第06讲 平方根（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练）-（寒假衔接课堂）2025-2026学年人教版七年级下册数学寒假衔接讲义

第06讲 平方根（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 平方根概念理解 题型二 利用平方根解方程 题型三 已知一个数的平方根，求这个数 题型四 求一个数的算术平方根 题型五 利用算术平方根的非负性解题 题型六 估计算术平方根的取值范围 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 题型八 算术平方根的实际应用 知识点一：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一个数的算术平方根和平方根，算术平方根为非负数，平方根有两个值，需注意区分，先计算出的值，再求这个值的平方根即可． 【详解】解：， 又4 的平方根是 ， 的平方根是 ， 故选A． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）的平方根是 ，的算术平方根是 ，16的算术平方根的平方根是 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握求平方根和算术平方根的法则． 利用求一个数的平方根和求一个数的算术平方根的法则进行求解即可． 【详解】解：； ； ， ； 故答案为：，，． 知识点二：平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，平方根的意义． 根据负数没有平方根逐一判断即可． 【详解】解：A． 不是负数，有平方根； B． 不是负数，有平方根； C． 是负数，没有平方根； D． 0不是负数，有平方根； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一个正数的平方根是和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 知识点三：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的算术平方根 D．是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】A. ，所以是的算术平方根，故选项正确； B. ，所以是的算术平方根，故选项错误； C. ，所以是的算术平方根，故选项错误； D. ，所以是的算术平方根，故选项错误； 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2026． 【核心考点一 平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义，在实数范围内，被开方数必须是非负数，否则无意义．逐一分析各选项的被开方数即可判断． 【详解】选项A：，被开方数为，是负数，故无意义． 选项B：，被开方数为，有意义． 选项C：，被开方数为，非负，有意义． 选项D：，被开方数为，非负，有意义． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，负数没有平方根，因此只需找出选项中的负数即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由平方根的定义，负数没有平方根， 选项符合题意， 故选：． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【详解】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 【例4】（24-25七年级下·北京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 【核心考点二 利用平方根解方程】 【例1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）方程的根为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方根解方程．先移项，把方程化为，再利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴方程的根为． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川内江·月考）若，则a等于（　　） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】直接用求平方根方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 故选：D． 【点睛】本师生考查利用平方根解方程，熟练掌握求一个正数的平方根的方法是解题的关键． 【例3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程，由得到，利用平方根的意义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】1 【分析】设，则原方程化为，求出a的值，再求出答案即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为， 即， ， 解得：或， 当时，； 当时，， ∵不论x、y为何值，， ∴舍去， 综合上述：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程和乘方性质，熟练掌握有理数的偶数次幂是非负数是解题关键． 【核心考点三 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）一个正数a的平方根是与，则的值是（   ） A． B．9 C． D．81 【答案】B 【分析】本题考查的是平方根，关键是正数的平方根是互为相反数，也就是和为0．即得方程． 一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数，据此列出方程，解之即可． 【详解】解：∵正数a的平方根是与， ∴， 解得：， ∴， 故选B． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．根据正数的平方根有两个，且互为相反数，即可求出a的值． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别为， ∴， 解得：， 故选：A． 【例3】（2025八年级上·江苏·专题练习）已知正实数x的两个平方根是a和，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得，然后将其代入中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可； 【详解】解：∵正实数x的两个平方根是a和， ∴， ∵， ∴， 即， 则， ∵x为正实数， ∴， 故答案为：3． 【例4】（25-26八年级上·甘肃白银·月考）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题关键．根据正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程即可得的值；求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ， ； ， ； 故答案为：2，49． 【核心考点四 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，那么的值约为（  ） A．0.2236 B．0.7071 C．0.02236 D．0.07071 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动2位，其算术平方根的小数点对应的向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 【例2】（24-25七年级下·四川广安·期末）下列运算中，错误的个数为（ ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据算术平方根的性质逐个判断即可得． 【详解】解：①，错误； ②，错误； ③，则没有算术平方根；，错误； ④，，则，错误； 综上，错误的个数为4个， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·湖南·期中）若，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根，根据平方的非负性、绝对值的非负性可得：，，从而可得：，因为的算术平方根是，所以的算术平方根是． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是. 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）一个正数a的两个平方根是和，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的算术平方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求算术平方根即可． 【详解】解：∵和是正数a的平方根， ∴， 解得， 将b代入， ∴正数， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 【核心考点五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）若m、n满足，则的平方根为（ ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，解题关键是掌握算术平方根的非负性，绝对值的非负性． 先根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，求出m，n的值，再代入代数式进行计算． 【详解】解：、n满足， ，， ，， ， ， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 【例3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【例4】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0是解题的关键． 由非负数的性质可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，解得：． 故答案为：，2． 【核心考点六 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·河北邯郸·月考）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 【例4】（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【核心考点七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级下·四川广安·月考）若，，则x的值为（  ） A．2370 B．237 C．2.37 D．0.237 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握小数点的移动规律，算术平方根的规律为：根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致． 根据根号内的小数点移动规律即可求解． 【详解】解：∵，， ， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·四川德阳·月考）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律题．通过观察已知条件，利用平方根的性质，被开方数扩大10000倍，平方根扩大100倍，将所求式子转化为已知近似值的形式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】 （25-26八年级上·河南南阳·月考）通过计算发现：，，，，仔细观察上面几道题的计算结果，请猜想 ． 【答案】5050 【分析】本题属于与算术平方根有关的规律探索题，主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题．根据，，，，发现一般规律，再利用规律进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ……… ∴． 故答案为：5050． 【核心考点八 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，面积为8的大正方形被分成完全相同的4个小正方形，则每个小正方形的边长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】该题考查了算术平方根的应用，根据题意先求出每个小正方形的面积，再开方即可求解． 【详解】解：根据题意可得每个小正方形的面积为， 则每个小正方形的边长为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知导线的电阻为时间导线产生1000 J的热量，电流的值是（   ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，将电阻的阻值，时间和热量代入关系式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵电阻为时间导线产生1000 J的热量， ∴； 故选C． 【例3】（25-26八年级上·河南郑州·月考）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪、拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 【答案】 【分析】先求出矩形的面积为10，再根据拼成的正方形的面积与矩形的面积相等即可求解． 本题主要考查了算术平方根，理解题意掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：矩形的面积为10， ∵拼成的正方形的面积与矩形的面积相等， ∴拼成的正方形的面积为10， ∴正方形的边长是， 故答案为：． 【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、正方形的面积公式，根据题意可得大正方形的面积为，再根据正方形的边长等于其面积的算术平方根即可求解． 【详解】解：∵两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 【变式训练1 平方根概念理解】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A．5的平方根是b B．5的平方根是a C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a 【答案】D 【分析】根据题意，求出a=，b=，再依次进行判断即可． 【详解】解：∵a、b满足方程x2＝5，且a＞b， ∴a=，b=， ∴5的平方根是，故A，B错误， 5的算术平方根是，故C错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作 ，读作“正负根号a”． 【答案】 【解析】略 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)|a|+3有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； (2)5﹣a2有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； (3)若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，求ab的平方根． 【答案】(1)小，3 (2)大，5 (3)±2或±3 【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3； （2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案； （3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可． 【详解】（1）解:（1）∵|a|≥0， ∴|a|+3有最小值，最小值为3， 故答案为：小，3； （2）解:（2）∵a2≥0， ∴﹣a2≤0， ∴5﹣a2≤5， 即5﹣a2有最大值，最大值为5， 故答案为：大，5； （3）解:（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2， ∴且 整理，得， ∴正整数b=1，2，3， 当b=1时，有，∴正整数a=4， 当b=2时，有，∴正整数a=3， 当b=3时，有，∴a=0（舍去）， 当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3； 当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2； 答：ab的平方根为±2或±3． 【点睛】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或者是两数中的一个，（1） 当，解得．（2） 所以这个数为．（3） 当时，解得．（4） 所以这个数为．（5） 综上可得，这个数为2或．（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正． 【答案】这个数为4，小张错在第（3）（5）（6），共3个错处． 【分析】根据知道一个数的平方根时，要求这个数需要平方，由算术平方根的非负性质可知2m-6≥0，从而可对求得的m的值作出取舍． 【详解】解：可以看出小张错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”；当时，这个数的算术平方根为；这个数为，故（3）错误； 当时，这个数的算术平方根为（舍去），故（5）错误； 综上可得，这个数为4，故（6）错误； 所以小张错在第（3）（5）（6）． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根的定义，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 【变式训练2 利用平方根解方程】 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意得出，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴， ∴或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键． 2．（24-25七年级下·云南昭通·月考）已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是 ． 【答案】±1 【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴ ， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 3．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平方根的性质，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根的性质求出值，即可求解； （2）将代入方程，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：将代入方程，得到， 解得：． 4．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方根的定义，乘方的意义． （1）先移项，然后根据平方根的定义直接开平方即可； （2）先移项整理得，再根据平方根的定义开平方得，再解一元一次方程即可； （3）根据乘方的意义和平方根的定义开两次平方即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 或； （3）， ， 或（舍去）， ． 【变式训练3 已知一个数的平方根，求这个数】 1．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【答案】D 【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出，从而进一步即可得出答案． 【详解】由题意得：这个自然数a为：， ∴, 故的平方根用m表示为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．（24-25七年级下·山东日照·期中）若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【答案】1或25 【分析】本题主要考查了平方根的性质，注意利用正数的两个平方根互为相反数的性质求解． 根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，从而可求出一个平方根，再由平方根的平方，可得到这个正数． 【详解】解：根据题意，得或， 解得：或， ∴或， ∴，， ∴这个正数是1或25． 故答案为：1或25． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【答案】(1) (2)，的平方根是 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）由题意得：，求出，进而得到，推出即可求解； （2）根据求出的值，再根据平方根的定义即可求的平方根． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ， ； （2）， 的平方根是， ，的平方根是． 【变式训练4 求一个数的算术平方根】 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，分情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时，②当时，分别计算即可． 【详解】解：∵，这两个数乘积的算术平方根为10， ∴①若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， 此时，，， ∴，，是“完美组合数”； ②若、这两个数乘积的算术平方根为20，则， 解得：， ∵“完美组合数”是三个互不相等的负整数， ∴不合题意； 综上所述，， 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．利用算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： 因为，所以的算术平方根为， 所以的算术平方根为． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的值是_____； (2)若输出的是，请写出两个满足要求的值：______； (3)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)5和25 (3)0或1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数， 是有理数， 是无理数， ∴当输入的为16时，输出的值是； （2）解：∵输出的是， ∴若输入一次就输出，那么输入的输为， ∴若输入两次就输出，那么输入的输为， ∴若输入三次就输出，那么输入的输为， ……， ∴满足题意的x的值可以为5和25； （3）解：符合要求的x的值为0或1，理由如下： ∵输入有效的值后，始终输不出值， ∴x取算术平方根后一定是有理数，且x的算术平方根再取算术平方根后有一定是有理数， ......， ∴x取算术平方根后的结果再一直取算术平方根的结果都是有理数， ∴x的算术平方根一定要满足等于它本身， ∴x的值为0或1 【变式训练5 利用算术平方根的非负性解题】 1．（24-25七年级下·云南文山·月考）已知实数满足，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出a、b的值． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得 ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】，其中均是整数， 又 ，， 当，， 解得，， 此时， 当，， 解得或，， 此时或， 时，或或， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·天津和平·月考）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 【答案】小华的答案正确，见解析 【分析】根据算术平方根的非负性，即可判断求解， 本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的非负性． 【详解】解：小华的答案正确． 理由：∵表示的是的负平方根， ∴而小明的答案为，小华的答案为，故小华的答案正确． 【变式训练6 估计算术平方根的取值范围】 1．（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16π的圆？并计算说明． 【答案】3个 【分析】根据长方形的长宽比及面积求出长方形的长，再根据圆的面积求出圆的半径、直径，最后用长方形的长除以圆的直径，即可求解． 【详解】解：∵长方形ABCD长和宽的长度比为4：3， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意知，， ∴， ∵ ， ∴， ∴长方形的长为，宽为． 设圆的半径为r，则， ∴， ∵ ， ∴， ∴圆的直径， ， ∵ ， ∴， ∴在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出3个面积为16π的圆． 【点睛】本题考查算术平方根的实际应用、估计算术平方根的取值范围等，利用算术平方根得出长方形的长和圆的半径是解题的关键． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3） 【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长； （2）对进行估值，即可解答； （3）对，估值，分别求出a，b的值即可． 【详解】解：（1）阴影部分面积为：， ∵阴影部分是一个正方形， ∴边长为：， 故答案为：13，． （2）不大于的所有正整数为：1，2，3． （3）∵， ∴， ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法． 【变式训练7 与算术平方根有关的规律探索题】 1．（2025九年级·湖南怀化·模拟预测）若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C 2．（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算探究题： (1)①______，___________，______； ②对于任意负数a，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【答案】(1)①，11，13；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及规律的探究，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值即可；②根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据（1）中的结论进行化简即可． 【详解】（1）解：①，，， 故答案为：，11，13； ②， ； （2）解：由题意得： 4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【变式训练8 算术平方根的实际应用】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子容积为立方厘米，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为40厘米，将瓶子倒放时，空余部分的高度为10厘米，则瓶子的底面半径为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求出所求． 【详解】解：解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为厘米， 故选：B． 【点睛】此题考查了算数平方根的实际应用，弄清题意，列出方程是解本题的关键． 2．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据图形间的关联分析问题是解题的关键．先根据图形间的关联得到，，从而得到第一空答案；求出大正方形的面积，即可求得第二空答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ； 正方形的面积， ． 故答案为：2；． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 【答案】(1)直角三角形的三边长为15，20，25； (2) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，先求出的值，再得出的值，即可解答； （2）设直角三角形的三边长分别为，，，利用三角形的面积公式得出，则有． 【详解】（1）解：当面积S等于150时， 第一步：， 第二步：， 第三步：直角三角形的三边长分别为，，， 直角三角形的三边长为15，20，25； （2）解：设直角三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴， ∴直角三角形的面积， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【答案】(1) (2)小正方形的面积为，边长为 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用 （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． 【详解】（1）小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：根据图形可得大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为 ∴小正方形的边长为． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列各数中一定有平方根的是（　　） A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1 【答案】D 【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数． 【详解】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意； B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意； C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意； D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意． 故选D． 【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（    ） A．1或9 B．3 C．1 D．81 【答案】A 【分析】首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：当两数互为相反数时，， 解得：， ，， 则这个正数为9． 当两数相等时， 这个正数是1． 故这个正数为1或9 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方根，关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．80 B．162 C．297 D．377 【答案】B 【分析】本题考查日历中数字的规律以及利用平方根解方程，解题的关键在于找出日历中正方形方框内最小数、最大数与中间数的关系． 根据题意得出，然后将选项代入，利用平方根解方程判断即可． 【详解】解：在日历中，同一列相邻两个数相差，同一行相邻两个数相差， 那么最小的数是，最大的数是， 已知最小的数与最大的数的积记为，则， ∴． 选项A：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 选项B：当时，，解得： （负值舍去），符合题意； 选项C：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 选项D：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某计算器中有、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A． B．100 C．0.01 D．0.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的规律问题，理解开方，平方及倒数的含义是解题的关键．分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：第1步的结果是； 第2步的结果是； 第3步的结果是； 第4步的结果是； 第5步的结果是； 第6步的结果是， ； 可知6步一循环，， 所以第2020步之后显示的结果是即． 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的平方根只有一个，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，根据0的平方根是0，只有一个，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根只有一个， ∴， ∴； 故答案为：3． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）一个正数的平方根是与，则的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了平方根，关键是熟知正数有两个平方根，且互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得：， ∴这个数为， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、倒数、算术平方根、规律探索，通过列举发现：答案按照，，，，，六个数循环，这是解题的关键． 根据题意分别计算出第、、、、、步显示的结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步结果为， 第步计算结果为， 第7步计算结果为， …… 运算的结果以，，，，，六个数为周期循环， ∵， ∴第步之后显示的结果为，即， ∴输入的数是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在的两个方格中，分别作出两个面积大于1且小于9的正方形要求所作两个正方形面积不同，且顶点都在格点上，并写出相应正方形的边长．      边长______    边长______ 【答案】见解析 【分析】本题考查了网格作图，算术平方根的应用，正确理解算术平方根的意义是解题关键．根据网格的特点和利用割补法画出符合题意的正方形，再求出对应正方形的边长即可． 【详解】解：如图所示，即为所求； 第一幅图的正方形面积为2，则其边长为； 第二幅图的正方形面积为4，则其边长为； 第三幅图的正方形面积为5，则其边长为； 第四幅图的正方形面积为8，则其边长为． 10．（25-26八年级上·上海·月考）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，根据所给各数的排列方式，发现前n排数的总个数的变化规律，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1排数的个数为：； 前2排数的总数为：； 前3排数的总数为：； …， 所以前n排数的总数为，且第n排有个数． 当时，，， 所以，数字是第46排，从左往右的89个数． 因为第第46排有个数，且从右到左依次减小， 则，， 所以． 故答案为：． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，利用平方根的定义，解方程即可，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴； （2）， ∴， ∴； （3）， ∴， ∴； （4）， ∴， ∴， ∴； （5）， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 12．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵a的平方根为±3， ∴， ∵的算术平方根为2， ∴＝4， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴ ∴a+2b的平方根为． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． 13．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知，是的算术平方根，，是的立方根，求的平方根. 【答案】±1 【详解】分析：首先根据平方根和立方根的定义求出a和b的值，然后得出M和N的值，从而得出答案． 详解：由题意得：，， 解得：， ∴，， ∴， ∴的平方根是. 点睛：本题主要考查的是算术平方根和立方根的定义问题，属于基础题型．解决这个问题的关键就在于根据定义求出a和b的值． 14．（24-25七年级下·福建南平·期中）（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 【答案】（1）；（2）①5，② 【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法解答即可； （2）①先使用夹逼法确定的范围，然后即可确定的范围，再根据规定解答即可； ②先确定的整数部分a与的小数部分的值，再代入所求式子化简计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以 因为， 所以， 因此． （2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24， 所以， 所以， 所以5； 故答案为：5； ②因为， 所以， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了利用夹逼法求算术平方根的近似值、对算术平方根的整数和小数部分的认识以及实数的简单计算，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握算术平方根的相关知识是解题关键． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 平方根（3个知识点+8大核心考点+变式训练+提优训练） 题型一 平方根概念理解 题型二 利用平方根解方程 题型三 已知一个数的平方根，求这个数 题型四 求一个数的算术平方根 题型五 利用算术平方根的非负性解题 题型六 估计算术平方根的取值范围 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 题型八 算术平方根的实际应用 知识点一：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）的平方根是 ，的算术平方根是 ，16的算术平方根的平方根是 知识点二：平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·贵州毕节·月考）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D．0 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一个正数的平方根是和，则的值是 ． 知识点三：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的算术平方根 D．是的算术平方根 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）化简 ． 【核心考点一 平方根概念理解】 【例1】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 【例4】（24-25七年级下·北京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则a的值是 ． 【核心考点二 利用平方根解方程】 【例1】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）方程的根为（   ） A．2 B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川内江·月考）若，则a等于（　　） A．2 B． C． D．2或 【例3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）若，则x的值为 ． 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【核心考点三 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）一个正数a的平方根是与，则的值是（   ） A． B．9 C． D．81 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）某正数的两个不同的平方根分别为，则的值为（　　） A．1 B． C． D．4 【例3】（2025八年级上·江苏·专题练习）已知正实数x的两个平方根是a和，若，则 ． 【例4】（25-26八年级上·甘肃白银·月考）已知一个正数的两个不相等的平方根是与．则 ， ． 【核心考点四 求一个数的算术平方根】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知，，那么的值约为（  ） A．0.2236 B．0.7071 C．0.02236 D．0.07071 【例2】（24-25七年级下·四川广安·期末）下列运算中，错误的个数为（ ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25七年级下·湖南·期中）若，则的算术平方根是 ． 【例4】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）一个正数a的两个平方根是和，则的算术平方根是 ． 【核心考点五 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）若m、n满足，则的平方根为（ ） A．4 B．8 C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【例3】（25-26八年级上·四川巴中·期中）若，则的平方根为 ． 【例4】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）若，则 ， ． 【核心考点六 估计算术平方根的取值范围】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【例2】（24-25八年级上·陕西咸阳·月考）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【例3】（24-25八年级上·河北邯郸·月考）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【例4】（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【核心考点七 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（24-25七年级下·四川广安·月考）若，，则x的值为（  ） A．2370 B．237 C．2.37 D．0.237 【例2】（24-25七年级下·四川德阳·月考）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 25 根据以上规律，若，则（    ） A． B．379 C．12 D．120 【例3】（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知，，那么 ． 【例4】 （25-26八年级上·河南南阳·月考）通过计算发现：，，，，仔细观察上面几道题的计算结果，请猜想 ． 【核心考点八 算术平方根的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，面积为8的大正方形被分成完全相同的4个小正方形，则每个小正方形的边长为（   ） A． B．2 C． D．4 【例2】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．已知导线的电阻为时间导线产生1000 J的热量，电流的值是（   ） A．0.1 B．1 C．10 D．100 【例3】（25-26八年级上·河南郑州·月考）将如图所示的矩形纸片（每个小正方形的边长为1），剪一剪、拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 【例4】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图是两个面积为1的小正方形，沿对角线剪开拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 ． 【变式训练1 平方根概念理解】 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A．5的平方根是b B．5的平方根是a C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a 2．（24-25八年级上·全国·课前预习）正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ，另一个是 ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作 ，读作“正负根号a”． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题： (1)|a|+3有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； (2)5﹣a2有最 　 　（填“大”或“小”）值 　 　； (3)若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，求ab的平方根． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或者是两数中的一个，（1） 当，解得．（2） 所以这个数为．（3） 当时，解得．（4） 所以这个数为．（5） 综上可得，这个数为2或．（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正． 【变式训练2 利用平方根解方程】 1．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 2．（24-25七年级下·云南昭通·月考）已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是 ． 3．（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)求关于的方程的解． 4．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【变式训练3 已知一个数的平方根，求这个数】 1．（24-25七年级下·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 2．（24-25七年级下·山东日照·期中）若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正数的正的平方根是，且的平方根是． (1)求的值； (2)求这个正数的值及的平方根． 【变式训练4 求一个数的算术平方根】 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，9，18都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，则的值为（   ） A． B． C．或 D．80或20 2．（25-26八年级上·上海黄浦·月考）已知，，那么 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）求的算术平方根． 解：因为，所以的算术平方根是． 上面的解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的值是_____； (2)若输出的是，请写出两个满足要求的值：______； (3)若输入有效的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由． 【变式训练5 利用算术平方根的非负性解题】 1．（24-25七年级下·云南文山·月考）已知实数满足，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若，其中均是整数，则 ． 3．（24-25七年级下·天津和平·月考）已知：，求代数式的平方根． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 【变式训练6 估计算术平方根的取值范围】 1．（2025·云南·模拟预测）已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在 之间． 3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16π的圆？并计算说明． 4．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 【变式训练7 与算术平方根有关的规律探索题】 1．（2025九年级·湖南怀化·模拟预测）若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算探究题： (1)①______，___________，______； ②对于任意负数a，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【变式训练8 算术平方根的实际应用】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子容积为立方厘米，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为40厘米，将瓶子倒放时，空余部分的高度为10厘米，则瓶子的底面半径为（    ）． A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 2．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）图1是两个完全相同的长方形，长为5，宽为3，将他们沿对角线（图中的虚线）剪开，再拼接成如图2所示的大正方形，中间留有的空隙是一个小正方形，设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则 ， ． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）清朝康熙皇帝在《积求勾股法》一文中，对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”． (1)若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍．当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长； (2)若直角三角形的三边长分别为a、b、c（）的k倍．若面积为S，则________． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列各数中一定有平方根的是（　　） A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知与是一个正数的平方根，则这个正数的值是（    ） A．1或9 B．3 C．1 D．81 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．80 B．162 C．297 D．377 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）某计算器中有、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A． B．100 C．0.01 D．0.1 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的平方根只有一个，则x的值是 ． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）一个正数的平方根是与，则的值是 . 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某计算器上的三个按键的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数后，依次按照如图所示的三步循环重复按键，若第次按键后，显示的结果是，则输入的数是 ． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，在的两个方格中，分别作出两个面积大于1且小于9的正方形要求所作两个正方形面积不同，且顶点都在格点上，并写出相应正方形的边长．      边长______    边长______ 10．（25-26八年级上·上海·月考）将、、、、……按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，若在，则的值为 ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 12．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 13．（25-26八年级上·福建宁德·期中）已知，是的算术平方根，，是的立方根，求的平方根. 14．（24-25七年级下·福建南平·期中）（1）采用夹逼法，利用的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下： 因为， 所以 因为，， 所以 因为， 所以 因为， 所以 因此(精确到百分位)， 使用夹逼法，求出的近似值(精确到百分位)． （2）我们规定用符号表示数的整数部分，例如 ①按此规定 ； ②如果的整数部分是的小数部分是求的值． 15．（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $