1.2整式的乘法（第2课时 单项式与多项式相乘）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦整式乘法中的单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘法则，通过长方形操场面积问题导入，回顾单项式乘单项式法则及乘法分配律，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以实际情境（操场、指示牌面积）培养几何直观与抽象能力（数学眼光），用转化法推导法则培养推理意识与运算能力（数学思维），结合实例与真题强化模型意识（数学语言），助力学生理解知识联系，教师教学更高效。

1.2 整 式 的 乘 法 （第2课时） 单项式与多项式相乘 第一章 整式的乘除 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则，能准确运用法则进行整式乘法运算，解决简单的代数问题。 经历法则的推导过程，通过观察、类比、归纳等活动，培养转化与归纳的数学思维能力。 在探究活动中体验数学知识的内在联系，感受数学的严谨性与实用性，增强学习数学的兴趣。 知识回顾 1.什么是单项式乘单项式法则? 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2.计算 ： （1）24×( - ) （2） ( + ) ×(-36) = -2 = 40 原式=24× -24× =8 -10 原式= ×(-36)+ ×(-36) ×(-36) =18 -8+30 利用乘法分配律进行简便运算 如果把每个数字换成单项式，这两个算式变成整式中哪两类式子相乘？ 导入新课 上节课讨论的—个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区城，各边的长度如下图所示。 我们是分别求出四个不同部分再求出和得到整个操场的面积，我们还可以怎样求出这长方形操场的面积？ A B C D a 2b 3b 3a 探究点1 单项式与多项式相乘乘法法则 新知探究 议一议 A B C D a 2b 3b 3a （1）如果分别求出A和B组成的长方形区域，C和D组成的长方形区域面积，怎样列出算式？ A和B组成的长方形 2b+3a 从整体看，A、B的面积 ； a·(2b+3a) 从局部看， A、B的面积为__________。 2ab+3a2 2ab 3a2 a·(2b+3a)=2ab+3a2 （2）你发现了什么? 操作•交流 探究点1 单项式与多项式相乘乘法法则 议一议 A B C D a 2b 3b 3a （3）怎样计算CD两个区域的长方形面积的？ 2b+3a 3b 探究点1 单项式与多项式相乘乘法法则 议一议 a (2b + 3a)=2ab + 3a2 p(a+b+c)=pa+pb+pc 当p、a、b、c为单项式时，乘法分配律也成立 新知探究 (4)你能用运算律解释吗? AB： CD： 乘法分配律 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 转化 = AB： CD： 探究点1 单项式与多项式相乘乘法法则 议一议 （5）请用乘法分配律计算下列三题，试一试 解： ① ab·(abc + 2x) = ab·abc+ab·2x = a2b2c+2abx c2·(m + n – p) = c2m+c2n – c2p (x2y+xy2)·(– xy) =x2y·(– xy) +xy2 ·(– xy) = –x3y2–x2y3 操作•交流 ① 请大家选题 新知探究 探究点1 单项式与多项式相乘乘法法则 归一归 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 单项式除以多项式的法则 注意: ①依据是乘法分配律； ②积的项数与多项式的项数相同。 （6）如何进行单式乘多项式的运算？与同伴进行交流。 单项式 × 多项式 转化 单项式 ×单项式 新知探究 探究点2 多项式乘以多项式法则 议一议 （1）求操场面积，如果直接求长方形面积，怎样列出算式？ A B C D a 2b 3b 3a 将A、B、C、D四个长方形看成一个整体，可得 . (a+3b)·(2b+3a) 2b+3a a+3b （2）将AB，CD分别看成一个整体，求长方形面积，怎样列出算式？ a·(2b+3a)+3b·(2b+3a) （3）将AC，BD分别看成一个整体，求长方形面积，怎样列出算式？ 2b·(a+3b)+3a·(a+3b) （4）分别求出A、B、C、D的面积并求和，可得 。 2ab+3a2+6b2+9ab 这四个算式由什么关系？ A B C D a 2b 3b 3a 议一议 （1）求操场面积，如果直接求长方形面积，怎样列出算式？ 新知探究 探究点2 多项式乘以多项式法则 (a+3b)·(2b+3a) a·(2b+3a)+3b·(2b+3a) 2b·(a+3b)+3a·(a+3b) 2ab+3a2+6b2+9ab 这四个算式都表示操场面积，所以是相等的 议一议 新知探究 探究点2 多项式乘以多项式法则 （2）如何计算(a+3b)·(2b+3a)？ (a+3b)•(2b+3a) 多项式乘以多项式 =a• (2b+3a)+3b• (2b+3a) 看作整体 运用分配律 =2ab+3a2+6b2+9ab 再次运用分配律 =2ab+3a2+6b2+9ab 合并同类项 议一议 新知探究 探究点2 多项式乘以多项式法则 （2）如何计算(a+3b)·(2b+3a)？ (a+3b)•(2b+3a) 多项式乘以多项式 =2b• (a+3b)+3a• (a+3b) 看作整体 运用分配律 =2ab+3a2+6b2+9ab 再次运用分配律 =2ab+6b2+3a2+9ab 合并同类项 多项式 × 多项式 转化 多项式 ×单项式 尝试•交流 探究点2 多项式乘以多项式法则 议一议 计算下列各题吧，说一说你是怎么做的？ ①(2a+b) •(a+2b) ② (x–y) •(x–1) =2a(a+2b) +b(a+2b) =2a2+4ab+ab+2b2 =2a2+5ab+2b2 。 ③(a2–b2) •(a–b) =x(x–1)–y(x–1) =x2–x–xy+y 。 =a(a2–b2)–b(a2–b2) =a3–ab2–ba2+b3。 ① (2a+b)•(a+2b) ② (x–y) •(x–1) ③ (a2–b2) •(a–b) 多项式 × 多项式 多项式 × 单项式 单项式 × 单项式 尝试•交流 探究点2 多项式乘以多项式法则 归一归 多项式与多项式乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式 × 多项式 多项式 × 单项式 单项式 × 单项式 ①结果要合并同类项。 ②当多项式中的项为负数时，单项式乘该项的结果符号要与该项符号保持一致。 注意 转化 观察•思考 探究点2 多项式乘以多项式法则 议一议 (1)如图1-5，一幅边长为am的正方形风景画，左右各留有宽为 x m的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米? 解：S=a(a- x) = a2- ax（m2） 答：中间画面的面积是a2- ax平方米。 a a x x 图1-5 解：S=a²-2×(a• x) = a2- ax（m2） 或 直接求 面积差 尝试•交流 探究点2 多项式乘以多项式法则 议一议 （2)如图1-6，一长为a m、宽为b m的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为x m的正方形，正中同画面的面积是多少平方米？ = 解：S=(a- 2x) (b- 2x) 答：中间画面的面积是 平方米。 温馨提示：求图形面积既可以直接求中间画面的面积，也可以用大面积减空白区域面积的方法。 b a x x 图1-6 典例分析 例 1 计算 （1） 2ab ( 5ab2 + 3a2b )； （2） ( ab2 – 2ab )· ab ； （3） 5m2n ( 2n + 3m – n2 )； （4） 2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz。 2ab ( 5ab2 + 3a2b ) = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b = 10a2b3 + 6a3b2； 解：（1） （2）( ab2 – 2ab ) · ab = ab2· ab + ( – 2ab )· ab = a2b3 – a2b2； 典例分析 例 1 计算 （1） 2ab ( 5ab2 + 3a2b )； （2） ( ab2 – 2ab )· ab ； （3） 5m2n ( 2n + 3m – n2 )； （4） 2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz。 （3） 5m2n ( 2n + 3m – n2 ) = 5m2n·2n + 5m2n·3m + 5m2n·( – n2 ) = 10m2n2 + 15m3n – 5m2n3； （4）2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz = ( 2x + 2y2z + 2xy2z3 )·xyz = 2x·xyz + 2y2z·xyz + 2xy2z3·xyz = 2x2yz + 2xy3z2 + 2x2y3z4。 要按顺序相乘，不要漏项或增项 典例分析 例 2 计算 （1） ( 1 – x ) ( 0.6 – x )； （2） ( 2x + y ) ( x – y )。 解：（1）( 1 – x ) ( 0.6 – x ) = 1 × 0.6 – 1 · x – x · 0.6 + x · x = 0.6 –x –0.6 x + x2 = 0.6 –1.6 x + x2； （2）( 2x + y ) ( x – y ) = 2x·x – 2x·y + y·x – y·y = 2x2 – 2xy + xy – y2 = 2x2 – xy – y2。 转化 单项式与单项式相乘 典例分析 例3.如图，某小区内有一块长为米、宽为米的长方形地块，物业人员计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积用含、的式子表示； (2)当，时，求绿化部分的面积． （1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时， （平方米）． 答：绿化面积是平方米． 新知巩固 （1）a (a2m+n)； （3）x3y (xy3–1)； （2）b2 (b+3a–a2 )； （4）4 (e+f 2d ) ·ef 2d。 1.计算： 解：（1）a (a2m+n)=a3m+an； （2）b2 (b+3a–a2 )=b3+3ab2–a2b2 ； （3）x3y (xy3–1)=x4y4–x3y； （4）4 (e+f 2d ) ·ef 2d=4e2f 2d+4ef 4d 2 。 教材P15页 随堂练习 新知巩固 （2）(2a + 3)(b + 5)； 解：（1） (x+y)(a+2b) = ax+2bx+ay+2by； 2.计算： （3）(2x+3)(–x–1)。 （1）(x+y)(a+2b)； （2） (2a + 3)(b + 5)； = 3ab+10a+b+15； （3） (2x+3)(–x–1) = –2x2–2x–3x–3= –2x2–5x–3。 教材P15页 随堂练习 拓展提升 1．已知（）()展开后的结果中不含和项． (1)求、的值； (2)求的值． （1）解： ∵展开后的结果中不含和项， ∴， 解得：， 拓展提升 1．已知展开后的结果中不含和项． (1)求、的值； (2)求的值． （2）由（1）得：， 将，代入得： 原式 真题感知 1.（2025•广西）化简：a（a﹣1）+a． 解：a（a﹣1）+a ＝a2﹣a+a＝a2． 2．（2025•浙江）化简求值：x（5﹣x）+x2+3，其中x＝2． 解：x（5﹣x）+x2+3 ＝5x﹣x2+x2+3 ＝5x+3， 当x＝2时， 原式＝5×2+3＝13． 真题感知 3．（2025•湖南）先化简，再求值： （x+2）（x － 2）+x（1 － x），其中x＝6． 解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x） ＝x2－4+x－x2 ＝x － 4， 当x＝6时，原式＝6﹣4＝2． 4．（2025•新疆）计算：a（1 － a）+（a+1）（a － 1）． 解：原式＝a － a2+a2 － 1 ＝a － 1． 真题感知 5．（2025上·吉林·八年级校考）如图是某学校大门口的指示牌．已知该指示牌是长为，宽为的长方形，左下角与右下角的空白部分是边长相等的正方形，左上角与右上角的空白部分是两个相同的直角三角形．根据图中所标数据，解决下列问题． (1)空白部分的总面积为 ， 箭头（阴影部分）的面积为 ； (2)当，时，请计算箭头（阴影部分）的面积． 解:（1）空白部分的总面积为： ， 箭头（阴影部分）的面积为： ． 真题感知 5．（2025上·吉林·八年级校考）如图是某学校大门口的指示牌．已知该指示牌是长为，宽为的长方形，左下角与右下角的空白部分是边长相等的正方形，左上角与右上角的空白部分是两个相同的直角三角形．根据图中所标数据，解决下列问题． (1)空白部分的总面积为 ， 箭头（阴影部分）的面积为 ； (2)当，时，请计算箭头（阴影部分）的面积． （2）当，时，箭头的面积为： ， 答：箭头的面积为321平方厘米． 课堂小结 法则的依据：乘法分配律 1. 知识总结： （1）单项式乘以多项式的运算法则： 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加； p (a + b+c) = ap + bp + cq （2）多项式乘以多项式的运算法则法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq 课堂小结 2. 方法总结： （1）解决单项式乘以多项式、多项式乘以多项式问题的核心方法是转化法，即将单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式转化为我们已经学过的单项式乘以单项式的运算； （2）化简求值题的步骤是“先展开，再合并，最后代入求值”。 多项式 × 多项式 多项式 × 单项式 单项式 × 单项式 转化 课堂小结 3. 易错提醒： （1）运算时容易漏乘多项式中的常数项，一定要注意在单项式与多项式相乘时，单项式与多项式的每一项都要与相乘；在多项式与多项式相乘时，一个多项式的每一项与另多项式的每一项都要与相乘； （2）当多项式中含有负号时，要注意符号的确定，避免出现符号错误。 （3）单项式乘以单项式时，要注意同底数幂的乘法法则的正确应用，不要混淆指数的运算。 课后练习 （1）5x(2x2-3x+4)； （3）-2a2(ab+b2) ； （5）(-2m-1)·(3m-2) ； （2）-6x(x-3y) ； （4）( x2y-6xy)·xy2； （6）(x-y)2。 2.计算： 解:（1）5x(2x2-3x+4) = 5x·2x2+5x ·(-3x)+5x ·4 =10x3-15x2+20x； （2）-6x(x-3y) = -6x·x -6x ·(-3y) = -6x2+18xy ； 教材P16页 习题1.2 （3）-2a2(ab+b2) = -2a2· ab+(-2a2)·b2 = -a3b-2a2b2； 课后练习 （1）5x(2x2-3x+4)； （3）-2a2(ab+b2) ； （5）(-2m-1)·(3m-2) ； （2）-6x(x-3y) ； （4）( x2y-6xy)·xy2； （6）(x-y)2。 2.计算： 教材P16页 习题1.2 （4） ( x2y-6xy)·xy2 =x2y ·xy2+(-6xy)·xy2 =x3y3-3x2y3 ； （5） (-2m-1)·(3m-2) = -2m·3m-2m·(-2) -1·3m-1· (-2) = -6m2+m+2； （6）(x-y)2 =(x-y)(x-y) =x2-xy-xy+y2 =x2-2xy+y2。 课后练习 4.请你用图形直观解释 a(b-c)=ab-ac。 解:如图，阴影部分的面积可以利用长方形的面积公式直接计算，即a(b-c)， 也可以用大长方形的面积减空白长方形的面积，即ab-ac，因此a(b-c)=ab-ac。 教材P16页 习题1.2 课后练习 6.下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第n个图形中共有多少枚棋子? 解:由图可得： 第①个图有2个棋子，2=1×2 第②个图有6个棋子，6=2×3 第③个图有12个棋子，12=3×4 第④个图有20个棋子，20=4×5 …… 第n个图形中有(n2+n)枚棋子。∵n(n+1)= n2+n 教材P16页 习题1.2 课后练习 7. (1) 观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624， 34×36=1224，······你发现其中的规律了吗? 如何用代数式表示这一规律? (2) 利用(1)中的规律计算 124×126。 (3)你还能找到哪些类似的规律?试举两例。 解:（1）(10a+4)(10a+6)=100a(a+1)+24(a为自然数)。 （2） 124×126=100×12×13+24=15624。 教材P16页 习题1.2 谢谢聆听 $