解】∵最简二次根式与同类二次根式， ∴3a+4=19-2a， 解得，a=3， ∴，即 ∵≥0，≥0， ∴12-3x=0，y-3=0， 解得，x=4，y=3． 【点睛】本题考查的是最简二次根式、同类二次根式的概念以及二次根式的性质，掌握二次根式是非负数是解题的关键． 6.二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则________； (2)已知实数满足，求的值； (3)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2)5 (3)11或 【分析】（1）利用非负数的性质，可求a，b的值，从而求得的值； （2）利用二次根式有意义的条件和绝对值的非负性，求出m，n的值，即可得出的值． （3）利用二次根式有意义的条件，可得y值，进而求x值，最终得的值； 【详解】（1）∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： （2）∵，，， ∴，， 解得，， ∴； （3）∵，，， ∴，， ∴． ∴，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查非负数的性质，二次根式的性质，关键就是要了解二次根式的非负性，在中考中经常出现． 7.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 8.【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 9.阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）逆用有理化因式，进行判断即可； （3）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解： 与互为有理化因式； 故答案为：； （2）解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 10.已知，，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，求一个数的平方根，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，则可求出的值，根据完全平方公式的变形求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $