第07讲 立方根（2个知识点+7大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第07讲 立方根（2个知识点+7大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 立方根的概念 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律探索 题型五 立方根的实际应用 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 题型七 利用计算器计算平方根和立方根 知识点一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．是9的一个平方根 2．（25-26八年级上·上海·月考）平方根与立方根相同的数是 ． 知识点二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【核心考点一 立方根的概念】 【例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【例2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【例3】（24-25八年级上·河南周口·期中）若，则 ． 【例4】（24-25七年级下·浙江·期中）若，则 ． 【核心考点二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·月考）已知，那么的值为（   ） A．0.06 B．0.07 C．0.6 D．0.7 【例2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）若一个正方体的体积扩大9倍，则它的棱长要扩大的倍数是（   ） A．3 B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·广东茂名·月考）计算： ． 【例4】（24-25七年级下·海南海口·期中）的立方根是 ，的立方根是 ． 【核心考点三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期末）立方根等于的数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 【例3】（24-25七年级下·广东汕头·期末）一个数的立方根是，则这个数是 ． 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）根据图中呈现的运算关系，可知 ． 【核心考点四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【例3】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则 ． 【例4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【核心考点五 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·山东威海·期中）体积为9的立方体的棱长为（   ） A．9的算术平方根 B．9的开平方 C．9的立方根 D．9的立方 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 【例3】（24-25七年级下·山东德州·月考）观察下列各式解决问题： 已知，，则 ． 已知，，则 ． 【例4】（24-25八年级上·福建三明·期末）根据右图中呈现的开立方运算关系，可以得出a的值为 ．    【核心考点六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·月考）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【例3】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 【例4】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【核心考点七 利用计算器计算平方根和立方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）在计算器上按键，显示的结果是 ． 【例4】（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，一位同学用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，两次计算的按键顺序如下：，那么第一次按键输出的结果减去第二次按键输出结果的差等于 ． 【变式训练1 立方根的概念】 1．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期中）正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根：，，，，，． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15． （1）求x的值； （2）求a+1的立方根． 【变式训练2 求一个数的立方根】 1．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是与． (1)求和的值； (2)求的立方根．  4．（24-25七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【变式训练3 已知一个数的立方根，求这个数】 1．（24-25七年级下·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川德阳·月考）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 4．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【变式训练4 与立方根有关的规律探索】 1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 3．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 4．（24-25七年级下·贵州黔南·月考）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根．                       【变式训练5 立方根的实际应用】 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．（24-25八年级上·山西大同·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 4．（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【变式训练6 算术平方根和立方根的综合应用】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 4．（24-25八年级上·山西长治·月考）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【变式训练7 利用计算器计算平方根和立方根】 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 1．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西临汾·月考）一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ） A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则 ． 9．（24-25七年级下·山东临沂·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 10．（24-25八年级上·河南南阳·月考）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求的值； (2)求的立方根． 13．（24-25八年级上·河南周口·期末）已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方根． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 15．（24-25七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 立方根（2个知识点+7大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 立方根的概念 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律探索 题型五 立方根的实际应用 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 题型七 利用计算器计算平方根和立方根 知识点一：立方根 1.一般地，如果，那么x叫做a的立方根. 2.数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 3.这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B． C．的算术平方根是5 D．是9的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查立方根定义、平方根定义，熟记立方根与平方根的定义和求法是解决问题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A：由，可得的立方根是，不是，选项说法错误，不符合题意； B：由表示36的算术平方根，可得，不是，选项说法错误，不符合题意； C：由，可得的算术平方根是，不是5，选项说法错误，不符合题意； D：由，可得是9的一个平方根，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）平方根与立方根相同的数是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根和立方根， 根据平方根和立方根的定义解答即可. 【详解】解：因为正数的平方根有两个，互为相反数，任何实数都有一个立方根， 所以正数的平方根和立方根不能相同. 因为负数没有平方根， 所以负数的平方根和立方根不能相同. 只有0的平方根是0，立方根是0. 故答案为：0. 知识点二：立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 1.平方根与立方根的区别与联系 关系 名称 平方根 立方根 区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数 表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写 被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数 联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究. 2.立方根等于本身的有0和. 3.互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 4.，. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）“13的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：13的立方根是， 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）定义：用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．若数对的一个开方对称数对是，则的值是 ． 【答案】141 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的定义，熟练掌握“开方对称数对”的定义以及立方根、算术平方根的运算规则是解题的关键． 根据“开方对称数对”的定义，分两种情况讨论，判断哪种情况符合条件，进而求出、的值，最后计算． 【详解】情况一：若， ∵， ∴． ∵， ∴，但时，矛盾，无解． 情况二：若 ∵， ∴，即，故． ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【核心考点一 立方根的概念】 【例1】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的定义，由题意可得，由此即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴是的立方根， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）要使成立，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：要使成立，则为任意数，即a为任意数， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·河南周口·期中）若，则 ． 【答案】3 【分析】利用立方根的定义求出的值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【例4】（24-25七年级下·浙江·期中）若，则 ． 【答案】29.38 【分析】根据已知等式，利用立方根的定义判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ =29.38 故答案为：29.38． 【点睛】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 【核心考点二 求一个数的立方根】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·月考）已知，那么的值为（   ） A．0.06 B．0.07 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【分析】本题考查立方根，根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位， ∵， ∴， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·广东佛山·期中）若一个正方体的体积扩大9倍，则它的棱长要扩大的倍数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查立方根的运用，掌握体积的计算，立方根的计算是关键． 正方体的体积与棱长的立方成正比，体积扩大9倍，则棱长扩大倍． 【详解】解：设原棱长为a，原体积， ∵体积扩大9倍， ∴新体积， 又∵，其中为新棱长， ∴， ∴， ∴棱长扩大的倍数为， 故选：D． 【例3】（25-26八年级上·广东茂名·月考）计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，先化简算术平方根和立方根，然后进行加法运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：2． 【例4】（24-25七年级下·海南海口·期中）的立方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟知这两个概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， ∵， 又，27的立方根是3， 的立方根是3， 故答案为：，3． 【核心考点三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·广东广州·期末）立方根等于的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 【例2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 【例3】（24-25七年级下·广东汕头·期末）一个数的立方根是，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数为：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）根据图中呈现的运算关系，可知 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，因此只需要根据进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，根据一个数的立方根求这个数，正确理解题意是解题的关键． 【核心考点四 与立方根有关的规律探索】 【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 【例3】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 【核心考点五 立方根的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·山东威海·期中）体积为9的立方体的棱长为（   ） A．9的算术平方根 B．9的开平方 C．9的立方根 D．9的立方 【答案】C 【分析】本题考查的是立方根，熟知一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵立方体的体积为9， ∴其边长． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，二阶魔方为的正方体结构，由8个相同的小方块组成．已知二阶魔方的体积为（小方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查立方根的应用，利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】由题意可得每个方块的体积为， 则其边长为， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·山东德州·月考）观察下列各式解决问题： 已知，，则 ． 已知，，则 ． 【答案】 ； ； 【分析】本题考查算术平方根与立方根的规律，根据算术平方根：被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍，立方根：被开方数扩大倍，立方根扩大倍直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，． 【例4】（24-25八年级上·福建三明·期末）根据右图中呈现的开立方运算关系，可以得出a的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，由图可知，左右数字变化为开立方运算，通过开立方为，而与为相反数且一个数的立方根只有一个进行分析判断，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵开立方为，与为相反数且一个数的立方根只有一个， ∴的立方根为， ∴， 故答案为：． 【核心考点六 算术平方根和立方根的综合应用】 【例1】（24-25八年级上·广东佛山·月考）一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是8， ∴这个数是， ∴的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键． 【例2】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知x为实数，且﹣＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（    ） A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2 【答案】A 【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：∵﹣＝0， ∴． ∴x﹣3＝2x+1． ∴x＝﹣4． ∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9． ∴x2+x﹣3的算术平方根为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键． 根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的平方根是． 【例4】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【核心考点七 利用计算器计算平方根和立方根】 【例1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根和立方根，根据计算器求算术平方根和立方根的按键方法求解即可． 【详解】利用计算器求的值，其按键顺序正确的是： ． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）在计算器上按键，显示的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能，根据计算机的输入过程进行计算即可． 【详解】解：在计算器上依次按键转化为算式为， 计算可得结果为， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，一位同学用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，两次计算的按键顺序如下：，那么第一次按键输出的结果减去第二次按键输出结果的差等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学计算器的使用计算，利用科学计算器的使用规则把有理数混合运算，再计算，解题的关键是正确使用科学计算器． 【详解】第一次运算：， 第二次运算：， ∴第一次按键输出的结果减去第二次按键输出结果的差为：， 故答案为：． 【变式训练1 立方根的概念】 1．（24-25七年级下·上海静安·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据偶次方根、奇次方根的性质计算即可． 【详解】A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用n次方根的性质进行计算，当n为奇数时， ，当n为偶数时，． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期中）正数的立方根是 数，负数的立方根是 数，0的立方根是 ． 【答案】 正数 负数 零/0 【分析】根据立方根的意义判断即可． 【详解】因为正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， 故答案为：正数；负数；零． 【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根：，，，，，． 【答案】，，，，，． 【分析】根据立方根的概念进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 4．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15． （1）求x的值； （2）求a+1的立方根． 【答案】（1）x＝2；（2）2 【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可； （2）把（1）中求出的a的值代入a+1，然后再求立方根即可． 【详解】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15， ∴（x+5）+（4x﹣15）＝0， ∴5x﹣10＝0，解得x＝2； （2）由（1）得x＝2， ∴a＝（2+5）2＝49． a+1＝×49+1＝7+1＝8， ∴a+1的立方根是：＝2． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【变式训练2 求一个数的立方根】 1．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故选A． 2．（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 3．（25-26八年级上·河北保定·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是与． (1)求和的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查平方根的性质，立方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再代入求b； （2） 将的值代入，再求其立方根． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴ 解得 ∴； （2）解：当时，      的立方根为3 的立方根为． 4．（24-25七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 【变式训练3 已知一个数的立方根，求这个数】 1．（24-25七年级下·广西河池·期中）已知的立方根是，则的算术平方根是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得，得到，进而得到，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故选：． 2．（24-25七年级下·四川德阳·月考）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】本题考查了立方根的运算，熟练掌握开立方的运算方法是解题的关键． （1）（2）（4）（5）先进行开立方运算，然后解方程即可； （3）先移项再开立方进行运算即可； （6）（7）（8）（9）先将系数化为，然后进行开立方进行运算即可 （10）先移项然后将系数化为，再开立方进行运算即可． 【详解】（1）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （2）解：开立方，得 移项，得 整理，得 （3）解：移项，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （4）解：开立方，得 去括号，得 移项，得 整理，得 （5）解：开立方，得 系数化为，得 移项，得 整理，得 （6）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （7）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （8）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （9）解：系数化为，得 开立方，得 移项，得 整理，得 （10）解：移项，得 系数化为1，得 开立方，得 移项，得 整理，得 4．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，9；猜想的个位数字是7； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2) (3)或，或， 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算立方根的性质，根据立方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1或 解得：或或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时， 当时，； 当，． 【变式训练4 与立方根有关的规律探索】 1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 2．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 3．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】（1）填表见解析；（2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍；（3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 4．（24-25七年级下·贵州黔南·月考）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 【变式训练5 立方根的实际应用】 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键． 先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可． 【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西大同·期中）若用该正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，则该正方体所用纸片的面积为 ． 【答案】 【分析】根据体积求得正方体的边长，然后求出所用面积即五个正方形的面积． 【详解】解：因为无盖正方体的体积是，所以边长为， 所用面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正方体的边长与面积的关系，求一个数的立方根、面积的求法，解题的关键是要了解它们之间的关系． 3．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【变式训练6 算术平方根和立方根的综合应用】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 【答案】(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 4．（24-25八年级上·山西长治·月考）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 【变式训练7 利用计算器计算平方根和立方根】 1．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是 ． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 【答案】，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1 【分析】利用计算器对大于1的数（如1234），小于1的正数（如0.7），小于－1的数（如－1234），大于－1的负数（如－0.7）以及1、－1、0这三个数进行求若干次立方根，根据所得结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 大于1的数，如：1234， ， ， ， ， ， 小于1的正数，如：0.7， ， ， ， ， 小于－1的数，如：－1234， ， ， ， ， ， 大于－1的负数，如：－0.7， ， ， ， ， 对于1、－1、0这三个数而言，，，， 由此可得：，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求立方根以及对规律性的总结，熟练掌握立方根的意义是解决本题的关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 1．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山西临汾·月考）一个整数a的两个平方根是和，则的立方根为（    ） A．2 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据一个整数a的两个平方根是和，得到，求得，结合，计算的立方根即可． 本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键． 【详解】解：∵一个整数a的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ） A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 【答案】D 【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm． 【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3， ∴小立方体的棱长， 由三视图可知，最高处有四个小立方体， ∴该几何体的最大高度是4×6=24cm， 故选D． 【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长． 6．（24-25七年级下·福建福州·期中）如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握的平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义即可求解． 【详解】解：设这个实数为， 当时，它的平方根是0，立方根是0，二者相等，符合题意； 当时，它的平方根是，立方根是,不符合题意； 综上，这个数是0. 故答案为：0. 7．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【分析】本题考查立方根的性质，根据题意得到，结合立方根等于本身的数有，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或或； 故答案为：或2或3． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 9．（24-25七年级下·山东临沂·期中）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由，，可以确定是两位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定59319的十位上的数字是3．据以上方法可得 ． 【答案】32 【分析】本题考查了立方根，理解题目所提供的方法是解决问题的关键． 根据题目提供的方法，类推确定． 【详解】解：由，确定是两位数． 由32768的个位上的数是8，能确定的个位上的数是2． 如果划去32768后面的三位768得到数32，而，由此确定的十位上的数是3． 因此，32768的立方根是32． 故答案为：32． 10．（24-25八年级上·河南南阳·月考）每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键． （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据平方根和立方根的定义解答即可求解； （）把（）所得值代入求出代数式的值，进而根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的立方根为， ∴，， 解得，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴的立方根为． 13．（24-25八年级上·河南周口·期末）已知一个正数的平方根是与，2b+4的立方根是2． (1)求a、b的值； (2)求a+2b的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的性质，即一个正数的两个平方根互为相反数和立方根的性质计算即可； （2）算出，再进行求解即可； 【详解】（1）∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， ∵2b+4的立方根是2， ∴， ∴， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴a+2b的算术平方根为； 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 15．（24-25七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 学科网（北京）股份有限公司 $