天津市第一中学2025-2026学年高一上学期期末质量调查数学试卷

天津一中2025-2026-1高一年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第1卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。 第1卷为第1页，第1卷为第2-3页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答 在试卷上的无效 祝各位考生考试顺利！ 第1卷 一、选择题：《每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 的. 1.已知a,beR,则“a3=b3”是“3°=3”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2。已知角a的终边与单位圆的交点为P(衫，则co:-a)=( A B.-3 C.4 3.函数f(x)=-x2+(e-e)sinr在区间[-2.8,2.8]的图象大致为() 4.将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动文个单位长度，再把所得各点的横坐标缩 10 短到原来的二倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（) A.y=sin(4x-I) 10 B.sin(-o) C.y=sin(4x D.y=sin(x-爱 5.若a=0.4,b=logl.8,c=1.6sin15°cos15°，则（） A.a>b>c B.c>a>b C.bxaxc D.b>c>a 6.已知coa=5,则ana+孕=（） cosa-sina A.2W5+1 B.2W5-1 c.5 D.1-V5 2 7.函数f)=0.3-√F的零点所在区间是（) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,) D.(1,2) 8.已知0ca<,om号与，则a )=（) A. 7W2 名 B. C.3v2 D. 10 10 9.已知函数=sax+到在区间后，单调递增，直线x=若和x=号为函数y=)的图 6 6 3 像的两条对称轴，则/八径=（ A.- C. D.3 2 10.对于集合A={8,8,,0,}和常数8，定义：4=os8-0）+cos0-8,）++cos0.-8为集 合4=a,风风，}相对常数8的“余弦方差.若集合A=后经相对常数风的“余弦方差"是一 个常数T,则T=() A. 8. 3 C.2 D.3 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 5 12.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段孤，三段弧围成的 曲边三角形弧就是勒洛三角形.如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积 与周长之比为 B 13. 已知coa+骨=-各，ae0受，则cos(管-a)的值为 14.已知函数f(x)={ x2+(4a-3)x+3a,x<0, log(x+)+1,x≥0 a>0且a≠)在R上单调递减，则a的取值范围是 15.已知函数f(x)=2sim2ox+V5sin2ox(w>0)在(0，π)上恰有两个零点，则w的取值范围是 16. 若关于x的方程14-4-x2=x+a恰有4个根，则实数a的取值范围是一 三、解答题：（本大题共4小题共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，） 17.已知函数f(x)=Asin(ox+p(4>0,w>0,lpk)的图象如图所示. (I)求(x)的解析式： (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间： 11x (I)若x)=号6e,1,求cos2,的值。 12 18.已知f()=4 4sin.xcos((x-爱-5. (1)求函数y=(x)的最小正周期： (2)求函数)y=心)在区间-牙孕上的最大值与最小值并求出f)取得最大值与最小值时x 的值： (3)若函数f)=m在区间-牙孕上恰有一个实根，求实数m的取值范围. 19.已知函数f)=an(2x+孕). (1)求(x)的定义域与最小正周期： (2)设ae(0,孕，若f分=2cos2a,求a的大小. 20.已知函数f(x)=log(W4x2+1-bx)在R上为奇函数，a>1,b>0. (1)求实数b的值： (2)求f(x)在[0，]上的值域： (3)已知1>0，若对任意x∈(0，+∞)，任意0∈(0，)不等式 f(-4x(+2)sin20+f(3(x2+2)(sin0+cos)≤0都成立，求正数1的取值范围.天津一中2025-2026-1高一年级 数学学科期末质量调查试卷 参考答案与试题解析 1.已知a,b∈R,则“a'=b3”是“3“=3的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解：a,b∈R,则“a3=b3”可得a=b: “3=30”可得a=b:所以a,b∈R,则“a3=b”是“3”=3”的充要条件. 故选：C. 2已知角a的终边与单位圆的交点为P(-争，则co红-c=( B.-3 c. 5 3 【解答】解：由题意得|OP=r=1,cosa=二=- 结合诱导公式，可得cos(π-a)=-cosa= 故选：A 3.函数f(x)=-x2+(e-c)sinr在区间[-2.8,2.8]的图象大致为() 【解答】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入x=1可得∫()>0，可排除D. 【详解】f(-x)=-x2+(e-e)sin(-x)=-x2+(e-e)sinx=f(x), 又函数定义域为[-2.8,2.8)，故该函数为偶函数，可排除A、C, 又0-=+e-}m+(-}后1六云0， 故可排除D. 故选：B. 4.将函数)=$2x的图象上所有的点向右平行移动无个单位长度，再把所得各点的损坐标缩短到原米的号 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是() A.y=sin(4x- &) B.y=sin(x- 10 C.y=sin(4x- 孕 D.y=sin(x- 【解答】解：根据三角函数图象变换的概念，将y=s2x的图象上所有的点向右平行移动云个单位长度， 10 得到y=sin2(x- 治)=n2r-孕的图象， 再把所得各点的横坐标缩短到原来的二倍（纵坐标不变）， 得到函数y=m[22)-1=sn4x-子的图象. 故选：C. 5.若a=0.4,b=logl.8,c=1.6sinl5cos15°，则() A.a>b>c B.c>a>b C.b>axc D.b>c>a 【解答】解：a=0.4:因0.4∈(0,1)，指数1.4>1，故a=0.44<0.4=0.4. c=l.6sinl5°cos15°：由sin15°cos15°=2sin30°=，得c=1.6x号=0,4. 2 4 4 b=log1.8:因35≈1.732<1.8<3=3，故1og1.8∈(0.5，). 比较得：b>c>a. 故选：D. 6.已知 coS4=5,则tama+孕=（） cosa-sina A.2N5+1 B.2W5-1 c.5 D.1-√5 2 【解答】解： cosa =5, cosa-sina 则-。=5，所以ama=1-5 1-tana 3 故tan(@+=ana+=25-l. 4'1-tana 故选：B. 7.函数f(x)=0.3-VG的零点所在区间是() A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 【解答】解：因为∫()=0.3-VF,0, 又因为y=0.3与y=-√在[0，+)上均单调递减， 所以∫(x)=0.3-VF在[0，+o)上单调递减， 又因为f(0)=1>0,∫(0.3)=0.33-√0.3=V0.36-0.3>0, f0.5)=0.35-0.5=0.3-0.5<0, 由零点存在定理可得， 3x∈(0.3,0.5)，使f(x)=0, 即函数y=(x)的零点所在区间为(0.3,0.5). 故选：B, 、a_V5 8.已知0<a<π，cos。 25 则sin(a-)=（) 4 A. 3W2 72 10 B. 5 D. 10 10 【解答】解，因为0<a<,cos号=5 25 所以0号所以气=小-a学 2、2 5>2 =n 所以经>骨卿受5a<, 2 所以sina=2 sincos9 2 0s2-5 cosa=--sin'a=-3 则sin(-孕=i年-oi-75 41 410 故选：D. 已知函数约=r+)在区问后·受)单调递增，直线：=君和：=号为函数y=的图像的两 9. 6 3 条对称输，则心径=（） A.-3 B.-{ c. 1 D. 2 【解答】解：根据题意可知 _2π-π=π， 2=36=2 T=π，取ω>0，∴w= 2江=2· T 又根据“五点法”可得2×+p=-?+2kx,kEZ, 6 2 p=-5红+2kr,keZ, 6 f=sn(2x-ξ+2a)=n2x-. 6 音=冬m的号-9 故选：D. 10.对于集合A={日，8，，8，}和常数8.定义：4=cos0-0)+cos0-8)++cos0,-0)为集合 n A={8,0,,0n}相对常数0的"余弦方差”.若集合A= 行3相对常数，的“余弦方差"是一个常数不， π2π 则T=（) A号 C.2 D.3 【解答】A 【分析】根据新定义计算，结合两角和与差的余弦公式展开化简可得 【详解】由题意4 co)+co()+co(0) 3 cos3-0,)+cos(+0,)+cos20 3 3 (cos3cos8+sin3in)2+(eos是os风-sn是in0)2+eosg 3 3 3 2cos8+2sin20,+cos0 1 3 2 故选：A. 11.己知a>1, 好。4则&一 【解答】解：由题意可得，a>1,1og.8-,↓=- l0g.42 3,2-22是 令1og2=>0),可得31-=-三 即62+51-1=0， 解得1=或1=-1（舍去》， 6 1 即log2=2， 6 即a6=2, 解得a=64. 故答案为：64. 12.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形 弧就是勒洛三角形.如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为一1- π A B 【解答】解：以点A,B,C为圆心，圆弧BC,AC,AB所对的扇形面积各为： 等题三角形BC的面积为：2×2x2x3日 2 所以勒洛三角形的面积为：3子-、)+5=2-5，周长为：3×子×2=2， 故2红-25-1-5 2π 故答案为：1- 1B.已知coa+学=-音ae0学，则co管-a)的值为 6 【解答】解：~ae0,受， .a+ e后爱.且oa+9= 12 -13 co哈-a)=cor写-a+=sme+9-号 13 14.已知函数(x)= +（+x<0a>0且a≠在R上单调递减，则u的取值范围是_写身- log.(x+l)+1,≥0 【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数孺满足0<α<1， 根据二次函数开口向上，在(，乡单调送减，可得-品0，即-0230，解得：子 20 2a 2 [x2+(4a-3)x +3a]>log (x+1)+I]m 故而得：3>l,解得：心 口的取值范围是写争： 故答案为：兮： 15. 已知函数/()=2im0x+v5sin2ww>0)在(0，m)上恰有两个零点，则o的取值范围是，孕. 【解答】解：由题意得fx)=1-cos2ox+V5sin2ar=2sin2 wxcos交-cos2 xsin)+1 6 6 =2sin2ox-名+1， 令23sn2ar-名+1=0，解程sn2or-名=- 根据0<x<,可得-名<20r-后<20r-君， 因为f(x)在(0，π)上拾有两个零点， 所以<20-三≤，解得1<0≤写，u的取值范图是Q 6 6-6 故答案为：0. 16.若关于x的方程4-4-r片x+a恰有4个根，则实数a的取值范围是(-子2U(22,6). 【解答】解：方程引4-|4-x2=x+a恰有4个根等价于函数y4-|4-x2‖与y=x+a的图象有4个公共点， 画出函数y4-|4-x2‖与y=x+a的图象， y=x+a =4-4-x2 分别求出4个临界位置，分别为与y=x2相切、经过(2,4)，(-2V2,0)和(-2,4)， 求得直线方程为y=x-香y=x+2y=x+25,y=x+6, 所以ae(←子2U25, 故答案为：（←42U22,0. 17. 已知函数fx)=Asin(ox+p(A>0,w>0,lpK)的图象如图所示. (I)求∫(x)的解析式： (Ⅱ)求函数∫x)的单调递增区间： 11元 (若)=号，∈肾孕1，求os2x,的值. 元6 【解答】（1)f(x)=2sin(2x+乃). 6 π )的单玛递增区间为[-+k元，人+k u0os2x,=3-45 10 18. 已知/W=4 4sin.xco--争-5. (1)求函数y=(x)的最小正周期： (2)求函数)=)在区间-等孕上的最大值与最小值并求出()取得最大值与最小值时x 的值： (3)若函数∫()=m在区间-牙孕上恰有一个实根，求实数m的取值范围. 【解答】解：（1)/)=2sin(2x-孕，最小正网期为x 2))s=1,此时x=受：f=-2,此时x=音 (3)m=-2或-1<m≤1： 19.已知函数f)=tan2x+孕· (1)求∫(x)的定义域与最小正周期： (2)设a∈(0，孕，若/学)=2cs2a,求a的大小. 【解容】解：由2+导产受+，人e乙，得：受+受，水eZ,所以的定义城为管+经 82 k∈Z},∫x)的最小正周期为匹： sin(a+ (2)由f学)=2cos2a,得ama+孕=2cos2a, =2cos2a-sin2a）, coa+ 整理得： sinco=2(cosa+sin)(cosa-sina), cosa-sina 因为ae(0,经，所以cosa+sina≠0， 因此（(cosa--sina)=7,即sin2a=之 由&∈(0，，知2a∈(0，)， 所以2a= 12 20.已知函数f(x)=1og(N4x2+1-bx)在R上为奇函数，a>1,b>0. (1)求实数b的值： (2)求f(x)在[0，a上的值域： (3)已知1>0，若对任意x∈(0，+o),任意0∈(0，召)不等式 f(-4x(2+2)sin20)+f(31(x2+2)sin0+cos0)≤0都成立，求正数1的取值范围. 【解答】解：(1)函数f(x)=log(W4x2+1-bx)在R上为奇函数， ..f(x)+f(-x)=log,(V4x2+1-bx)+log(4x2+1+bx)=log,(4x2+1-bx2)=0, .4x2+1-bx2=1恒成立，又b>0,可得b=2: (2)当b=2时，j)=1og,4x+1-2)=og.4r+1+2x :a>1,.函数(x)为减函数： f()m=f(a)=log(N4a2+1-2a）;f(x)mx=f0)=0: 所以，f(x)的值域为[log.(W4a2+1-2a),0] (3)不等式f(-4x2+2)sin20)+f(3(x2+2)sin0+cos0)≤0， 即f(-4.x2+2)sin20)≤-f3(x2+2)(sin0+cos0》=f(-3(x2+2)(sin0+cos8), 可得4x(2+2)sin20>-31(x2+2)sin0+cos0), *>00e03,即2+2≤血0+cos0】 x2+231 sin 20' 12+2 也就是sin0+cos0 ≥31 sin 20 x2+2 4.x 2+2 12+2 31=2+2,当且仅当兰=，即x=反时等号成立， 31≤x1 42x 4+2242x :sin0+cos0>2(2+2) sin 20 31 由0e0,2,令=sin0+cos0=v5sin(0+孕e,V,则sn20=22-1 :n0+cos0=73=LW点，+w, sin202-12-) 2 25C+2,即+21，又1>0，解得1<1<2. 31 31 .正数1的取值范围是(1,2).