精品解析：江苏省南京市先林外国语学校2025-2026学年上学期八年级数学第五次月考试卷

南京仙林外国语学校八（上）数学（2） 一、选择题（18分） 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】A、，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、，所以C选项错误； D、，所以D选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 2. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理及三角形三边关系逐一分析各选项，判断是否能构成直角三角形． 【详解】A.，， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； B.设三边比例为， 即，，， 此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），因此无法构成三角形，更无法判定为直角三角形，故此选项符合题意； C. ，即，符合勾股定理， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； D.， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，于是可得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．根据一次函数性质确定k的符号，根据函数增减性确定正确选项即可． 【详解】解：∵一次函数函数值y随x增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项C、D， 选项A中，，与条件不符，故排除； 选项B点在第二象限，且，符合条件． 故选：B． 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断． 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B． 故选：B． 二、填空题（18分） 7. 在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次多1个1）．根据无理数的定义，逐一判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； 中是无理数，减去有理数1后仍为无理数； （两个1之间依次多一个0）是特殊结构的无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数． 综上，无理数有、、、，共4个． 故答案为：4． 8. 比较大小：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较．涉及两个负数的比较，需利用负数比较大小的原则． 【详解】解：∵和都是负数，，． ∴， ∴． 故答案为：． 9. 已知一次函数（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 2 … 则关于x的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与方程，一次函数的性质．利用待定系数法求得解析式，然后求出时，对应的x的值即可． 【详解】解：由表格可知， 解得， ∴， 当，则， 解得， ∴方程的解为， 故答案为：． 10. 如图，是的角平分线，于的面积是，则_______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于F，如图所示： 是的角平分线，于， ， 的面积是，，， ∴， ∴ 解得， 故答案为：． 11. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．将代数式视为关于的一次函数 ，根据一次函数的单调性，结合的取值范围，分情况讨论 的符号，求出自变量的取值范围． 【详解】解：代数式可化为． 当，即 时，随增大而增大，需，即，解得，所以． 当，即 时，随增大而减小，需，即，解得，所以． 当，即 时，，恒成立． 综上所述，的取值范围为 ． 故答案为：． 三、解答题（64分） 13. 如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键； 根据不同的切割方式可以有不同的路径，分别求出蚂蚁需要爬行的路程，最后比较大小即可． 【详解】解：将长方体的两个面展开，连接． 分三种情况： ①如图①，； ②如图②，； ③如图③，． ， 蚂蚁需要爬行的最短距离是． 14. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． （1）已知，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：，由（1）知， ∴ ∵F是CE边上的中点， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半． （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，进而得出由垂直定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【小问1详解】 解：，是边上的中线， ，， ； 【小问2详解】 略 15. 某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 （1）设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； （2）若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； （3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】（1） （2）三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 （3） 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵, ∴随的增大而增大， 且为整数， 当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式； （2）由题意可得，，求出整数解，得到分配方案； （3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可． 【小问1详解】 解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 得， ，为整数， 、、， 有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 【小问3详解】 略 16. 如图1，，，以点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角 ． （1）求点的坐标： （2） 如图2，，为轴负半轴上的一个动点，若以为直角顶点，为腰等腰直角 ，过作轴于点，求的值； （3）如图3，点坐标为，点在 轴负半轴，点在轴的正半轴，且，求 的值． 【答案】（1）点的坐标为；（2）2；（3） 【解析】 【分析】（1）作，易证，即可求证，可得，即可解题； （2）作，易证，即可证明，可得，，即可解题； （3）作，，易证，即可证明，可得，即，即可解题． 【详解】解：（1）如图1，作， ，， ， 在和中， ， ， ，， 点坐标为； （2）如图2，作， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图3，作，， 则， ，， ， 在和中， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京仙林外国语学校八（上）数学（2） 一、选择题（18分） 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点A逆时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 7. 在下列各数：，，，，，，（两个1之间依次多一个0），中，无理数有_____个． 8. 比较大小：_____． 9. 已知一次函数（k，b为常数）的函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 2 … 则关于x的方程的解为______． 10. 如图，是的角平分线，于的面积是，则_______cm． 11. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 12. 已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____． 三、解答题（64分） 13. 如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点与点的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点．求蚂蚁需要爬行的最短距离． 14. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，． （1）已知，求的度数； （2）求证：． 15. 某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 （1）设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； （2）若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； （3）农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 16. 如图1，，，以点为顶点，为腰在第三象限作等腰直角 ． （1）求点的坐标： （2） 如图2，，为轴负半轴上的一个动点，若以为直角顶点，为腰等腰直角 ，过作轴于点，求的值； （3）如图3，点坐标为，点在 轴负半轴，点在轴的正半轴，且，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $