1.5 正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

1.5 正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识 题型一 “五点法”作正弦函数与余弦函数的图像 1．用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 2．利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 3．设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ）． A． B． C． D．或 4．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 5．已知定义在区间的函数，则函数的解集是（    ） A． B． C． D． 6．若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ． 7．已知函数，，则该函数的图象最高点的纵坐标是 ． 8．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 9．已知函数. (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出此函数的单调递增区间. 10．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 题型二 与正弦函数、余弦函数有关的定义域问题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为 ． 6．函数的定义域为 7．函数 的定义域为 . 8．函数f(x)＝的定义域为 . 题型三 与正弦函数、余弦函数有关的值域与最值问题 1．已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（    ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 4．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．1 5．已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 7．函数的值域是 . 8．函数的最大值为 ． 9．函数在区间上的值域为 . 10．已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ． 11．若函数的最大值为，最小值为． (1)求，的值； (2)求函数取得最大值时的的值. 12．（1）若，求的值域． （2）求函数的值域． 13．设，函数，. (1)当时，求的值域； (2)讨论的零点个数. 题型四 正弦函数与余弦函数的单调性与最值问题 1．函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 2．函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 6．在内，函数和都是增函数的区间是 . 7．函数在上的递增区间为 ． 8．求函数的单调递增区间． 9．已知：函数，． （1）求函数的单调增区间． （2）设关于的函数的最小值为．试确定满足的的值． 10．已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 题型五 与正弦函数、余弦函数有关的的奇偶性与对称性 1．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 2．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 6．若为偶函数，则实数a= ． 7．若函数为偶函数，则实数 ． 8．已知函数的值域为，则 ． 9．若函数为偶函数，则 . 10．已知函数为奇函数，则 . 11．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 12．下列直线为函数的对称轴是（   ） A． B． C． D． 13．关于函数的图象与性质的描述正确的是（   ） A．最小正周期是 B．图象的对称轴为 C．单调增区间是 D．图象的对称中心为 14．已知，则“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知函数，现给出下列四个结论： ①的图象关于点对称； ②函数的最小正周期为； ③函数在上单调递减； ④对于函数． 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 16．已知函数，现给出下列四个选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．是的一条对称轴 D．在上单调递增 17．函数的图象关于点 中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 18．关于函数有如下四个命题： ①的定义域是； ②图象关于y轴对称； ③的图象关于点，对称； ④在上单调递减，在上单调递增. 其中所有真命题的序号是 . 19．函数图像的对称中心的坐标是 20．函数的对称轴方程是 21．函数图像的对称轴方程是 . 22．判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 23．已知函数 (1)证明：是偶函数. (2)若，求在上的零点. 题型一 利用正余弦函数的单调性求参数 1．若的最大值为3，最小值为1，则ab的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 2．当，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间，a]上为增函数，则的取值范围是（    ） A． B．， C．， D． 4．已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 7．若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 . 8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 9．函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 10．已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 11．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 12．若函数在区间上是严格减函数，则实数a的最大值为 题型二 利用正余弦函数的奇偶性与对称性求参数 1．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 3．已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 5．设，且为奇函数，则 . 6．已知函数是奇函数，则 ． 7．函数（其中）为偶函数，则 . 8．若函数的图象关于轴对称，则实数 ． 9．若为偶函数，则实数 . 题型三 正余弦函数值比大小 1．已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．若为锐角，则的大小关系为 ． 7．三个数，，的大小关系是 . 8．的大小关系是 . 9．下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 10．设，且满足，则的大小关系为 ． 题型四 解正余弦不等式 1．在中，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 3．在内，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．在上，使不等式成立的的集合为 . 6．不等式组的解集为 ． 7．已知函数，则的解集是 ． 8．已知，若，则的取值范围是 . 9．已知函数. (1)利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式对恒成立，求及. 10．已知的最大值为3，最小值为.    (1)求a，b的值； (2)若，在图中作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间； (3)当，求满足的x的取值范围. 11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集． 12．已知函数，. (1)用五点法画函数在上的图像； (2)解不等式. 1．已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 5．函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在闭区间上的最大值记为，若实数满足，则的值为（   ） A． B． C． D．或 7．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 8．已知函数，若，则 ． 9．若对于，总，使得，则实数的最小值为 . 10．表示不超过的最大整数，则 . 11．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是 . 12．已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ． 13．已知函数，有下面四个命题： ①是周期函数 ②的图像关于直线对称 ③的值域为 ④当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 其中正确命题是 ． 14．已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②是以为最小正周期的周期函数； ③在区间上单调递增； ④在上有个零点； 其中所有正确结论的序号是 . 15．设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 16．已知函数 (1)求； (2)求函数在上的最大值与最小值； (3)在区间上有且仅有一个，使得，求的取值范围. 17．已知，函数，其中． (1)设，求的取值范围，并把表示为的函数； (2)求函数的最大值（可以用表示）； (3)若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 18．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)探究“余正弦”函数的值域. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.5正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识 正弦函数sinx的图像 正弦函数sinx的定义域 正弦函数的图像 正弦函数sinx的值域与最值 与性质再认识 正弦函数sinx的单调性 正弦函数sinx的奇偶性与对称性 正弦函数、余弦函数的 图像与性质再认识 余弦函数c0SX的图像 余弦函数c0sx的定义域 余弦函数的图像 余弦函数coSx的值域与最值 与性质再认识 余弦函数cosx的单调性 余弦函数c0SX的奇偶性与对称性 基础达标题 题型一“五点法”作正弦函数与余弦函数的图像 1.A 2.C. 3.D 4.D 5.C. 6.(-1,0] 7.1 8.【详解】(1)因为y=sinx的定义域为R,关于原点对称， sin(-x=-sinx=sinx,故--sin x为偶函数， 又sin(π+x=卜sinx=sinx,所以函数f(x)=sin是以n为周期的周期函数. 列表 元 刀 2 1/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=sinx 0 y=sinx 0 作图：先作出(0，π的图象，又原函数是偶函数，且周期为刀，将图象向两边延伸，即可得函数y=Snx, x∈R的图象 3π--0 2 2 (2)按五个关键点列表： 0 3 2 2π coSx 1 -1 1 1-cosx 0 2 1 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： =1-C0Sx,x∈0,2π 2 3π 2分主 2 2 9.【详解】(1)按五个关键点列表如下： 0 兀 X 刀 2 2 2π cosx 1 0 -1 0 1 y=3+2cosx 5 3 3 5 描点、连线画出图象（如图）· 2/24 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3 2 2 (2)令t=cosx,则y=3+21; 因为函数y=3+2t是增函数，所以当x∈[2kπ-元，2kπ，k∈Z时，函数y=Cosx单调递增，y=3+2cosx也是 单调递增的， 所以，函数的单调递增区间为[2kπ-元，2kπ]，k∈Z. 10.【详解】(1)由题意，列表： 0 刀 3n 2 2 sinx 0 1 0 -1 sinx+1 1 2 1 0 根据五点，作图： v=1+sinx 3π 2π衣 y=sinx (2)y=1+sinx,x∈[0,2π其图象如图： 2 y=1+sinx y=t π 32 观察图象得：当t<0或t>2时，有0个交点； 当t=0或t=2时，有1个交点； 当0<t<1或1<t<2时，有2个交点； 当1=1时，有3个交点. 3/24 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二与正弦函数、余弦函数有关的定义域问题 1.C. 2.C 3.B. 4.C. 5.+2kx,5π+2 kr(kez). (6 6 6. +2k,3+2kπ，k∈Z (3 7.R &.-子k+孕ke2 【详解】：cos2x2sin2x,即I cos x≥Isin x, 如下图示， y M y= 的定义域为km-不km+,k∈Z, 故答案为：km-亚，km十】，k∈Z 题型三与正弦函数、余弦函数有关的值域与最值问题 1.B. 2.D 3.A 4.B. 5.c 【详解】令fx=-4sin2x+4cosx+1-a=0, a =-4sin2x+4cosx+1=4cosx+4cosx-3. 因为x[,所以s[ 4/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所议a=4eosx+4cos-3=4cosx+王 当cosx=-二时，a取得最小值为-4： 当c0sx=1时，a取得最大值为：4×？-4=5. 4 所以-4≤a≤5. 故选：C 6.B. 7.（-0,-2]U[0,+o) )由函数的解析式可知：1-2snx≠0→snt 1+sinx y= 1-2sinx →y1-2sinx)=1+sinx→sinx(2y+l）=y-1, 当21=0时，即y= 二时，显然sinx(2y+l=y-1不成立， 当)≠时，s血2+=y-1→n y-1 2y+1’ 因为sinx≤1，且sinx 2’ y-1 ≤1 所以有 2y+1 → y-11 y-≤2y+ly-12≤2y+12→y20或y≤-2， -2≠1 2y+12 所以该函数的值域为-0，-2U[0,+o), 故答案为：（-0，-2]U[0,+o) 8.6. o(经（经+】 11.(1)答案见解析 (2)x=2kx-(keZ) 5/24 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)因为sinxe[-l,, 3 a+b= 1 2 = 当b>0时，由条件可知 1，解得“ 2： a-b=- b=1 2 3 a-b= 1 a= 当b<0时，由条件可知 1’解得 2, a+b=-2 b=-1 1 〔1 a= a=- 由上可知 2或2 b=1b=-1 (2)由(1)可知y=-asinx台y=- 若y=-2sinx取得最大值，则sinx=-l, 可得x=2k-引keZ, 2[原：，[ 【解】1因为e小所以≤m≤，则令=nx[, π 所以y=sin2x+2sinx+2=t2+2t+2=(t+1)+1. 又二次函数y=(t+1)+1的图象开口向上，对称轴为t=-1, 所以1[]时，两数y++1单润递塔。 则当=时分1 当1=1时，y=(1+1)+1=5. 综上，函数y的值域为 (2)因为y= 1-2cosx 所以cosx= 1-y ,且y≠-1. 1+2cosx 2+2y 又因为cos≤1，所以 1-y 2+2y 1，即(1-y)2≤(2+2y)2, 整理得y+33y+1≥0，解等)≤3或2 6/24 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，函数？的雀拔为一，[ 13. - (2)答案见解析 【详解】(1)当t=3时，f(x)=2cos2x-2cosx-3, 因为xe0 所以cosx∈(0,1， 令k=C0Sx, 则e0,◆g1=2-2-3=2-3te1o. 上单调递减， 在2上单调递增 故gk)的值域为 子小即的值城为名小 (2)令f(x=0,即2cos2x-2cosr-t=0,得2cos2x-2cosx=t: 因为xe0引， 所以cosx∈(0,1， 令m-.me小，令F=2-2m-2aeo, 则F(a在0)上单调递减，在上单调递蜡。 又r)分Fo=F川=0，所以F[ 即2m-2m小 2m2-2m=t, 因为=osx在0到上单调避减， 所以f(x的零点个数等价于hm)=2m2-2m-1(0<m<1)的零点个数， 即y=1与F(m)=2m2-2m(0<m<1)的交点个数， 当≥0或1<)时，2m-2m=1无解 当1=时，2m-2m=仅有一解： <1<0时，2m2-2m=1有两解。 当- 7/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上，当1≥0或1<时，倒无零 当1=时，fx有一个零点： 2 1 当-21<0时，f(到有两个零点. 题型四正弦函数与余弦函数的单调性与最值问题 1.B 2.c 3.D 4.C. 5.A. 7. [ππ L2'2 8.【详解】由sinr+)≥0解得-+2m≤xs7π+2km,k∈Z. 6 6 又，y=sinx单调递增区间为 -2a+2a,kez 函数y=√为定义域上的增函数， 所以原函数的单调递增区间为 6 9.(1) 2kx,+2kx]keZ:(2)-1 【详解】(1)当sinx≥0，即2kπ≤x≤π+2kπ(keZ)时，f(x)=sinx, 此时到的单调递塔区间为2kx,受+2keZ列： 当six<0,即2kπ-π≤x≤2kπ(keZ)时，f(x=0,此时fx)无单调递增区间； 综上所达：f八的单调递增区间为2kx,受+2x]keZ列 (2)g(x)=-2(1-cos2x)-2acosx-2a+1=2cos2x-2acosx-2a-1, 令cosx=1∈[-1,1，则gt=2t-2at-2a-1, “81是开口方向肉上，对称轴为1=号的二次函数： 8/24 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当g≤-1，即a≤-2时，g在-1，川上单调递增， ha)=g-1=2+2a-2a-1=1,不满足A(a=2 1 ②当g≥1，即a≥2时，g)在-1,1川上单调递减， h(a=g=2-2a-2a-1=-4a+l，令h(a=2,解得：a=g’不满足a22: 国当-1<号1，即-2<a<2时，8间在-)上单调避该，在别上单调递增， al=8月=-号-2a-1,令a-分解得：a=-1或a=-3(舍，a=-: 综上所述：满足n(a=的a的值为-l. 10.a2x-≤x≤2kx+2keZ,a则 2证明见解析，[2kx-行2，keZ. 【详解】<1)由c0sx20得，xe2kx-受2x+引，ke2. 则函数的定义城D为2kx-≤x≤2kx+受keZ公， 2 函数的值域为[0，； (2)因为定义域D关于原点对称，且f(-x)=Vcos(-x)=cosx=f(x), 所以函数y=f(x)为偶函数. 因为f(x+2r)=Vcos(x+2π)=Vcosx=f(x), 即2π是f(x)的一个周期， 假设T为f(x)的一个周期，且0<T<2π， 则f(x+T)=f(x)对定义域D内的任意一个x恒成立， 取x=0eD,则f(T)=f(0), 即cosT=√cos0=1,即cosT=1, 因为0<T<2π，所以cosT∈[-1,1)， 则cosT=1不成立， 所以假设不成立，故2π是f(x)的最小周期， 因为y=Cosx的单调增区间为[2kπ-元，2kπ]，k∈Z, 9/24 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k∈Z,y=x2在[0，+0)上为增函数， 结合定义域D可得函数的单调增区间为 2-2a.e2. 题型五与正弦函数、余弦函数有关的的奇偶性与对称性 1.C 2.A 3.A 4.D. 5.c 6. 7.0 8.2 sin x 【详解】令g(x)= (-2025≤x≤2025)，gx)的定义域关于原点对称， 2cosx-3 sin(-x) sinx g(-x) 2cos(--32c0sx-3=-8(, 所以gx)为奇函数，8x)min+8(xmx=0, f(x)=g(x)+1,f(x)min+f(x)m=g(x)mi+1+g(x)m+1=2,M+m=2. 故答案为：2. 9.-4 10.1. 11.D. 12.A. 13.A 14.A 15.C 10/24 1.5 正弦函数、余弦函数的图像与性质再认识 题型一 “五点法”作正弦函数与余弦函数的图像 1．用“五点法”画的图象时，下列哪个点不是关键点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据五点作图法得到五个关键点，得到答案. 【详解】五点作图法在内的五个关键点为 ，可知不是关键点． 故选：A 2．利用五点法作函数，的简图时，第三个点的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化为分段函数，按五点法作图列出五点即可. 【详解】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 故第三个点的坐标是， 故选：C. 3．设为常数，且满足，且的的值只有一个，则实数的值为（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用五点作图法作出，的函数图象，依题意与在上只有个交点，结合图象即可求出参数的值. 【详解】解：因为，列表： 描点、连线，函数图象如下图所示： 因为，且的的值只有一个， 所以与在上只有个交点， 结合图象可知或. 故选：D 4．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 5．已知定义在区间的函数，则函数的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数图象，数形结合即可得答案. 【详解】作出函数图像，如图， 所以由函数图像得的解集为 故选：C. 6．若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得，进而得到答案. 【详解】作出，与的大致图象，如图所示． 由图象，可知，即，故实数a的取值范围为． 故答案为：. 7．已知函数，，则该函数的图象最高点的纵坐标是 ． 【答案】1 【分析】根据余弦函数的“五点”即可求出． 【详解】因为，， 所以函数图象的最高点的坐标为和， 所以最高点的纵坐标是1． 故答案为： 8．作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 9．已知函数. (1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象； (2)写出此函数的单调递增区间. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据五点法，列表、描点、连线. （2）由余弦函数的单调性可得. 【详解】（1）按五个关键点列表如下: x 0 1 0 0 1 5 3 1 3 5 描点、连线画出图象（如图）. （2）令，则; 因为函数是增函数，所以当时，函数单调递增，也是单调递增的. 所以，函数的单调递增区间为. 10．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【答案】(1)图象见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据五点法及正弦函数的五点，列表、描点、连线，画出图象； （2）先根据图象再分情况数形结合得出个数即可. 【详解】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图：    （2）其图象如图：    观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 题型二 与正弦函数、余弦函数有关的定义域问题 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 2．函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，即， 解得，， 所以函数的定义域为，. 故选：C 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的真数大于零，二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组可求得结果. 【详解】要使有意义，需满足， 解得且． 所以定义域为. 故选：B． 4．在内函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，其中有意义， 则满足，其中，即，其中， 解得，即函数的定义域为. 故选：C. 5．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域，结合三角函数的诱导公式以及单调性，可得答案. 【详解】由，则， 化简可得，解得. 故答案为：. 6．函数的定义域为 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 7．函数 的定义域为 . 【答案】R 【分析】根据余弦函数的值域和定义域即可求解. 【详解】由知 又由，故定义域为R. 故答案为：R 8．函数f(x)＝的定义域为 . 【答案】[kπ－，kπ＋]，k∈Z 【分析】由根式性质可得|cos x|≥|sin x|，结合正余弦函数的性质及单位圆画出的范围，即可得定义域. 【详解】∵cos2x≥sin2x，即|cos x|≥|sin x|， ∴如下图示， f(x)的定义域为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 故答案为：[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 题型三 与正弦函数、余弦函数有关的值域与最值问题 1．已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出，利用余弦函数的基本性质可得出的最大值. 【详解】因为角与的终边关于轴对称，则，故， 因为，，所以， 故的最大值为. 故选：B. 2．已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合，利用指数函数的单调性求得的值域为，结合题意即可得解. 【详解】由和是增函数可知， 所以的值域为，所以，可得. 故选：D. 3．已知函数的最大值为1，最小值为，则函数的最大值为（    ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】分，求出的值，再求函数的最大值. 【详解】若，则， 所以（当时取“”）； 若，则， 所以（当时取“”）. 综上可知：的最大值为：5. 故选：A 4．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用三角函数的诱导公式与单调性即可得解. 【详解】由题意，得，所以， 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为. 故选：B. 5．已知函数，若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得，结合的取值范围，求式子的值域即可. 【详解】令， 得． 因为，所以. 所以， 当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为：. 所以. 故选：C 6．函数的最小值和最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，结合图象可得的最小值和最大值. 【详解】画出的图象如图 画出图象如图 将两个图象画在一起，取下方图象，画出的图象，如图， 根据图象可知，函数的最小值和最大值分别为， 故选：B. 7．函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用正弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可知：， ， 当时，即时，显然不成立， 当时，， 因为，且， 所以有或， 所以该函数的值域为， 故答案为： 8．函数的最大值为 ． 【答案】6 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的平方关系对原函数进行化简，再结合一元二次函数性质即可求解． 【详解】， 又，函数在上单调递增， 所以函数最大值为． 故答案为：6． 9．函数在区间上的值域为 . 【答案】 【分析】由诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求解. 【详解】因为，，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 10．已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】数形结合，分在区间上的最大值是和1两种情况讨论. 【详解】如图：    当时，函数在区间上的最大值为，最小值为； 当时，函数在区间上的最大值为1，最小值为. 综上可知：实数的取值范围为． 故答案为： 11．若函数的最大值为，最小值为． (1)求，的值； (2)求函数取得最大值时的的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据的正负进行分类讨论，由条件可求得值； （2）根据条件确定出，由此可求的取值. 【详解】（1）因为， 当时，由条件可知，解得； 当时，由条件可知，解得， 由上可知，或. （2）由（1）可知， 若取得最大值，则， 可得. 12．（1）若，求的值域． （2）求函数的值域． 【答案】； 【分析】（1）根据，得出的值域，令，将问题转化为求二次函数的值域即可求解； （2）先将函数转化为，然后利用余弦函数的取值范围建立不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则令， 所以. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以时，函数单调递增， 则当时，， 当时，. 综上，函数的值域为. （2）因为，所以，且. 又因为，所以，即， 整理得，解得或， 综上，函数的值域为. 13．设，函数，. (1)当时，求的值域； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得； （2）令，可得，令，求出函数的单调性与值域，结合余弦函数的单调性，将问题转化为与的交点个数. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 令，则，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，又， 故的值域为，即的值域为. （2）令，即，得. 因为，所以， 令，则，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 即，， 因为在上单调递减， 所以的零点个数等价于的零点个数， 即与的交点个数， 当或时，无解； 当时，仅有一解； 当时，有两解. 综上，当或时，无零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 题型四 正弦函数与余弦函数的单调性与最值问题 1．函数在（    ） A．上单调递增 B．上单调递减 C．上单调递减 D．上单调递增 【答案】B 【分析】由诱导公式得，然后根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B 2．函数的一个单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化成分段函数并作出图象，结合图象即可判断. 【详解】函数，其图象如图所示：    由图知：函数在上单调递减. 故选：C 3．下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角函数图象的对称变换，确定各选项中三角函数的周期性与单调性，一一判断各选项，即可求解. 【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：， 所以AC选项不符合题意； 对于B：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递增，所以B选项不符合题意； 对于D：的图象可由的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方， 原来在x轴和x轴上方部分不变；故周期为：， 且在上单调递减，所以D选项符合题意； 故选：D 4．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 5．已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性. 【详解】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误. 故选：A. 6．在内，函数和都是增函数的区间是 . 【答案】 【分析】分别求出两个函数在的单调增区间，然后求交集即可得解. 【详解】因为在内单调增区间为：， 在内单调增区间为：， 所以在内，函数和都是增函数的区间是. 故答案为：. 7．函数在上的递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调区间即可求解. 【详解】因为在上的递增区间为， 所以函数在上的递增区间为， 故答案为：. 8．求函数的单调递增区间． 【答案】 【分析】先求定义域，再结合函数的单调性和正弦单调性计算即可. 【详解】由解得． 又单调递增区间为 函数为定义域上的增函数， 所以原函数的单调递增区间为 9．已知：函数，． （1）求函数的单调增区间． （2）设关于的函数的最小值为．试确定满足的的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）分别在和两种情况下得到解析式，由此可确定单调递增区间； （2）令，将函数变为，分别在、和三种情况下，根据二次函数单调性确定最小值，从而构造方程求得结果. 【详解】（1）当，即时，， 此时的单调递增区间为； 当，即时，，此时无单调递增区间； 综上所述：的单调递增区间为. （2）， 令，则， 是开口方向向上，对称轴为的二次函数； ①当，即时，在上单调递增， ，不满足； ②当，即时，在上单调递减， ，令，解得：，不满足； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，令，解得：或（舍），； 综上所述：满足的的值为. 10．已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 【答案】(1)， (2)证明见解析，，． 【分析】（1）由，结合余弦函数的性质可求出定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，根据周期的定义可求出最小正周期，由的增区间结合定义域可求出函数的增区间. 【详解】（1）由得，，． 则函数的定义域D为， 函数的值域为； （2）因为定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数． 因为， 即2π是的一个周期， 假设T为的一个周期，且， 则对定义域D内的任意一个x恒成立， 取，则， 即，即， 因为，所以， 则不成立， 所以假设不成立，故2π是的最小周期， 因为的单调增区间为，， ，在上为增函数， 结合定义域D可得函数的单调增区间为 ，． 题型五 与正弦函数、余弦函数有关的的奇偶性与对称性 1．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质求函数值. 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 2．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 3．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，且，即，故为奇函数，故选项A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C，函数的定义域为，，均不恒为0，故为非奇非偶函数，故选项C错误； 对于D，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故选项D错误. 故选：A． 4．若函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得函数为偶函数，故，由此可求. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数的图象关于轴对称， 所以函数为偶函数， 所以， 所以， 所以恒成立， 所以， 故选：D. 5．函数的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得. 【详解】由，且定义域为R， 所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C 6．若为偶函数，则实数a= ． 【答案】/0.5 【分析】由求出，由是偶函数，得到，代入计算求解即可. 【详解】， ， 是偶函数，， 则有， 化简得，因不恒为0，故，解得. 故答案为：. 7．若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】0 【分析】取特值求出，然后验证即可. 【详解】因为为定义在上的偶函数， 所以，即，所以． 当时，，为偶函数， 所以. 故答案为：0 8．已知函数的值域为，则 ． 【答案】2 【分析】令，由的奇偶性，得到，进而得到，即求得的值. 【详解】令，的定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，， ，，即. 故答案为：2. 9．若函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】由为奇函数即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 而是偶函数，是奇函数， 所以为奇函数， ，得； 若，函数，定义域为空集，函数不存在， 若，代入验证符合题意. 故答案为： 10．已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义可直接得到恒等式，由此可确定的值. 【详解】为奇函数，， 即，. 故答案为：. 11．已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 【答案】D 【分析】计算即可判断AB，计算即可判断C，计算即可判断D. 【详解】因为既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误； 又，故的图象不关于对称，故C错误； 因为，故的图象关于对称，故D正确； 故选：D. 12．下列直线为函数的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式得到，令即可求出对称轴． 【详解】对于函数， 当时取到对称轴． 所以是函数的一条对称轴， 故选：A． 13．关于函数的图象与性质的描述正确的是（   ） A．最小正周期是 B．图象的对称轴为 C．单调增区间是 D．图象的对称中心为 【答案】A 【分析】根据正弦函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调增区间即可得到答案. 【详解】的最小正周期是，故A正确； 对称轴为，故B错误； 单调增区间是，原结论缺少故C错误； 图象的对称中心为，故D错误； 故选：A. 14．已知，则“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】对于充分性，直接把代入即可判断，对于必要性，根据余弦函数的对称中心即可判断. 【详解】判断充分性，当时，根据余弦函数的性质，.所以由“”能推出“”，充分性成立； 判断必要性，当时，，满足的不只是， 还有的情况.所以由“”不能推出“”，必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15．已知函数，现给出下列四个结论： ①的图象关于点对称； ②函数的最小正周期为； ③函数在上单调递减； ④对于函数． 其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D. 【详解】对于①，由得的定义域为， ， 因此的图象关于点对称，故①正确； 对于②，因为， 所以是的周期，故②错误； 对于③，当时，，所以， 故， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，由复合函数性质可知，函数在上单调递减，③正确； 对于④，由上知，当时，， ， 因此，故④正确. 故选：C. 16．已知函数，现给出下列四个选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．是的一条对称轴 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】由函数奇偶性的验证可判断A，根据周期定义及诱导公式判断B，根据函数的对称性可判断C，根据正弦型函数的单调判断D. 【详解】因为的定义域为，所以为偶函数，错误； 由，可得的最小正周期为，B错误； ， ， 因为，所以是的一条对称轴，C正确； 当时，函数单调递增，值域为， 当时，函数单调递增，故在上单调递增. 当时，函数单调递增，值域为， 当时，函数单调递减，故在上单调递减，D错误. 故选：C. 17．函数的图象关于点 中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对称中心的横坐标满足，取得到 【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为. 故答案为： 18．关于函数有如下四个命题： ①的定义域是； ②图象关于y轴对称； ③的图象关于点，对称； ④在上单调递减，在上单调递增. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】②③ 【分析】由解析式有意义列不等式求函数定义域，判断①，根据偶函数的定义结合余弦函数性质证明函数为偶函数，判断②，根据对称性的定义判断③，根据复合函数的单调性结论判断④，由此可得结论. 【详解】因为有意义，所以，故，，所以的定义域是，故①错误； 函数的定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于y轴对称，故②正确； ， 的图象关于点，对称，故③正确； 令，则， 因为在上单调递减，所以当时，， 又函数和函数在上都为增函数，所以在上单调递增，所以在上单调递减，同理可得在上单调递减，故④错误；则所有真命题的序号是②③. 故答案为：②③ 19．函数图像的对称中心的坐标是 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，令，解得， 所以函数的对称中心的坐标为. 故答案为：. 20．函数的对称轴方程是 【答案】， 【分析】根据诱导公式化简函数，利用正弦函数的对称性，整体代换即可求解. 【详解】， 令，得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故答案为：，. 21．函数图像的对称轴方程是 . 【答案】（其中为整数）. 【分析】根据正弦函数的对称性，结合伸缩变换与平移变换的影响得出. 【详解】正弦函数的对称轴是直线（其中为整数）. 因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性. 函数的对称轴方程为（其中为整数）. 故答案为：为（其中为整数）. 22．判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)； (2)； 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据奇偶函数的定义判断； （2）根据奇偶函数的定义判断. 【详解】（1）定义域为，关于原点对称，又， 所以是奇函数. （2）定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数. 23．已知函数 (1)证明：是偶函数. (2)若，求在上的零点. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案； （2）根据题意，由求出的值，即可得的解析式，进而求函数的零点，即可得答案． 【详解】（1）函数， 其定义域为，有， 则为偶函数； （2）若，即，解可得， 故， 若，即，解可得或舍， 又由，则， 即在上的零点为. 题型一 利用正余弦函数的单调性求参数 1．若的最大值为3，最小值为1，则ab的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的性质，结合分类讨论的正负即可求解. 【详解】当时，则得 此时； 当时，得 此时； 综上所述，， 故选：D 2．当，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案. 【详解】由题意，， 当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故的取值范围为， 故选：B 3．函数在区间，a]上为增函数，则的取值范围是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的图象与性质，结合条件，即可得答案. 【详解】函数在区间，上为增函数，在，上为减函数， 又已知函数在区间，上为增函数， 所以，即的取值范围是，. 故选：B. 4．已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数单调性的判定方法，以及正弦函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则满足，解得，即实数的取值为． 故选：B. 5．已知函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用基本初等函数的单调性判断得在上都单调递增，再利用零点存在定理得到，解之即可. 【详解】因为与在上都单调递增， 所以在上单调递增， 因为在区间上有零点， 所以，即，即， 解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 6．已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数分段考虑的原则，要使函数为增函数，必须每一段都为增函数，且自变量分段点左侧函数值应不大于该点右侧函数值，综合考虑即得. 【详解】由时，单调递增，可得①，由时，显然单调递增， 要使函数在上单调递增，需使②，由①②可得：. 故答案为：. 7．若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时，化简得到，满足在区间上单调递增，即可得到答案. 【详解】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增， 当时， 可得， 此时函数满足在区间上单调递增， 当时，，所以常数的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在区间上单调递增，所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 9．函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 10．已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 . 【答案】或 【分析】可以根据区间的定义，，得到，然后根据余弦函数单调性和特殊角的余弦值得到或. 【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，，得到，即根据余弦函数的性质，，由题意：，根据函数的周期为，而且其在单调递减，在单调递增，，，即，所以，即， 当时，，在单调递减，则，可得； 当时，，在单调递减，且在单调递增，，. 故答案为：或. 11．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】在上单调递增，在上单调递减， . 故答案为：． 12．若函数在区间上是严格减函数，则实数a的最大值为 【答案】 【分析】化简得到，结合的单调递减区间得到，即可求出结果. 【详解】因为, 又因为在区间上是严格减函数， 且的单调递减区间为， 所以，即，所以实数a的最大值为， 故答案为：. 题型二 利用正余弦函数的奇偶性与对称性求参数 1．若函数为奇函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，建立方程，结合三角函数的奇偶性，可得答案. 【详解】由题意可得，即， 化简可得，解得. 故选：A. 2．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 【答案】C 【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值. 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 3．已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据对称性可得，根据单调性，对分类讨论，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由于函数的图象关于点中心对称，故，故， 当时，时，，显然不符合在上单调递减； 当时，时，，故，解得, 综上. 故选：A 4．已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为（   ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】由是偶函数，得到为奇函数，结合．列出方程，即可求解. 【详解】由函数的图象关于轴对称，可得函数是偶函数， 因为为奇函数，所以函数为奇函数， 所以．即， 所以，所以. 故选：B. 5．设，且为奇函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由题意为奇函数，且定义域为， 则，则， 又，则. 当时，是奇函数， 故得. 故答案为：. 6．已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据奇偶函数的性质可得函数是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是奇函数，是奇函数， 所以函数是偶函数，则，所以． 故答案为：1． 7．函数（其中）为偶函数，则 . 【答案】/ 【分析】由诱导公式结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 又，所以. 故答案为：. 8．若函数的图象关于轴对称，则实数 ． 【答案】0 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】因为为偶函数，. 所以，即恒成立，解得. 故答案为：0 9．若为偶函数，则实数 . 【答案】0 【分析】由即可求解. 【详解】由得： 由题意可知： 可得：恒成立， 所以， 故答案为：0 题型三 正余弦函数值比大小 1．已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数性质结合题意可得答案. 【详解】由图，在单位圆中，设， 则. 因在上单调递减，则. 又，则，从而. 故选：A 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式转换为即可得解. 【详解】，， ， 而，故， 故选：B. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，再利用余弦函数的单调性求解. 【详解】因为，且， 所以， 则，即． 故选：D 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式有，，，最后利用的单调性即可求解. 【详解】由，， ，又， 因为在单调递减， 所以，即，所以. 故选：D. 5．已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 6．若为锐角，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】由三角函数相关不等式、单调性即可判断大小. 【详解】令，其中， 因为，所以． 因为，所以． 所以． 故答案为：. 7．三个数，，的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质判断即可. 【详解】∵，， ∵，，， ∴. 又∵在上是减函数， ∴，即. 故答案为： 8．的大小关系是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合余弦函数的单调性比较大小作答. 【详解】因为， 而余弦函数在上单调递减，因此， 所以. 故答案为： 9．下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【分析】结合诱导公式，再利用三角函数的单调性即可逐一判断 【详解】对于①，因为， 因为在上单调递增，所以，所以 即，故①正确； 对于②，因为在上单调递减，所以，故②错误； 对于③，因为，， 所以，故③错误； 对于④，， 因为在上单调递减，且，所以， 即，故④正确， 故答案为：①④. 10．设，且满足，则的大小关系为 ． 【答案】 【详解】 先证明当 时， ．如上图，在单位圆中， 的正弦线为 ，对应的弧长为，由图形可知， ，由 图象（下图）可知， . 题型四 解正余弦不等式 1．在中，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】在中，，一方面，若，则，所以； 另一方面，若，取，则； 所以““是““的充分不必要条件． 故选：B． 2．在内，下列区间中使得成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数在内的图象，由图象可得出结果. 【详解】如图画出函数在内的图象， 因为， 结合图象可知，在内，不等式的解集为. 故选：B． 3．在内，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意作正弦函数的图象，结合图象可得答案. 【详解】画出的图象如图： 因为，所以， 即在内，方程的解为或． 结合图象可知在内，不等式的解集是． 故选：C． 4.不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解得，再结合余弦函数图像即可求解； 【详解】由， 可得：， 可得，求解上的解集可得：， 由图象可知在上的解集为， 故选：A 5．在上，使不等式成立的的集合为 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象和性质可求解． 【详解】由，则， 又，所以所求集合为． 故答案为：． 6．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】通过解三角不等式来求得正确答案. 【详解】由得，， 由得，， 所以不等式组的解集为 故答案为：. 7．已知函数，则的解集是 ． 【答案】 【分析】分和讨论化简，解三角不等式得解. 【详解】当，即，时， ， 所以，即，解得，， 当，即，时， ， 所以，即，解得，， 综上，的解集为. 故答案为：. 8．已知，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可. 【详解】由题，当时，原不等式可化为，解得， 当时，由原不等式可得，解得， 综上. 故答案为： 9．已知函数. (1)利用“五点法”完成表格，并在图中画出函数在区间上的图象； (2)当时，求不等式的解集； (3)若不等式对恒成立，求及. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)， 【分析】（1）利用五点作图法列表、作图即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）由题意可得为的最小值，进而求解即可. 【详解】（1）五点法填表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 函数在区间上的图象如下：    （2）令，即， 可得， 所以不等式的解集为； （3）因为对恒成立， 可知为的最小值，则， 则，所以. 10．已知的最大值为3，最小值为.    (1)求a，b的值； (2)若，在图中作出在上的图象，并写出在上的单调递增区间； (3)当，求满足的x的取值范围. 【答案】(1)或 (2)图象见解析，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）分、两种情况结合正弦函数的性质求解即可； （2）当时，，进而作出函数的图象，再结合周期及图象即可求得单调递增区间； （3）当时，，进而结合正弦函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）由于，若，则， 所以，解得； 若，则， 所以，解得. 综上所述，或. （2）由，则，此时， 则在上的图象如下：    而函数的周期为， 由图可知，在上的单调递增区间为. （3）由，则，此时， 由，得，即， 则， 所以满足的x的取值范围为. 11．已知函数是定义在上的偶函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的对称性和时的解析式可求答案； （2）根据求出范围，结合对称性可求答案. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， 令，则，所以, 即当时. （2）当时，即，所以；又函数是定义在上的偶函数, 综上不等式的解集. 12．已知函数，. (1)用五点法画函数在上的图像； (2)解不等式. 【答案】(1)通过列表、描点、连线，作出函数图像； (2) 【分析】（1）通过列表、描点、连线，作出函数图像； （2）代入函数解析式，利用余弦函数的图像及性质解三角不等式. 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 0 -1 0 1 3 1 -1 1 3 描点，连线即可得到函数在上的图像，如图所示． （2），则，解得， 所以不等式的为. 1．已知函数的值域为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】结合，利用指数函数的单调性求得的值域为，结合题意即可得解. 【详解】由和是增函数可知， 所以的值域为，所以，可得. 故选：D. 2．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知条件因式分解可得，然后分析的值域，根据值域判断出，的值并求出的值，由此可知的表示，则结果可求. 【详解】， ， ，且， ， ， ， 恒成立，， ，即 当且仅当，时， 成立， ，， ，, ,， 当且仅当或时（，）， ，,, 故答案为：A. 3．已知 ，则下列不等式一定成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A、B，结合三角函数单调性及判断；对于C，通过当时反例判断；对D，分类讨论的大小关系，结合余弦函数单调性判断. 【详解】对于A：因为函数在单调递增， 所以当时，，得， 又，所以，A错误； 对于B：当时，因为函数在单调递增， 所以，得，又， 所以此时，B错误； 对于C：当时，因为函数在单调递增， 所以，所以，得， 又得， 所以此时，C错误； 对于D：当时，，得， 此时得，所以， 所以; 当时，，得， 此时得，所以， 所以; 当时，，得， 此时得，所以， 所以; 综上，，D正确. 故选：D. 4．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项； 又，所以排除A. 又C选项的图象满足函数的性质． 故选：C 5．函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可. 【详解】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解， 只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以，即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 6．已知函数在闭区间上的最大值记为，若实数满足，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由区间的定义可知，进而可得，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：，可得，可知， 因为，则， 结合余弦函数性质可知，可得， 且或，则或，解得或. 故选：D． 7．当时，函数与的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】作出函数和在上的图象，通过图象即可求出交点横坐标． 【详解】作出函数和在上的图象如下图所示： 从图象上可得：函数的图象和的图象在、内各有一个交点： 当时，由得，即，得； 当时，由得，得，得， 所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 8．已知函数，若，则 ． 【答案】 【分析】构造奇函数，利用奇函数性质求解即可. 【详解】设， 则， 由，， 则， 故答案为：. 9．若对于，总，使得，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数性质解不等式，由题意，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为， 对于，总，使得， 所以，，， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 10．表示不超过的最大整数，则 . 【答案】 【分析】根据取整函数，结合正弦函数的性质，确定的可能取值和对应角的范围，先考虑正弦函数一个周期上的取值情况，再推广到所求式的范围计算即得. 【详解】根据正弦函数的性质可知， 当，时，； 当，时，；当，时，； 因为在中， 使的角有共个， 使的角有1个，其和为，又， 而在中满足的角有9个，使的角有1个， 故所求式的值为. 故答案为：. 11．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，将原问题转化为在上恒成立，研究最大值即可． 【详解】令，则原问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， ， 即在上恒成立， 令，易知在单调递减， 所以，， 所以， 故答案为：. 12．已知实数，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】令，设的两根分别为，结合正弦函数的图象与性质，转化为上的零点问题，结合二次函数的图象与性质，分三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程在上恰有两个不同的实数根， 令，可得， 设的两根分别为，则，所以同号， 结合正弦函数的图象与性质， 可得上的零点有三种情况： 当时，即，解得或（舍去）， 此时，即，可得或，符合题意； 当时，则满足，即，解得（舍去）； 当时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 13．已知函数，有下面四个命题： ①是周期函数 ②的图像关于直线对称 ③的值域为 ④当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 其中正确命题是 ． 【答案】①②③ 【分析】写出函数定义域，再写出分段函数在各定义域内的函数解析式，由三角函数的性质得到函数的周期性和对称轴，判断①②.由分段函数的值域得到函数的值域，判断③.结合三角函数的对称性得到方程的两根的关系，再由题意和定义域得到的取值范围，即可判断④. 【详解】函数定义域为，即， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数是周期函数，周期为，①正确； 因为是函数的对称轴，所以是函数的对称轴，②正确； 当时，， 当时，， 所以的值域为，③正确； 当时，关于对称，则，又因为此时，∴，∴，④错误. 故答案为：①②③. 14．已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②是以为最小正周期的周期函数； ③在区间上单调递增； ④在上有个零点； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】化简函数的解析式，利用特殊值法可判断②；数形结合可判断①③④. 【详解】由， 当时，即当时， ，即； 当时，即当时， ，即. 所以， 作出函数的图象如下图所示： 对于①，由图可知，函数的值域为，①对； 对于②，因为，，所以， 所以不是函数的周期，②错； 对于③，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上不单调，③错； 对于④，由图可知，函数在区间上的零点为、， 即函数在上有个零点，④对. 故答案为：①④. 15．设函数. (1)求函数在上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)， (2)； 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为在上恒成立求解即可； 【详解】（1）令， 则变为， ①当，即时，， ②当，即时，， ③当，即时，， 综上可知，. （2）若要，则需， 当时，， 函数变为， 所求问题变为恒成立， 易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，最小值一定在区间端点处取得， 所以，解得，故的取值范围是. 16．已知函数 (1)求； (2)求函数在上的最大值与最小值； (3)在区间上有且仅有一个，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】(1)直接代入计算即可得到； (2)由诱导公式可化简的表达式，其可看成关于的二次函数，由二次函数的性质可求得其最值； (3)由可得到关于的一元二次方程，解之可得，所以问题转化为使得在有且仅有一个解，由正弦函数的性质可求得的取值范围. 【详解】（1）代入可得; （2）由诱导公式可得,令,由正弦函数的性质可知在上单调递增， 故,所以原函数换元后转化为,由二次函数的性质可知对称轴为, 所以函数在上的最小值为,最大值为, 故函数在上的最大值为,最小值为  ； （3）由可得,解得或,因为,所以, 故需满足在有且仅有一个解，由正弦函数的性质可知在第一个解为,第二个解为, 若要使得在有且仅有一个解，则,故的取值范围为. 17．已知，函数，其中． (1)设，求的取值范围，并把表示为的函数； (2)求函数的最大值（可以用表示）； (3)若对区间内的任意实数，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）令，换元可得； （2）问题转化为，的最大值，由二次函数分类讨论可得； （3）问题转化为，分类讨论可得． 【详解】（1）解：由已知可得， 又因为，所以， 从而，所以． 又因为，所以， 因为， 所以，． （2）求函数的最大值即求，的最大值． ，对称轴为． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，的最大值是； 当时，的最大值是； 当时，的最大值是． （3）由题意知函数在上的最大值， 由（2）知当时，的最大值是． 所以，即且所以 当时，的最大值是； 此时， 即，所以，此时 当时，的最大值是；即恒成立 综上所述，． 18．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)探究“余正弦”函数的值域. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）直接由函数的解析式求解定义域即可； （2）结合题意由分析“正余弦”函数的过程，分析“余正弦”函数的周期性与单调性，从而求得其值域即可. 【详解】（1）的定义域为. （2）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $