第七章 相交线与平行线 章节讲义（16知识详解+43典例分析）2025-2026学年人教版七年级数学下册同步讲义与测试

第七章 相交线与平行线 章节（16知识详解+43典例分析） 【知识点01】邻补角与对顶角 1. 邻补角、对顶角的概念和性质 名称 概念 性质 图形 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 如图，∠ 1 与∠ 2，∠ 2 与∠ 3， ∠ 3 与∠ 4， ∠ 4与∠ 1 都是邻补角 邻补角互补，用数学语言表示：如图， ∠ 1+ ∠2=180°，∠ 2+ ∠3=180°， ∠ 3+ ∠4=180°，∠ 4+ ∠1=180° 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 如图，∠ 1 与∠ 3，∠ 2 与∠ 4 是对顶角 对顶角相等，用数学语言表示：如图，∠ 1= ∠ 3， ∠ 2=∠ 4 2.对顶角与邻补角的区别与联系 邻补角 对顶角 区别 数量关系 邻补角互补 对顶角相等 位置关系 由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成 对顶角必须由两条直线相交形成 相同点 ①都是两个角之间的关系, 要成对出现；②对顶角与邻补角都有公共顶点 【知识点02】垂线 1. 垂直：一般地，当两条直线a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a 与b 互相垂直，记作“a ⊥ b”. 符号语言：由角的度数，得两直线的位置关系 (1)如图7.1-3，因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可 (2)如图7.1-3，因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°由两直线的位置关系，得角的度数 2. 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图7.1-3，AB⊥CD，垂足为O. 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1. 在同一平面内，经过一点(在已知直线上或直线外)画已知直线的垂线，通常有两种画法. (1)用三角尺画. 具体画法如下： 步骤  内容  图示 一“落”  让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线 二“移”  沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三“画”  沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)用量角器画，如图7.1-6 与图7.1-7 所示. 2. 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.存在且唯一 不要忽略前提条件 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，点P 为直线l 外一点，PO ⊥ l，垂足为O，称PO 为点P 到直线l 的垂线段 图示 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 如图，点P 与直线l 上各点的连线中， 线段PO 最短 图示 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，线段PO 的长度是点P 到直线l 的距离 图示 注意： (1)垂线与垂线段的区别:垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段,长度可度量.如上图，PO所在直线是垂线,线段PO是垂线段. (2)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是几何图形,而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度,是一个数量. (3)点到直线的距离与两点的距离的区别:点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度.如上图,线段的长度是点，的距离. 【知识点05】同位角、内错角、同旁内角 1. 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称“三线八角”. 定义 举例 图示 同位角 如右图，∠ 1 与∠ 5 这两个角分别在直线AB，CD的同一侧(上方)，并且都在直线EF 的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 右图中，∠ 1与∠ 5，∠ 2与∠ 6，∠ 3与∠ 7，∠ 4与∠ 8 是同位角 内错角 如右图，∠ 3 与∠ 5 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF两侧(∠ 3 在直线EF 左侧，∠ 5 在直线EF 右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 右图中，∠ 3与∠ 5，∠ 4与∠ 6 是内错角 同旁内角 如右图，∠ 3 与∠ 6 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且都在直线EF 的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角 右图中，∠ 3与∠ 6，∠ 4与∠ 5 是同旁内角 图形解读 同位角、内错角、同旁内角可以用手势表示出来(两个大拇指表示被截直线, 食指表示截线)，如图7.1-10 所示. 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转) 【知识点06】平行线的概念 名称 定义 表示法 图示 平行线 在同一平面内，当直线a，b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行没有公共点 前提条件 记作a ∥ b， 读作“a 平行于b” 注意 (1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行. (2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点07】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线 步骤 具体方法 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移” 保持直尺不动，沿直尺推动三角尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 【知识点08】平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 2. 平行线基本事实的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b. 【知识点09】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1 ∵∠ 1= ∠ 2，∴ ∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行 ∵∠ 2= ∠ 3，∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 2+ ∠ 4=180°， ∴ ∥  除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置关系判定两直线平行的方法： (1)平行线的定义； (2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)； (3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【知识点10】平行线的性质 1. 平行线的性质 类别 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 1= ∠ 2 性质2 两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等. 简单说成:两直线平行，内错角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 2= ∠ 3 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵  ∥ ， ∴∠ 2+ ∠ 4=180° 2. 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下： 【知识点11】定义 1. 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义 . 2. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断 .例如：根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3 的解 【知识点12】命题 内容 举例 注意 定义 可以判断为正确( 或真) 或错误( 或假) 的陈述语句，叫作命题 对顶角相等易错：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题 命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子 组成 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 “对顶角相等”中的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等” 表达形式 通常写成“如果……那么……”的形式“. 如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意 分类 真命题 被判断为正确(或真)的命题叫作真命题 对顶角相等 说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论 假命题 被判断为错误( 或假) 的命题叫作假命题 相等的角是对顶角 说明一个命题是假命题，只要举出一个例子( 反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 【知识点13】定理与证明 1. 定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据. 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 3. 证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 【知识点14】平移的概念 定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移 把三角形ABC 沿直线PQ 平移， 得到三角形A′B′C′. 两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度 对应 元素 对应点 如图，点A 与点A′，点B 与点B′， 点C 与点C′  对应线段 如图，AB 与A′B′，AC 与A′C′， BC 与B′C′  对应角 如图，∠ BAC 与∠ B′A′C′，∠ ABC 与∠ A′B′C′，∠ ACB 与∠ A′C′B′  【知识点15】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上) 且相等 如右图①，AA ′∥ BB ′，AA ′∥ CC ′， AA′=BB′=CC′，BB′ 与CC′在同一条直线上； 如右图②，AA′∥ BB′∥ CC′，AA′=BB′=CC′  平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等,对应角相等 如右图①，AB ∥ A′B′， AC∥A′C′，BC与B′C′ 在同一条直线上， AB=A′B′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 如右图②，AB ∥ A′B′， AC ∥ A ′C ′，BC ∥ B ′C ′，AB=A ′B ′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 【知识点16】平移作图 平移作图的步骤 (1)定：确定平移方向和平移距离； (2)找：找到构成原图形的关键点； (3)移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点； (4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形； (5)写：写出结论 . 【题型一】对顶角的定义 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【题型二】对顶角相等 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 【题型三】邻补角的定义理解 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【题型四】找邻补角 6．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（23-24七年级下·河北保定·月考）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为 ． 【题型五】利用邻补角互补求角度 8．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A．20° B． C． D． 9．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线、、相交于点． (1)图中的对顶角为________； (2)若，求和的度数． 【题型六】垂线的定义理解 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【题型七】画垂线 12．（24-25七年级下·广西防城港·期中）过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 【题型八】垂线段最短 14．（24-25七年级下·全国）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【题型九】点到直线的距离 15．（24-25七年级下·全国）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【题型十】同位角、内错角、同旁内角 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【题型十一】平面内两直线的位置关系 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下． 【题型十二】用直尺、三角板画平行线 20．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【题型十三】平行公理的应用 21．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【题型十四】平行公理推论的应用 22．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【题型十五】同位角相等两直线平行 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【题型十六】内错角相等两直线平行 25．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【题型十七】同旁内角互补两直线平行 27．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，已知，直线与有什么位置关系？说明理由． 【题型十八】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【题型十九】两直线平行同位角相等 29．如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，求证：． 【题型二十】两直线平行内错角相等 31．如图，在中，，顶点A，C分别在直线m，n上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型二十一】两直线平行同旁内角互补 32．如图，若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型二十二】根据平行线的性质探究角的关系 33．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【题型二十三】根据平行线的性质求角的度数 34．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【题型二十四】平行线的性质在生活中的应用 35．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【题型二十五】根据平行线判定与性质求角度 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．若，求的度数． 【题型二十六】根据平行线判定与性质证明 37．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【题型二十七】判断是否是命题 38．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【题型二十八】写出命题的题设与结论 39．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 【题型二十九】判断命题真假 40．（25-26七年级下·全国·课后作业）“如果四边形是正方形，那么它的四条边相等”是一个真命题．类似的，请再写出两个真命题． 【题型三十】举例说明假（真）命题 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【题型三十一】定理与证明 42．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【题型三十二】代数问题证明 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【题型三十三】写出一个命题的已知、求证及证明过程 44．（22-23七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【题型三十四】根据给出的论断组命题并证明 45．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【题型三十五】举反例 46．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【题型三十六】以几何为背景的推理与论证 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【题型三十七】以代数为背景的推理与论证 48．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【题型三十八】逻辑推理与论证 49．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 【题型三十九】生活中的平移现象 50．（24-25七年级下·广西百色·期末）春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的（    ） A．转动 B．对称 C．平移 D．对折 51．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． （1）求种花草的面积； （2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 【题型四十】图形的平移 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 53．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图形平移得到整个图案． 【题型四十一】利用平移的性质求解 54．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 55．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 【题型四十二】利用平移解决实际问题 56．（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 57．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【题型四十三】平移(作图) 58．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 59．（23-24七年级下·山东滨州·月考）如图，请你将三角形平移，使得点A移动到点．请画出平移后的三角形 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 章节（16知识详解+43典例分析） 【知识点01】邻补角与对顶角 1. 邻补角、对顶角的概念和性质 名称 概念 性质 图形 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角. 如图，∠ 1 与∠ 2，∠ 2 与∠ 3， ∠ 3 与∠ 4， ∠ 4与∠ 1 都是邻补角 邻补角互补，用数学语言表示：如图， ∠ 1+ ∠2=180°，∠ 2+ ∠3=180°， ∠ 3+ ∠4=180°，∠ 4+ ∠1=180° 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角. 如图，∠ 1 与∠ 3，∠ 2 与∠ 4 是对顶角 对顶角相等，用数学语言表示：如图，∠ 1= ∠ 3， ∠ 2=∠ 4 2.对顶角与邻补角的区别与联系 邻补角 对顶角 区别 数量关系 邻补角互补 对顶角相等 位置关系 由两条直线相交形成，也可以由一条端点在直线上的射线与直线相交构成 对顶角必须由两条直线相交形成 相同点 ①都是两个角之间的关系, 要成对出现；②对顶角与邻补角都有公共顶点 【知识点02】垂线 1. 垂直：一般地，当两条直线a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a 与b 互相垂直，记作“a ⊥ b”. 符号语言：由角的度数，得两直线的位置关系 (1)如图7.1-3，因为∠AOD=90°，所以AB⊥CD.∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可∠AOD，∠AOC，∠BOC，∠BOD 中任一角均可 (2)如图7.1-3，因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°由两直线的位置关系，得角的度数 2. 垂线：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图7.1-3，AB⊥CD，垂足为O. 【知识点03】垂线的画法及基本事实 1. 在同一平面内，经过一点(在已知直线上或直线外)画已知直线的垂线，通常有两种画法. (1)用三角尺画. 具体画法如下： 步骤  内容  图示 一“落”  让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P 作直线l 的垂线 二“移”  沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三“画”  沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)用量角器画，如图7.1-6 与图7.1-7 所示. 2. 垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.存在且唯一 不要忽略前提条件 【知识点04】垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，点P 为直线l 外一点，PO ⊥ l，垂足为O，称PO 为点P 到直线l 的垂线段 图示 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 如图，点P 与直线l 上各点的连线中， 线段PO 最短 图示 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 如图，线段PO 的长度是点P 到直线l 的距离 图示 注意： (1)垂线与垂线段的区别:垂线是一条直线，长度不可度量，而垂线段是一条线段,长度可度量.如上图，PO所在直线是垂线,线段PO是垂线段. (2)垂线段与点到直线的距离的区别:垂线段是几何图形,而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度,是一个数量. (3)点到直线的距离与两点的距离的区别:点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度.如上图,线段的长度是点，的距离. 【知识点05】同位角、内错角、同旁内角 1. 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称“三线八角”. 定义 举例 图示 同位角 如右图，∠ 1 与∠ 5 这两个角分别在直线AB，CD的同一侧(上方)，并且都在直线EF 的同侧(右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同位角 右图中，∠ 1与∠ 5，∠ 2与∠ 6，∠ 3与∠ 7，∠ 4与∠ 8 是同位角 内错角 如右图，∠ 3 与∠ 5 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且分别在直线EF两侧(∠ 3 在直线EF 左侧，∠ 5 在直线EF 右侧)，具有这种位置关系的一对角叫作内错角 右图中，∠ 3与∠ 5，∠ 4与∠ 6 是内错角 同旁内角 如右图，∠ 3 与∠ 6 这两个角都在直线AB，CD 之间，并且都在直线EF 的同一旁(左侧)，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角 右图中，∠ 3与∠ 6，∠ 4与∠ 5 是同旁内角 图形解读 同位角、内错角、同旁内角可以用手势表示出来(两个大拇指表示被截直线, 食指表示截线)，如图7.1-10 所示. 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧 形如字母“F”(或倒置、反置、旋转) 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间 形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转) 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间 形如字母“U”(或倒置、反置、旋转) 【知识点06】平行线的概念 名称 定义 表示法 图示 平行线 在同一平面内，当直线a，b 不相交时，我们说直线a 与b 互相平行没有公共点 前提条件 记作a ∥ b， 读作“a 平行于b” 注意 (1)在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行. (2)线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点07】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线 步骤 具体方法 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“移” 保持直尺不动，沿直尺推动三角尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 【知识点08】平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 特别提醒：平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 2. 平行线基本事实的推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如果a ∥ c，b ∥ c，那么a ∥ b. 【知识点09】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 基本图形 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行前面我们讲的平行线的画法，应用的就是判定方法1 ∵∠ 1= ∠ 2，∴ ∥ 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行 ∵∠ 2= ∠ 3，∴∥ 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 ∵∠ 2+ ∠ 4=180°， ∴ ∥  除了上面三种判定方法外，还有以下三种利用位置关系判定两直线平行的方法： (1)平行线的定义； (2)平行线基本事实的推论(平行线的传递性)； (3)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简记成：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【知识点10】平行线的性质 1. 平行线的性质 类别 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 1= ∠ 2 性质2 两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等. 简单说成:两直线平行，内错角相等 ∵  ∥ ， ∴∠ 2= ∠ 3 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ∵  ∥ ， ∴∠ 2+ ∠ 4=180° 2. 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行). 图示如下： 【知识点11】定义 1. 我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义 . 2. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断 .例如：根据方程的解的定义，可以判断x=是方程2x=3 的解 【知识点12】命题 内容 举例 注意 定义 可以判断为正确( 或真) 或错误( 或假) 的陈述语句，叫作命题 对顶角相等易错：一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题 命题通常是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子 组成 命题由题设和结论两部分组成. 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 “对顶角相等”中的题设是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等” 表达形式 通常写成“如果……那么……”的形式“. 如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 “对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 有些题设和结论不明显的命题，在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意 分类 真命题 被判断为正确(或真)的命题叫作真命题 对顶角相等 说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确的结论 假命题 被判断为错误( 或假) 的命题叫作假命题 相等的角是对顶角 说明一个命题是假命题，只要举出一个例子( 反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了 【知识点13】定理与证明 1. 定理：经过推理证实得到的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据. 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 3. 证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 【知识点14】平移的概念 定义 一般地，在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作平移 把三角形ABC 沿直线PQ 平移， 得到三角形A′B′C′. 两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度 对应 元素 对应点 如图，点A 与点A′，点B 与点B′， 点C 与点C′  对应线段 如图，AB 与A′B′，AC 与A′C′， BC 与B′C′  对应角 如图，∠ BAC 与∠ B′A′C′，∠ ABC 与∠ A′B′C′，∠ ACB 与∠ A′C′B′  【知识点15】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同 连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上) 且相等 如右图①，AA ′∥ BB ′，AA ′∥ CC ′， AA′=BB′=CC′，BB′ 与CC′在同一条直线上； 如右图②，AA′∥ BB′∥ CC′，AA′=BB′=CC′  平移前后两个图形中的对应线段平行(或在同一条直线上) 且相等,对应角相等 如右图①，AB ∥ A′B′， AC∥A′C′，BC与B′C′ 在同一条直线上， AB=A′B′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 如右图②，AB ∥ A′B′， AC ∥ A ′C ′，BC ∥ B ′C ′，AB=A ′B ′， AC=A′C′，BC=B′C′， ∠ BAC= ∠ B ′A ′C′， ∠ ABC= ∠ A ′B ′C′， ∠ ACB= ∠ A′C′B′ 【知识点16】平移作图 平移作图的步骤 (1)定：确定平移方向和平移距离； (2)找：找到构成原图形的关键点； (3)移：将找到的关键点，按照已确定的平移方向和平移距离进行平移，确定对应点； (4)连：仿照原图形，连接对应点，得到平移后的图形； (5)写：写出结论 . 【题型一】对顶角的定义 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 【题型二】对顶角相等 3．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 【答案】用对顶角量角器测量角的原理：对顶角相等 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握对顶角相等是解题关键．根据对顶角的性质：对顶角相等即可得． 【详解】解：如图，相交于点， ∴与是一对对顶角， ∴， ∴用对顶角量角器测量角的原理：对顶角相等． 【题型三】邻补角的定义理解 5．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图是一把剪刀示意图，当剪刀口增加时，（    ） A．增加 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，解题的关键是掌握邻补角的定义即相邻两角和为． 【详解】解：由邻补角的性质得到：， ∴增加时，那么减少． 故选：C． 【题型四】找邻补角 6．（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】找邻补角 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．（23-24七年级下·河北保定·月考）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为 ． 【答案】 【知识点】找邻补角 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角为， 故答案为： 【题型五】利用邻补角互补求角度 8．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示，直线，相交于点O，若，则的大小为（　　） A．20° B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了邻补角，邻补角‌是指两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为的几何关系． 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴． 故选：D． 9．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线、、相交于点． (1)图中的对顶角为________； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)； 【知识点】对顶角的定义、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义以及补角的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键． (1)根据邻补角及对顶角的定义求解即可； (2)根据对顶角及邻补角进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义可得的对顶角为， 故答案为：． （2）解：， ． ， ． 【题型六】垂线的定义理解 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列时刻中，时针与分针互相垂直的是（   ） A．2时20分 B．3时整 C．12时10分 D．5时40分 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、钟面角 【分析】钟表上，时针每小时移动，每分钟移动；分针每分钟移动．垂直时，时针与分针的角度差为或（但最小角度为90°）．通过计算各时刻时针与分针的角度差，可判断是否垂直． 本题重点考查的是钟面角问题，明确某一时刻，分针与时针所成角的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 时针速度：，分针速度：． A、 时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； B、时整， 时针角度， 分针角度， 角度差，垂直，正确，符合题意； C、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； D、时分， 时针角度， 分针角度， 角度差，错误，不符合题意； 故选：B． 11．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 【题型七】画垂线 12．（24-25七年级下·广西防城港·期中）过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过点画出射线或线段的垂线． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】画垂线 【分析】本题考查过一点作已知直线（线段、射线）的垂线，解题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据垂线的画法作图即可； （2）根据垂线的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：如图，直线即为所求， 【题型八】垂线段最短 14．（24-25七年级下·全国）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【题型九】点到直线的距离 15．（24-25七年级下·全国）如图，下列线段的长度与点C到AB所在直线的距离相等的是线段（   ） A．AE B．BE C．BD D．CF 【答案】D 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键． 先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点到所在直线的距离，是从向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点到的距离． 故选：D． 【题型十】同位角、内错角、同旁内角 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项符合题意； B、和是内错角，故此选项不符合题意； C、和是同旁内角，故此选项不符合题意； D、和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的左侧，在截线的右侧，不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：A． 17．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，请分别写出各图中的一对同位角、内错角和同旁内角． 【答案】（1）同位角：；内错角：；同旁内角：；（2）同位角：；内错角：；同旁内角： 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角，据此得出结论即可． 【详解】解：（1）同位角：； 内错角：； 同旁内角：； （2）同位角：； 内错角：； 同旁内角：． 【题型十一】平面内两直线的位置关系 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下． 【答案】图见解析 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查了平行线在生活中的应用，熟练掌握平行线的应用是解题关键．用平行条纹设计一些图案即可得． 【详解】解：用平行条纹设计一些图案如下： ． 【题型十二】用直尺、三角板画平行线 20．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【题型十三】平行公理的应用 21．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，已知P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行解答即可． 【详解】解：P是直线l外一点，若，则三点在同一条直线上．其依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D 【题型十四】平行公理推论的应用 22．（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 23．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）如图，若，， 则与的位置关系是 【答案】平行 【知识点】平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 【题型十五】同位角相等两直线平行 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，，得 D．由，得 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行． 判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意； B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意； C、∵，， 且，， ∴， ∴，C选项推理正确，不符合题意； D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意． 故选：B． 【题型十六】内错角相等两直线平行 25．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【答案】见解析 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十七】同旁内角互补两直线平行 27．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，已知，直线与有什么位置关系？说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】对顶角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的判定等知识，根据对顶角的性质并结合已知可得出，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵，， ∴， ∴． 【题型十八】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）若，则A，B，C三点共线，理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 【题型十九】两直线平行同位角相等 29．如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质及对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴； 故选A． 30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线，求证：． 【答案】见解析 【知识点】两直线平行同位角相等、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质．根据垂直的定义可得，，再由平行线的性质可得，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． 【题型二十】两直线平行内错角相等 31．如图，在中，，顶点A，C分别在直线m，n上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质可得，则可求的度数，利用平角的定义即可求的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【题型二十一】两直线平行同旁内角互补 32．如图，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】此题考查了平行线的性质和对顶角相等．根据两直线平行同旁内角互补得到，再根据对顶角相等得到即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 【题型二十二】根据平行线的性质探究角的关系 33．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 【题型二十三】根据平行线的性质求角的度数 34．如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（    ） A．45° B．58° C．65° D．75° 【答案】B 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：过直角顶点作直线如图所示， ， ∴， 则，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【题型二十四】平行线的性质在生活中的应用 35．（24-25七年级下·上海青浦·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，过点C作，先由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【题型二十五】根据平行线判定与性质求角度 36．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截．若，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并准确运用．由已知可得，根据平行线的判定可证得，再根据平行线的性质即可知，则题目可解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 【题型二十六】根据平行线判定与性质证明 37．（23-24七年级下·河北沧州·期中）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ， ． 【题型二十七】判断是否是命题 38．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 【题型二十八】写出命题的题设与结论 39．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 【答案】两角是同位角 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 【题型二十九】判断命题真假 40．（25-26七年级下·全国·课后作业）“如果四边形是正方形，那么它的四条边相等”是一个真命题．类似的，请再写出两个真命题． 【答案】如果四边形是正方形，那么它的四个角都是直角；如果四边形是正方形，那么它的对角线相等． 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查命题的真假判断，熟练掌握相关知识是解题的关键． 正方形的定义包含“四个角均为的直角”这一属性，因此该命题符合正方形的性质，是真命题．正方形的性质具有对角线相等的性质，这是正方形的核心判定与性质，因此是真命题． 【详解】1：如果四边形是正方形，那么它的四个角都是直角． 2：如果四边形是正方形，那么它的对角线相等． 【题型三十】举例说明假（真）命题 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【详解】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 【题型三十一】定理与证明 42．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 【题型三十二】代数问题证明 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【知识点】代数问题证明 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【题型三十三】写出一个命题的已知、求证及证明过程 44．（22-23七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 【题型三十四】根据给出的论断组命题并证明 45．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【题型三十五】举反例 46．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； B、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； D、当时，，能说明命题是假命题，符合题意； 故选：D． 【题型三十六】以几何为背景的推理与论证 47．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【题型三十七】以代数为背景的推理与论证 48．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【答案】D 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据甲乙丙三位同学的得分情况分析，只能是1,2,5的组合，且必须是三个数字的和，得到唯一组合，根据黄卡片的张数不超过红卡片的张数，分析可得黄卡数量可能是3张或2张或1张，逐项判断分析可得结论． 【详解】解：每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分， 结果甲得6分，， 甲同学拿了3张绿卡， 乙得11分，， 乙同学拿了2张红卡和一张黄卡，故A选项正确； 丙得9分，， 丙同学拿了2张绿卡和一张红卡， 已经分得9张卡片，分别是5张绿卡，3张红卡，1张黄卡，还有3张卡片给丁同学， 已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，则黄卡数量可能是3张或2张或1张， 若剩余卡片中全部是红卡，则红卡共6张，大于绿卡数量，故D选项不正确； 若剩余卡片中2张黄卡，1张绿卡，则丁通行可能得4分，故B选项正确； 若剩余卡片中红，黄，绿各一张，则丁同学可能同时拿三种花色卡片，故C选项正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的加法，逻辑推理，根据已知数据推理是解题的关键． 【题型三十八】逻辑推理与论证 49．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 【答案】李琴倩 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了逻辑推理，根据三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，说明了礼物是李琴倩送的，即可求解． 【详解】解：三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，她说礼物不是她送的这是假话，这说明了礼物是李琴倩送的， 故答案为：李琴倩． 【题型三十九】生活中的平移现象 50．（24-25七年级下·广西百色·期末）春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的（    ） A．转动 B．对称 C．平移 D．对折 【答案】C 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题主要考查了平移，平移是沿直线运动．根据轴对称、平移、旋转的定义作答即可． 【详解】解：春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的平移． 故选：C 51．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草． （1）求种花草的面积； （2）若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 【答案】（1）种花草的面积为42平方米；（2）每平方米种植花草的费用是110元 【知识点】生活中的平移现象 【分析】（1）将道路直接平移到矩形的边上，进而根据长方形的面积公式得出答案； （2）根据（1）中所求，代入计算即可得出答案． 【详解】解：（1） （平方米） 答：种花草的面积为42平方米； （2）（元） 答：每平方米种植花草的费用是110元． 【点睛】此题考查了生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算． 【题型四十】图形的平移 52．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是某公司徽标图案．在下列选项中，能由此徽标通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移后图形的形状、大小、方向均不改变，仅位置变化是解题的关键． 本题根据平移的性质，逐个判断选项中的图形是否与原徽标保持一致的形状、大小和方向． 【详解】解： A、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； B、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； C、图形方向与原徽标不同，不符合平移的性质，不符合题意； D、图形的形状、大小、方向均与原徽标一致，仅位置改变，符合平移的性质，符合题意． 故选：D． 53．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是两个整体图案的局部，分别指出其中的基本图形，并说明怎样由基本图形平移得到整个图案． 【答案】见解析 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了图形的平移，根据图案解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：第一个图案的基本图形是“”，把这个图形按上、下、左、右四个方向重复平移一定的距离，就可以得到第一个图案； 第二个图案的基本图形是“”，把这个图形按上、下、左、右四个方向重复平移一定的距离，就可以得到第二个图案． 【题型四十一】利用平移的性质求解 54．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段的长度相等是解题的关键． 根据平移的性质确定平移线段的长度，再将拆分为三段，通过相加计算出的长度． 【详解】解：将三角形沿方向平移得到对应的三角形， ． ， ． 故选：C． 55．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，由平移可得，，结合周长为，即可求解． 【详解】解：周长为， ， 由平移得，， ， 即四边形的周长为． 【题型四十二】利用平移解决实际问题 56．（24-25七年级下·黑龙江·月考）如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 57．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 【题型四十三】平移(作图) 58．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，把网格图中的五角星先向右平移6格，再把向右平移后的图形向下平移7格．请画出每次平移后的图形． 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查了平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟练掌握平移的定义是解题关键．根据平移的定义作图即可得． 【详解】解：画出每次平移后的图形如下： 59．（23-24七年级下·山东滨州·月考）如图，请你将三角形平移，使得点A移动到点．请画出平移后的三角形 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题主要考查了图形的平移，掌握平移的作图方法是解题的关键．先分别找到点、的对应点、，，再将依次连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $