第一单元 长方体和正方体（知识清单和检测卷）数学苏教版六年级上册复习巩固高频考题

第一单元 长方体和正方体 高频考题组合检测卷 一、填空题（第一题每空1分，其余每空2分，共30分） 1．在（    ）里填上合适的数或单位。 3.14立方米＝( )立方分米    一个书包体积大约是14( ) 50毫升＝( )升        一瓶娃哈哈矿泉水的容积是550( ) 2．【数学抽象】一个长方体的广告灯箱，长120厘米，宽和高都是50厘米，制作这个灯箱的框架需要120厘米长的铝合金条( )根，50厘米的铝合金条( )根。 3．【数形结合】3个棱长为2厘米的小正方体拼成一个长方体，长方体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方分米。 4．要做一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体框架，一共要用去( )厘米长的铁丝；如果要用这根铁丝做一个正方体框架，在这个正方体框架表面糊上硬纸板，那么至少需要( )平方厘米的硬纸板。 5．【空间观念】如图是由棱长1厘米的小正方体堆积起来的，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。至少再添( )个小正方体就可以堆积成一个稍大的正方体。 6．【排水法】观察图，并回答问题：一个正方体铁块的体积是( )立方厘米，一个球形铁块的体积是( )立方厘米。 7．【局部与整体思想】一个长方体（如图），如果高增加3dm，就变成了棱长是9dm的正方体。表面积增加了( )dm2，体积增加了( )dm3。 二、选择题（每空2分，共10分） 1．【对应思想】如下图，一个长方体盒子中摆放着若干个1立方厘米的小正方体。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．80 B．60 C．45 D．11 2．【分类讨论】数学课上，周老师从下面几种长度的小棒中，选择了12根做了一个长方体框架。做成的长方体框架棱长总和不可能是（    ）厘米。 小棒长度/cm 20 10 5 小棒根数 5 8 4 A．180 B．140 C．160 D．100 3．【空间观念】2026年是马年，下图是一个正方体的展开图，在这个正方体中，与“马”字相对的字是（    ）。 A．吉 B．祥 C．如 D．意 4．【数形结合】如图，如果一个长方体的高减少2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少40平方厘米。原来长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．105 B．140 C．175 D．180 5．下列说法正确的有（    ）个。 ①如果两个正方体的体积相等，那么它们的棱长也一定相等。 ②体积单位之间的进率是1000。 ③一个棱长6厘米的正方体，它的表面积和体积相等。 ④一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的9倍。 ⑤有6个面、8个顶点、12条棱的立体图形不是长方体就是正方体。 A．1 B．2 C．3 D．4 三、判断题（每空2分，共10分） 1．每条边长度都是1分米的正方体容器大约可以装1升水。( ) 2．现有12个小正方体，至少再添15个小正方体才能拼成一个大正方体。( ) 3．一瓶矿泉水的包装上写着500ml，表示这个矿泉水的容积是500ml。( ) 4．若物体A和物体B体积相等，则物体A的容积等于物体B的容积。( ) 5．正方体的棱长扩大2倍，它的体积就扩大8倍。( ) 四、计算题（共12分） 18．计算图形的表面积和体积（单位：分米）。 五、解答题（6+8+8+8+8共38分） 1．石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长6分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重多少千克？ 2．一个用木板做成的长方体抽屉（如下图），长5米，宽4米，高1.5米。 （1）这个抽屉所占的空间有多大？ （2）做这个抽屉至少需要多少平方米木板？ 3．【转化思想】一个无盖长方体玻璃容器的长是20厘米，宽和高都是10厘米。              （1）做这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？（玻璃厚度忽略不计） （2）在这个长方体容器中加入一些水，来测量石头的体积，具体过程如图所示，这块石头的体积大约是多少立方厘米？ 4．如图，一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深36厘米。 (1)水与容器接触的面积是多少平方厘米？ (2)如果以这个容器的前面为底放在桌上（厚度忽略不计），这时水深多少厘米？ 5．“互联网＋文旅”是宣传文化旅游景区的重要的手段，经过互联网短视频的宣传，“淮剧小镇”在“元旦”节迎来了人流高峰。杂技团在小镇靠墙搭了一个长方体的舞台（如图）。 （1）工作人员将舞台裸露在外的表面都粘上了红毯，粘红毯的面积一共有多大？ （2）考虑到演员的安全，工作人员要在舞台露在外面的所有棱上贴防撞条（贴着墙面和地面的棱不贴），至少需要准备多长的防撞条？ 【热点】江苏省城市足球联赛简称“苏超”，火爆全网，每一位市民都为自己所在的城市加油助威。多多是一位小足球迷，为了庆祝淮安队获胜，做了一个“足球少年”雕塑。现在要给雕塑配一个正方体底座，于是他把一个长方体木块沿着高截去3分米后，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少了72平方分米。原来长方体木块的体积是多少立方分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 3140 立方分米/ 0.05 毫升/mL 2． 4 8 3． 56 0.024 4． 48 96 5． 8 28 19 6． 150 50 7． 108 243 1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 1．√ 2．√ 3．× 4．× 5．√ 1．（1）左图：表面积150平方分米，体积99立方分米； （2）右图：表面积216平方分米，体积189立方分米。 2．540千克 20．（1）30立方米 （2）47 3．（1）800平方厘米 （2）800立方厘米 4．(1)2360平方厘米 (2)9厘米 5．（1）120平方米 （2）28米 6．324立方分米 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 长方体和正方体 知识清单 知识点1：长方体和正方体的特征 （1） 长方体的特征 面的特征：长方体有6个面，每个面通常是长方形（特殊情况：有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形）；相对的两个面完全相同（形状相同、面积相等）。 棱的特征：长方体有12条棱，按长度可分为3组，每组有4条棱，且每组中的4条棱长度相等（即相对的棱长度相等）。棱是两个面相交的线段，比如长方体文具盒的棱，能清晰看到3组不同长度的棱。 顶点的特征：长方体有8个顶点，顶点是三条棱相交的点。一个长方体的8个顶点，每个顶点都连接着3条不同长度的棱（分别对应长方体的长、宽、高）。 长、宽、高的定义：相交于一个顶点的三条棱的长度，分别叫做长方体的长、宽、高。长方体的形状和大小由它的长、宽、高决定，通常把水平方向的两条棱叫做长和宽，垂直方向的棱叫做高。 典例培优 如图，小华在一个无盖的长方体玻璃容器中摆了若干个体积为1cm3的小正方体。这个玻璃容器的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。容器内最多还能再放( )个这样的小正方体。 【答案】 6 5 3 78 【分析】体积为1cm3的小正方体的棱长是1cm，仔细观察图片可知，这个玻璃容器的长是6cm，宽是5cm，高是3cm。根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，将长6cm、宽5cm、高3cm代入公式，可得容器体积。已知容器内已有12个小正方体，用容器体积除以每个小正方体体积得到容器总共能放小正方体的个数，再减去已有的12个，就可得到还能再放的个数。 【详解】由图可知：这个玻璃容器的长是6cm，宽是5cm，高是3cm。 6×5×3 ＝30×3 ＝90（cm3） 90÷1＝90（个） 90－12＝78（个） 所以这个玻璃容器的长是6cm，宽是5cm，高是3cm。容器内最多还能再放78个这样的小正方体。 （二）正方体的特征 面的特征：正方体有6个面，6个面都是完全相同的正方形（形状相同、面积相等）。例如：魔方、骰子的表面，每个面都是大小一样的正方形。 棱的特征：正方体有12条棱，12条棱的长度都相等。无论从哪个角度观察，正方体的棱都没有长短差异，这是正方体与长方体棱的核心区别之一。 顶点的特征：正方体有8个顶点，与长方体的顶点数量相同，每个顶点同样连接着3条棱，且这3条棱长度相等。 (三）长方体和正方体的相同点与不同点 长方体 正方体 相同点 面和棱 都有6个面、12条棱和8个顶点。相对的面完全相同（形状、面积一致），相对的棱长度相等 不同点 面的形状 6个面通常是长方形，特殊情况有2个相对面是正方形，其余4个面为完全相同的长方形 6个面都是完全相同的正方形 棱的长度 12条棱分3组，每组4条棱长度相等 12条棱长度全部相等 长、宽、高关系 长、宽、高通常不相等；特殊情况：（有2个相对面是正方形）时，有两个维度长度相等，一个维度不同 长、宽、高完全相等 联系（正方体是特殊的长方体） 正方体具备长方体的所有特征：有6个面、12条棱、8个顶点，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。因为正方体的6个面都是正方形（属于特殊的长方形），12条棱长度都相等（满足相对棱相等的条件），所以正方体可以看作是长、宽、高都相等的长方体。 （四）正方体和长方体的展开图 （1）把正方体的一条棱展开，将会得到如下图。可以发现相对的两个面是完全隔开的。 ( 2 ) 11种正方体展开图及口诀 （1-4-1型共六种），口诀（中间四个一连串，两边各一随便放） （2-3-1型3种）口诀：二三紧连错一个，三一相连一随便） （2-2-2型1种）口诀：两两相连各挪一 （3-3型一种 ）口诀：三个两排一对齐 典例培优 下图中，（    ）不是正方体的展开图。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，“1—4—1”结构，“2—2—2”结构，“3—3”结构，“1—3—2”结构。 【详解】A．属于正方体展开图的“1—4—1”型，能折叠成一个正方体； B．不属于正方体展开图，不能折叠成一个正方体； C．属于正方体展开图的“1—3—2”型，能折叠成一个正方体； D．属于正方体展开图的“3—3”型，能折叠成一个正方体。 选项B中的展开图不能折叠成一个正方体。 故答案为：B （2）把长方体的一条棱展开，将会得到如下图。可以看到相对的两个面完全相同，彼此相隔开。 典例培优 下面的图形中，（    ）不是长方体的展开图。 A． B． C． 【答案】C 【分析】长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其他四个面都是形状相同的长方形，长方体的展开图类型：“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；“2—2—2”型：两两相连各错一；“3—3”型：三个两排一对齐，据此解答。 【详解】 A．属于长方体“1—4—1”型的展开图； B．属于长方体“1—4—1”型的展开图； C．中相对的面形状不同，所以该图不是长方体的展开图。 故答案为：C 典例培优 下面是正方体和长方体的展开图，请在展开图上标出剩下的各面。 【答案】见详解 【分析】1. 核心规律铺垫：正方体/长方体的六个面存在固定相对关系，即后面↔前面、左面↔右面、上面↔下面，且相对面在展开图中不相邻，相邻面折叠后会相互贴合，这是判断所有展开图面位置的核心依据。 2. 第一个展开图思考：该展开图为正方体展开图的非典型阶梯式结构，无需纠结具体类型，直接从已知面的相邻关系推导。已知“后面”在第一行，其正下方的第二行第一个格与它直接相邻，不可能是“后面”的相对面“前面”，结合“上面”与“下面”相对（“下面”在第四行），因此这个位置确定为上面。 “上面”右侧的第二行第二个格，与“左面”无相邻关系且为相对面，根据“左面↔右面”的规律，标注为右面。“左面”右侧的第三行第二个格，与“后面”为相对面，根据“后面↔前面”的规律，标注为前面。“左面”正下方的第四行是已知的下面，与“上面”形成相对关系，符合核心规律。 3. 第二个展开图思考：该展开图为长方体展开图的“一四一”型，特征是第一行1个面、第二行4个面、第三行1个面，此类型中首行和末行的面互为相对面，第二行中隔一个面的两个面互为相对面。已知“后面”在第一行，因此第三行的格是其相对面前面。已知“上面”在第二行第三个格，根据“上面↔下面”，其左侧隔一个面的第二行第一个格为下面。已知“左面”在第二行第二个格，根据“左面↔右面”，其右侧隔一个面的第二行第四个格为右面。 【详解】 知识点2：长方体和正方体的表面积 （一）长方体表面积的计算 公式推导：长方体有6个面，相对的面面积相等，可分为3组相对面（前面/后面、左面/右面、上面/下面）。每组相对面的面积之和分别为“长×高×2”“宽×高×2”“长×宽×2”，将三组面积相加即为长方体表面积。 核心公式： 长方体表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2 用字母表示：S = 2(ab + ah + bh)（其中S表示表面积，a表示长，b表示宽，h表示高） 计算步骤： ① 确定长方体的长、宽、高（单位需统一，如均换算为厘米）； ② 代入公式计算括号内“长×宽 + 长×高 + 宽×高”的值； ③ 将结果乘2，得到表面积； ④ 标注对应面积单位。 （二）正方体表面积的计算 公式推导：正方体有6个面，且6个面都是完全相同的正方形，每个面的面积为“棱长×棱长”，6个面的面积之和即为正方体表面积。 核心公式： 正方体表面积 = 棱长×棱长×6 用字母表示：S = 6a²（其中S表示表面积，a表示正方体的棱长） 计算步骤： ① 确定正方体的棱长（单位统一）； ② 计算一个面的面积（棱长×棱长）； ③ 将结果乘6，得到表面积； ④ 标注对应面积单位。 典例培优用4个棱长是a cm的正方体拼成一个大长方体（如图），拼成的长方体表面积是（    ）cm2。 A．24a2 B．20a2 C．18a2 D．16a2 【答案】C 【分析】根据题意可知，拼成的长方体的长是（a×4）cm，宽是acm，高是acm，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此求出长方体表面积，进而解答。 【详解】长方体的长：a×4＝4a（cm），宽是acm，高是acm。 （4a×a＋4a×a＋a×a）×2 ＝（4a2＋4a2＋a2）×2 ＝（8a2＋a2）×2 ＝9a2×2 ＝18a2（cm2） 用4个棱长是a cm的正方体拼成一个大长方体（如图），拼成的长方体表面积是18a2cm2。 故答案为：C 典例培优如图是一个长方体的表面展开图（每个小方格边长表示1厘米）。这个长方体的棱长和是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 36 52 【分析】观察上图可知，长方体的长为4厘米，宽为3厘米，高为2厘米，长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入计算即可解答。 【详解】（4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 所以，这个长方体的棱长和是36厘米，表面积是52平方厘米。 知识点3：认识体积和容积 体积的认识与体积单位 （一）体积的定义 物体所占空间的大小，叫做物体的体积。体积是物体占据空间的多少。 （二）常用体积单位及换算 核心体积单位：立方米（m³）、立方分米（dm³）、立方厘米（cm³），三个单位从大到小排列，适用于不同大小的物体。 立方厘米（cm³）：计量较小物体的体积，如骰子、橡皮的体积。1立方厘米的大小约等于一个棱长1厘米的正方体所占的空间。 立方分米（dm³）：计量中等大小物体的体积，如魔方、粉笔盒的体积。1立方分米的大小约等于一个棱长1分米的正方体所占的空间，1立方分米 = 1升（后续容积单位关联）。 立方米（m³）：计量较大物体的体积，如冰箱、衣柜、房间的体积。1立方米的大小约等于一个棱长1米的正方体所占的空间，常用于建筑、容器容积等场景。 体积单位换算关系（必须牢记，易错点）： 1立方米 = 1000立方分米（1m³ = 1000dm³） 1立方分米 = 1000立方厘米（1dm³ = 1000cm³） 推导逻辑：棱长1米的正方体，体积 = 1m×1m×1m = 1m³；换算为分米后，棱长10分米，体积 = 10dm×10dm×10dm = 1000dm³，故1m³ = 1000dm³，同理可推导立方分米与立方厘米的关系。 （三）体积的比较方法 1. 观察法：对于形状规则、大小差异明显的物体，可直接观察判断体积大小，如篮球体积大于乒乓球体积。 2. 排水法：对于形状不规则的物体（如石头、铁块），可通过排水法测量体积。步骤：① 在量杯中装入适量水，记录水的体积V₁；② 将物体完全浸入水中（水不溢出），记录此时水和物体的总体积V₂；③ 物体体积 = V₂ - V₁（量杯单位需为毫升ml，1ml = 1cm³）。 3. 公式法：对于长方体、正方体等规则立体图形，可通过体积公式计算后比较大小（后续将补充体积计算公式）。 容积的认识与容积单位 （一）容积的定义 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。容积针对容器而言（如盒子、杯子、油箱等），只有容器才有容积。注意：容器的体积 ≠ 容积，容器的体积是容器本身（包括壁）所占空间的大小，容积是容器内部能容纳物体的空间大小，通常容积略小于体积（壁厚忽略不计时，可近似相等）。例如：一个玻璃水杯，体积是水杯玻璃部分+内部空间的总体积，容积是水杯内部能装水的体积。 （二）常用容积单位及换算 核心容积单位：升（L）和毫升（ml），常用于计量液体体积（如药水、饮料、油），也可用于计量容器的容积。毫升（ml）：计量较少液体或小容器容积，如一瓶眼药水约10ml，一个口服液瓶容积约10ml。 升（L）：计量较多液体或大容器容积，如一瓶矿泉水约500ml（0.5L），一个油箱容积约50L。 容积与体积单位的关联（重点）： 1升 = 1立方分米（1L = 1dm³） 1毫升 = 1立方厘米（1ml = 1cm³） 延伸换算：1升 = 1000毫升（1L = 1000ml），对应体积单位即为1dm³ = 1000cm³，前后知识点一致，便于记忆。 体积与容积的区别与联系 对比维度 体积 容积 定义核心 物体本身所占空间的大小 容器内部能容纳物体的体积 适用对象 所有立体物体（包括容器） 仅容器（能容纳物体的物体） 测量方式 可从外部测量棱长（规则物体），不规则物体用排水法 从内部测量棱长（规则容器），或装满液体后测量液体体积 单位关联 用m³、dm³、cm³，与容积单位可换算 用L、mL，本质与dm³、cm³等价 典例培优一瓶碳素墨水的外包装盒上印有“净含量：60毫升”的字样。这里的“60毫升”指的是（    ）。 A．包装盒的体积 B．包装盒的容积 C．墨水瓶的体积 D．瓶内所装墨水的体积 【答案】D 【分析】“净含量”指包装内实际容纳物品的体积。体积是物体所占空间的大小，容积是容器能容纳的体积。碳素墨水的外包装盒上标注的“净含量：60毫升”是墨水瓶内所装墨水的体积是60毫升，据此逐项分析，进行解答。 【详解】A．“包装盒的体积”指整个盒子占据的空间，包含包装材料，数值应大于60毫升，不符合题意。 B．“包装盒的容积”是包装盒能容纳物体的体积，包装盒里还有墨水瓶以及其它空间，不是墨水的净含量，数值应大于60毫升，不符合题意。 C．“墨水瓶的体积”，是指墨水瓶所占的空间，不是墨水的净含量，数值应大于60毫升，不符合题意。 D．“瓶内所装墨水的体积”是指装的墨水的净含量，符合题意。 故答案为：D 典例培优一只纯净水桶里面装了12L的水，12L是（    ）。 A．水的体积 B．水桶的体积 C．水桶的容积 D．水的容积 【答案】A 【分析】体积是物体所占空间的大小，用于描述“物体本身的量”。容积是容器所能容纳物体的体积，用于描述“容器的容纳能力”。 【详解】A．水是物体，12L表示水所占空间的大小，即水的体积，该选项正确。 B．水桶的体积是水桶本身所占空间的大小，与桶内水的体积无关，该选项错误。 C．水桶的容积是水桶能容纳物体的最大体积，题目未表明装满，12L不是水桶的容积，该选项错误。 D．容积是容器的属性，不能说水的容积，该选项错误。 所以12L是水的体积。 故答案为：A 典例培优：下面物体中，（    ）的体积接近1立方米。 A．一节火车车厢 B．一台洗衣机 C．一个粉笔盒 D．一瓶牛奶 【答案】B 【分析】棱长1米的正方体，体积是1立方米，大约是1台洗衣机的大小，据此选择。 【详解】A．一节火车车厢的体积比1立方米大得多； B．一台洗衣机的体积大约是1立方米； C．一个粉笔盒的体积比1立方米小得多； D．一瓶牛奶的体积比1立方米小得多。 一台洗衣机的体积接近1立方米。 故答案为：B 知识点4：长方体和正方体体积 （一）长方体体积（像书本、文具盒、冰箱的形状） 基本公式（必背） 体积 = 长 × 宽 × 高 字母表示：V = a × b × h（a=长，b=宽，h=高） 小提醒：长、宽、高的单位要统一（比如都用厘米、分米），体积单位是立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）等。 简便公式（底面积×高） 第一步：先算长方体的底面积（底面是长方形） 底面积 = 长 × 宽（S = a × b） 第二步：体积 = 底面积 × 高 字母表示：V = S × h （二）正方体体积（像魔方、骰子、粉笔盒的形状） 基本公式（必背） 正方体的长、宽、高都相等，叫做“棱长”。 体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 字母表示：V = a × a × a = a³（读作：a的立方） 简便公式（底面积×高） 第一步：先算正方体的底面积（底面是正方形） 底面积 = 棱长 × 棱长（S = a × a = a²） 第二步：体积 = 底面积 × 高（正方体的高就是棱长） 字母表示：V = S × h = a² × a = a³ 通用公式：长方体和正方体的体积，都可以用“底面积×高”来计算（V = S × h）。 典例培优：一个长方体正好可以切割成3个完全一样的小正方体（如图所示），切开后表面积增加了，每个小正方体的体积是（    ）。 A．8 B．27 C．64 D．125 【答案】B 【分析】把长方体切成3个完全一样的小正方体，需要切2次，每切1次增加2个小正方体的面，总共增加2×2＝4个小正方体的面。已知表面积增加了36cm2，则每个小正方体一个面的面积为：36÷4＝9 cm2。因为正方体一个面的面积＝棱长×棱长，且3×3＝9，所以小正方体的棱长为3 cm。根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个小正方体的体积。 【详解】36÷（2×2） ＝36÷4 ＝9（cm2） 因为3×3＝9（cm2） 所以小正方体的棱长为3 cm。 3×3×3 ＝9×3 ＝27（cm3） 所以每个小正方体的体积是27 cm3。 故答案为：B 【点睛】本题的关键在于把长方体切成3个小正方体需切2次，增加4个小正方体的面，先通过增加的表面积求出小正方体一个面的面积，进而得出棱长，最后计算体积。 典例培优：下面是长方体表面展开图的一部分。 （1）请把展开图补充完整。 （2）根据相关数据计算出长方体的体积。 【答案】（1）见详解； （2）16立方分米 【分析】（1）长方体展开图由6个长方形组成，相对的面大小一致。已知展开图中给出的边为长5分米、宽4分米、高0.8分米，补充时需遵循以下规则：已有一个5分米×4分米的大面，需在对应位置补充一个相同的5分米×4分米的面，已有5分米×0.8分米和4分米×0.8分米的小面，分别在相对位置补充大小相同的面，使展开图满足“相对面完全相同”的特征（展开图排布方式不唯一，只要符合长方体面的对应关系即可）。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高。将长5分米、宽4分米、高0.8分米三个条件代入解答即可。 【详解】（1）如图： （答案不唯一） （2） （立方分米） 答：这个长方体的体积是16立方分米。 题型1.长方体和正方体展开图 1．将下图折叠成正方体，和A面相对的是（    ）号面。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】 在正方体的展开图中，相对的面不相邻；属于正方体展开图的“2－3－1”型，折叠成正方体后，A面相对③号面；①号面相对④号面；②号面相对空白面，据此解答。 【详解】根据分析可知，折叠成正方体，和A面相对的是③号面。 故答案为：C 2．将下图沿虚线折起来，可折成一个正方体。这时正方体的6号面所对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先识别展开图是正方体“一四一”型；根据正方体展开图“相对面不相邻，且一行/列中隔一个面为相对面”的规律，先确定1对4、2对5；剩余的3号面就是6号面的相对面。 【详解】根据分析：正方体的6号面所对的面是3号面。 故答案为：C 3．一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是 平方厘米。 【答案】94 【分析】通过观察长方体展开图的可知，这个长方体的宽是4厘米，高是3厘米，涂色部分是长方体上面和后面，上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高，已知上面和后面的面积和是35平方厘米，据此可以求出长方体的长，再根据长方体的表面积表面积＝（长＋宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。 【详解】上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高， 上面的面积＋后面的面积＝长×（宽＋高） 所以长＝35÷（4＋3） ＝35÷7 ＝5（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×4 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是94平方厘米。 【点睛】明确长方体展开图中涂色部分的面与长方体长、宽、高的对应关系，通过涂色部分面积和求出长方体的长；熟练运用长方体表面积公式，代入长、宽、高的值即可求出表面积。 4．如图是一个长方体的展开图（部分），请把缺少的两个面补画完整。 【答案】见详解 【分析】首先观察本题图示，中间有4个相连的长方形，属于“1－4－1”型长方体展开图的中间部分。如题中图示，从左往右看，第一个长方形与第三个长方形相对应，形状和面积都相等；第二个长方形和第四个长方形相对应，形状和面积也相等。由长方体面的组合方式可知，长方体的6个面可以分为三组，每组包含2个相对的面。例如前后面组合是“长×高”，左右面组合是“宽×高”，上下面组合是“长×宽”。假设本题图中从左往右看第一个长方形和第三个长方形是上下面，即“长×宽”组合（长方形的长占4小格，宽占3小格），第二个长方形和第四个长方形是左右面，即“宽×高”组合（长方形的长占3小格，宽占1小格），则需要补全的部分为前后面，即“长×高”组合，则长占4小格，宽（即为长方体的高）占1小格，此时可确定缺少的两个面的长和宽。在本题图中，从左往右看，在第一个长方形长边处分别补画一个长4小格，宽1小格的长方形即可（作图不唯一）。 【详解】如图： （答案不唯一） 5．下面分别是一个长方体和一个正方体展开图的一部分，请按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）在方格图中画出长方体展开图中其余的3个面，并标明下面、后面和右面。 （2）把长方体展开图折叠后，得到的长方体的表面积是（    ）平方厘米。 （3）在上边的图中添加一个小正方形，补充完整正方体的展开图，共有（    ）种添法，并画出其中一种。 【答案】（1）图见详解 （2）38 （3）4；图见详解 【分析】（1）根据长方体的特点：前面和后面相对且相同，左面和右面相对且相同，上面和下面相对且相同。由此画图即可。 （2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，即可求得长方体的表面积。 （3）由题图可知，正方体面1和面4所对，面2和面5所对，面3所对的面分别为面1的左侧、面4的右侧、面2的上侧、面5的右侧，共4种添法，画出其中的一种即可。 【详解】（1）长方体展开图的下面、后面和右面如图所示： （2）由题图可知长方体的长为4厘米，宽为3厘米，高为1厘米。 （4×3＋4×1＋3×1）×2 ＝（12＋4＋3）×2 ＝19×2 ＝38（平方厘米） 长方体的表面积为38平方厘米。 （3）在上边的图中添加一个小正方形，补充完整正方体的展开图，共有4种添法，画出其中一种如下：（答案不唯一） 题型2：长方体和正方体表面积的应用 1．人民公园准备修建一个长8米，宽3米，深30厘米的沙坑。 (1)在沙坑的四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ (2)如果要在沙坑中填上25厘米厚的沙子，需要沙子多少吨？（每立方米沙子重1.4吨） 【答案】(1)6.6平方米 (2)8.4吨 【分析】（1）求抹水泥的面积，就是求这个长方体沙坑的侧面积；根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，据此求出高是25厘米厚的沙子的体积，再乘1.4，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（1）30厘米＝0.3米 （8×0.3＋3×0.3）×2 ＝（2.4＋0.9）×2 ＝3.3×2 ＝6.6（平方米） 答：抹水泥的面积是6.6平方米。 （2）25厘米＝0.25米 8×3×0.25×1.4 ＝24×0.25×1.4 ＝6×1.4 ＝8.4（吨） 答：需要沙子8.4吨。 2．如图，一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深36厘米。 (1)水与容器接触的面积是多少平方厘米？ (2)如果以这个容器的前面为底放在桌上（厚度忽略不计），这时水深多少厘米？ 【答案】(1)2360平方厘米 (2)9厘米 【分析】（1）求水与容器接触的面积，就是求长是20厘米，宽是10厘米，高是36厘米的长方体5个面的面积和；根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，先求出水的体积；由于水的体积不变，以这个容器的前面为底放在桌上，变成一个新的长方体，已知长是40厘米，宽是20厘米，求高，用水的体积÷长方体的长是40厘米，宽是20厘米的底面面积，即可解答。 【详解】（1）20×10＋（20×36＋10×36）×2 ＝20×10＋（720＋360）×2 ＝20×10＋1080×2 ＝200＋2160 ＝2360（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是2360平方厘米。 （2）20×10×36÷（20×40） ＝20×10×36÷800 ＝200×36÷800 ＝7200÷800 ＝9（厘米） 答：这时水深9厘米。 3．一个正方体木块的表面积是96平方分米，把它切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 64 32 【分析】 如图，把正方体切成两个完全相同的长方体，每个长方体的表面积＝正方体的表面积÷2＋1个正方形面的面积；正方体表面积÷6＝1个面的面积，再根据1个面的面积＝棱长×棱长，确定正方体棱长，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体体积÷2＝长方体体积，据此列式计算。 【详解】96÷6＝16（平方分米） 96÷2＋16 ＝48＋16 ＝64（平方分米） 16＝4×4 4×4×4÷2 ＝64÷2 ＝32（立方分米） 每个长方体的表面积是64平方分米，体积是32立方分米。 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式。 题型3：组合体表面积计算 1．在一个大正方体上面放置一个棱长是3分米的小正方体（如图），和之前的大正方体相比，表面积增加了（    ）。 A．54平方分米 B．45平方分米 C．36平方分米 【答案】C 【分析】将小正方体上面的面平移到下面，表面积增加了小正方体前后左右4个面的面积，因此增加的表面积＝小正方体的棱长×棱长×4，据此列式计算。 【详解】3×3×4＝36（平方分米） 表面积增加了36平方分米。 故答案为：C 2．如下图，在由8个棱长是1厘米的小正方体组成的大正方体中拿走1个小正方体，这时它的表面积是（    ）平方厘米。 A．7 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】拿走一个小正方体减少了3个面，又增加了3个面，现在图形的表面积就等于原来大正方体的表面积，首先用1×2计算出大正方体的棱长，然后再求出其表面积即可。 【详解】1×2＝2（厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 在由8个棱长是1厘米的小正方体组成的大正方体中拿去1个小正方体，这时它的表面积是24平方厘米。 故答案为：C 3．东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 【答案】B 【分析】分别计算出剩下部分的表面积，比较即可。正方体表面积＝棱长×棱长×6。 A．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积－边长1厘米的正方形面积×2； B．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×4－边长1厘米的正方形面积×2； C．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×2－边长1厘米的正方形面积×2； 【详解】A．5×5×6－1×1×2 ＝150－2 ＝148（平方厘米） B．5×5×6＋5×1×4－1×1×2 ＝150＋20－2 ＝168（平方厘米） C．5×5×6＋5×1×2－1×1×2 ＝150＋10－2 ＝158（平方厘米） 168＞158＞148 在图的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，能看明白图示中剩下部分的表面积的组成。 4．如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 464 584 【分析】根据图可知，模型的表面积＝棱长是8厘米正方体表面积＋棱长是4厘米正方体的侧面积＋棱长是2厘米的正方体的侧面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出表面积； 模型的体积＝棱长是8厘米正方体体积＋棱长是4厘米正方体的体积＋棱长是2厘米的正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】8×8×6＋4×4×4＋4×2×4 ＝64×6＋16×4＋4×4 ＝384＋64＋16 ＝448＋16 ＝464（平方厘米） 8×8×8＋4×4×4＋2×2×2 ＝64×8＋16×4＋4×2 ＝512＋64＋8 ＝576＋8 ＝584（立方厘米） 这个模型的表面积是464平方厘米，体积是584立方厘米。 题型4：长方体和正方体体积的应用 1．将一根长方体木料平均截成3段，每段长4分米，表面积增加36平方分米，原来长方体木料的体积是( )立方分米。 【答案】108 【分析】将长方体木料截成3段，需要切2次，每次切增加2个横截面，因此共增加4个横截面。表面积增加36平方分米，即4个横截面的总面积，所以每个横截面的面积是36÷4＝9平方分米。横截面就是长方体的底面积。原来木料的总长度是3段乘每段长度4分米，即12分米。体积等于底面积乘高，因此体积为9×12＝108立方分米。 【详解】截成3段，共增加4个横截面。 36÷4＝9（平方分米） 3段总长为：4×3＝12（分米） 体积：9×12＝108（立方分米） 所以原来长方体木料的体积是108立方分米。 【点睛】解答本题需要知道，将一个长方体平均截成三段后，表面积增加了4个横截面的面积，据此可以求出每个横截面的面积，应用长方体的体积＝底面积×高，解答即可。 2．一个长方体，如果高增加4厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加192平方厘米。原来这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 1152 【分析】已知高增加4厘米变成正方体，则这个长方体的长和宽是相等的，且原来的高比长（或宽）少4厘米。 表面积增加的192平方厘米，是高增加4厘米后新增的4个侧面的面积（上下底面未变化），因为长和宽相等，所以新增的4个侧面完全相同，用192平方厘米除以4求出1个新增面的面积，根据“长方形面积＝长×宽”，用长方形面积除以增加的高求出长方体的长（或宽）；然后用算出的长（或宽）减去4厘米，得到原来长方体的高；最后，根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出原来长方体的体积。据此解答。 【详解】192÷4＝48（平方厘米） 48÷4＝12（厘米） 12－4＝8（厘米） 12×12×8 ＝144×8 ＝1152（立方厘米） 所以原来这个长方体的体积是1152立方厘米。 3．如图①为一个长方体玻璃缸，从里面量，长30厘米，宽15厘米，高20厘米，里面装有一些水。如图②，现将一端抬高后，AB长4厘米，CD长3厘米。 （1）玻璃缸中水的体积是多少升？ （2）如果将这端继续抬高，水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，请你画出此时从前面看，水在玻璃缸中的形状，用阴影表示。 【答案】（1）4.275升 （2） 【分析】（1）根据图2，将玻璃缸的一端抬高，有一部分的水倾斜了，倾斜部分的体积就是将原本玻璃缸的高度减去AB再减去没有倾斜部分的水的高度为CD的体积除以2，即水的体积＝高度为CD水的体积＋（水缸的高度－AB－CD）水的体积÷2；注意最后根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升换算单位即可。 （2）在水倾斜的过程中，水的体积不变，当水到达玻璃缸口并且正好与缸口重合，水的体积＝玻璃缸的高×玻璃缸的宽×长÷2，得出水的长度＝水的体积×2÷20÷15，则长度为28.5厘米，则小于原本长方体玻璃缸的长，画出示意图即可。 【详解】（1）20－4－3＝13（厘米） 30×15×13÷2＋30×15×3 ＝5850÷2＋1350 ＝2925＋1350 ＝4275（立方厘米） 4275立方厘米＝4275毫升＝4.275升 答：玻璃缸中水的体积是4.275升。 （2）4275×2÷20÷15 ＝8550÷20÷15 ＝28.5（厘米） 4．正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】根据正方体的体积＝边长×边长×边长，正方体的棱长扩大3倍，由此即可即可选择。 【详解】扩大棱长后的正方体体积＝3×边长×3×边长×3×边长＝27×边长×边长×边长＝27×扩大棱长前的正方形体积，即正方体的棱长扩大3倍，体积扩大27倍。 故答案为：D 题型5;不规则物体体积的计算 1．测量一个不规则石块的体积，将石块放进一个从里面量长10厘米、宽10厘米、高16厘米的长方体玻璃容器里（加满水），拿出石块后水面下降了4厘米，石块的体积是（    ）。 A．1600立方厘米 B．400立方厘米 C．40立方厘米 D．4升 【答案】B 【分析】根据排水法原理，当石块完全浸没在水中时，排开水的体积等于石块的体积。容器为长方体，水面下降部分的水的体积可通过底面积乘下降高度计算得出，即排开水的体积＝石块的体积＝长×宽×水面下降高度。 【详解】10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） 因此，测量一个不规则石块的体积，将石块放进一个从里面量长10厘米、宽10厘米、高16厘米的长方体玻璃容器里（加满水），拿出石块后水面下降了4厘米，石块的体积是400立方厘米。 故答案为：B 2．一个无盖的长方体玻璃鱼缸。长40厘米，宽30厘米，高20厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方厘米？ （2）鱼缸里有一些水，往水里放入一些鹅卵石、水草等装饰品，水面上升了3厘米，这些装饰品的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】（1）4000平方厘米 （2）3600立方厘米 【分析】（1）题目给出玻璃鱼缸是无盖的，根据无盖长方体的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解； （2）根据不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，把数代入公式即可求解。 【详解】（1）40×30＋（40×20＋30×20）×2 ＝1200＋（800＋600） ＝1200＋1400×2 ＝1200＋2800 ＝4000（平方厘米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃4000平方厘米。 （2）40×30×3 ＝1200×3 ＝3600（立方厘米） 答：这些装饰品的体积一共是3600立方厘米。 3．如图所示，一个小球的体积是 ；一个大球的体积是 。 【答案】 6 14 【分析】图一中有1个大球和1个小球，排出水的体积是20毫升，图二中有1个大球和4个小球，排出水的体积是38毫升，两次排出水的体积差就是（4－1）个小球的体积，由此求出每个小球和大球的体积。 【详解】（38－20）÷（4－1） ＝18÷3 ＝6（毫升） 6毫升＝6立方厘米 20－6＝14（毫升）＝14立方厘米 一个小球的体积是6立方厘米，一个大球的体积是14立方厘米。 【点睛】用两次排出水的体积除以两次球的个数差，就是每个小球的体积。 4．数学实验课上，同学们正在测量铁球体积，步骤如下： （1）取一个长20厘米，宽15厘米的长方体容器，注入部分水（如图①）； （2）放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升了4厘米（如图②）； （3）再放入乙球，这时有部分水溢出（如图③）； （4）取出乙球，这时水面距离容器口6厘米（如图④）。 甲球的体积是( )立方厘米，乙球的体积是( )立方厘米。 【答案】 1200 1800 【分析】放入甲球，甲球完全浸没在水中，水面上升4厘米，也就是甲球的体积相当于一个长20厘米，宽15厘米，高4厘米的长方体体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可； 乙球从水里拿出来后，乙球的体积与水面下降部分的体积相同，水面下降的体积可看作长20厘米，宽15厘米，高6厘米的长方体体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【详解】20×15×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 所以甲球的体积是1200立方厘米。 20×15×6 ＝300×6 ＝1800（立方厘米） 所以乙球的体积是1800立方厘米。 甲球的体积是1200立方厘米，乙球的体积是1800立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $