第05讲 正方形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦正方形的性质、判定、综合应用及中点四边形核心知识点，从正方形双重属性（矩形+菱形）出发，梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，构建“概念-性质-判定-应用”的学习支架，涵盖定义、性质定理、判定条件及中点四边形与原四边形对角线的关系。 资料通过典例与变式题结合，培养学生几何直观与推理能力，如利用正方形对角线转化为等腰直角三角形的辅助线添加，渗透方程思想解决折叠与坐标系综合题。课中助力教师分题型授课，课后学生可通过练习题巩固，查漏补缺，提升综合应用能力。

第05讲 正方形的性质和判定 考点1：正方形的概念和性质 考点2：正方形的判定 考点3：正形的综合应用 考点4：中点四边形 重点： （1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 （2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。 （3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。 （4）掌握中点四边形的性质 难点： （1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。 （2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。 （3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑辨析，构建知识体系。 （4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。 知识点1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用正方形的性质求解】 【典例1】如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题主要考查了正方形和等边三角形的性质，由四边形是正方形，是正三角形可得，即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵是正三角形， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，由正方形的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质与直角坐标系中坐标的求解，解题的关键是求解出正方形的边长． 由面积可求解出正方形的边长，由此可求解坐标． 【详解】解：正方形的面积为25， ∴， 解得， 即正方形的边长为5， ∵正方形的两边与坐标轴的正半轴重合， ∴点C的坐标为． 故选：C ． 【变式3】“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出BD，再根据平移性质得，然后由求解即可． 【详解】解：由题意，， 由平移性质得， ∴点D，之间的距离为 ， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 知识点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型2 添一条件使四边形是正方形】 【典例2】已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的定义逐项判定即可． 【详解】如下图，    对于选项A，由矩形的对边平行，可得内错角相等，即， ∵， ∴． 则（等角对等边）． 所以，四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 故A选项说法正确，但不符合题意； 对于选项B，对角互补是矩形本身就具有的条件，相当于没有增加判定正方形的条件，故不能判定四边形为正方形． 故B选项说法错误，符合题意． 对于选项C， 因，四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 故选项C说法正确，但不符合题意； 对于选项D，因矩形的对角线互相平分， ∴O为的中点，又， ∴B， 则， 所以，四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 故选项D说法正确，但不符合题意； 故答案为：B． 【点睛】本题涉及矩形的性质及正方形的判定等相关知识点，解题的关键是对正方形的定义有准确的判断． 【变式1】已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（　 　） A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD 【答案】C 【分析】根据正方形的判定，菱形的判定和矩形的判定逐项分析即可． 【详解】解：A、添加AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，故错误； B、添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，故错误； C、根据AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，根据AC＝BD，可得菱形ABCD是正方形，故正确； D、添加AC平分∠BAD，可得平行四边形ABCD是菱形，故错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的判定，菱形的判定和矩形的判定，熟记判定定理是解此题的关键． 【变式2】如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．根据正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，利用对角线互相垂直且相等即可证明四边形是正方形． A．当时，四边形是菱形，不一定是正方形，选项错误，不符合题意； B．当时，四边形一定不是正方形，选项错误，不符合题意； C．当时，平行四边形角线互相垂直且相等，则四边形是正方形，选项正确，符合题意； D．当时，四边形不一定是正方形，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定和菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的关系是解题的关键． 根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处可填是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处可填是正确的，故该选项不符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形， （3）处可填是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， 无法判定两角是不是直角，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型3 正方形的判定】 【典例3】如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【变式1】如图，在中，，CD是的角平分线，，，垂足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定，掌握先证矩形，再证邻边相等的判定思路是解题的关键． 先证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而得出其为正方形． 【详解】解：， ，四边形是矩形， 是角平分线，， ， 四边形是正方形． 【变式2】如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形和正方形，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键， 连接交于点，由矩形对角线性质和等腰三角形性质得，得， 即得矩形是正方形． 【详解】证明：如图，连接交于点． 四边形是矩形， ． ， ． ． 四边形是正方形． 【变式3】如图，在中，于点E，于点F，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定定理是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，易证可得，再通过证明四边形是平行四边形，是矩形，进而证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形． 【题型4 正方形的性质与判定综合】 【典例4】如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定及性质、折叠的性质及勾股定理： （1）由折叠的性质可得到的条件是：①，②，且；由②可判定四边形是矩形，由可证得四边形是正方形； （2）设，由折叠的性质可得：（即正方形的边长为x），，；进而可用x表示出的长，即可在中，由勾股定理求得的长，进而可求出的长； 熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ； 由折叠可知，，， ，， ； ； 四边形是正方形． （2）四边形是正方形， ， 又，，， 设的长为，则，． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ，． 【变式1】如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 【变式2】在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得四边形是菱形，再根据“有一个角是直角的菱形是正方形”得出答案； （2）先根据菱形的性质求出，进而求出，再根据正方形的性质可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 【变式3】如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）解：∵四边形是菱形，所以，则是直角三角形． ． 又知四边形是正方形，，且、互相平分， ， 在中，由勾股定理，得． 知识点3：中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。 3.形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形 ②对角线相等→中点四边形是菱形 ③对角线垂直→中点四边形是矩形 ④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形 【关键结论】 ①所有中点四边形至少是平行四边形 ②周长=原四边形两条对角线长度之和 ③面积=原四边形面积的 【题型5 中点四边形】 【典例5】如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 【变式1】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 根据菱形的性质，得，结合三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，四边形是菱形，点、、、分别是、、、的中点， ，，， ， 原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：A． 【变式2】四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线必然互相垂直． 【详解】解：四边形的中点四边形是一个矩形， 四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可， 故选：D． 【变式3】如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 【答案】B 【分析】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于或的一半，进而求四边形周长即可． 【详解】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点， ∴，，． 又∵，， ∴四边形的周长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据． 1．正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质．根据正方形的两条对角线长度相等，即可求解． 【详解】解：∵正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为， ∴另一条对角线长也为． 故选：C． 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查矩形和正方形的性质．根据矩形和正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线互相垂直平分且相等， 矩形的对角线互相平分且相等，但不一定垂直， 故选：B． 4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】 解：根据图③的剪法，展开后所得图形为， 故选：B． 5．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意； B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意； C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； 故选：A． 6．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及已知条件，根据等角的余角相等，得出，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理得分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：B． 8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：A． 9．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    【答案】5 【分析】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质定理，根据平分即可求解． 【详解】解：由题意得：平分 ∵点P到的距离， ∴点P到直线的距离为5 cm． 故答案为：5 10．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，点在正方形的边的延长线上，连接，，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识．由正方形的性质得到，，根据勾股定理求出，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若 ，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，菱形的性质，正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出是等腰三角形是解题的关键． 过点作于点，根据四边形是菱形可知，可得出是等腰三角形，即可得到，再根据勾股定理求出即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， 四边形是菱形， ， 是等腰三角形， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， ∴， ， 故答案为． 13．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 14．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质； （1）由四边形是平行四边形，平分，平分，得到，再由，，，可得四边形是菱形，进而得证四边形是正方形； （2）过点E作，由（1）可得是等腰直角三角形，是含角直角三角形，设，利用，可求出，进而求出. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形. 即四边形是正方形. （2）解：过点E作，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 正方形的性质和判定 考点1：正方形的概念和性质 考点2：正方形的判定 考点3：正形的综合应用 考点4：中点四边形 重点： （1）掌握正方形的双重属性（矩形 + 菱形），理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。 （2）熟记正方形的性质与判定定理，能准确区分判定条件的前提（如 “矩形 + 邻边相等”）。 （3）灵活运用面积、边长、对角线的关系进行计算。 （4）掌握中点四边形的性质 难点： （1）判定定理的灵活选择：根据题干条件（如已知平行四边形 / 矩形 / 菱形），选择最简判定路径，避免逻辑混乱。 （2）综合题的辅助线添加：学会连对角线将正方形转化为等腰直角三角形，利用勾股定理或全等解题。 （3）从属关系的理解：突破 “正方形是特殊的矩形 / 菱形，矩形 / 菱形不一定是正方形” 的逻辑辨析，构建知识体系。 （4）折叠与坐标系综合题：结合方程思想，解决含未知线段的计算问题，考虑多解情况。 知识点1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用正方形的性质求解】 【典例1】如图，在正方形的外侧，作等边，则为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，已知P是正方形对角线上一点，连接平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，面积为25的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（　　） A． B． C． D． 知识点2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 【题型2 添一条件使四边形是正方形】 【典例2】已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知四边形ABCD是平行四边形，若要使它成为正方形，则应增加的条件是（　 　） A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD 【变式2】如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】小英在复习几种特殊平行四边形关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【题型3 正方形的判定】 【典例3】如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【变式1】如图，在中，，CD是的角平分线，，，垂足分别为E，F，求证：四边形CEDF是正方形． 【变式2】如图，四边形是矩形，是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是正方形． 【变式3】如图，在中，于点E，于点F，，求证：四边形是正方形． 【题型4 正方形的性质与判定综合】 【典例4】如图，在中，，于，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【变式2】在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【变式3】如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、在对角线上，且，，连接、、、． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 知识点3：中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。 3.形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形 ②对角线相等→中点四边形是菱形 ③对角线垂直→中点四边形是矩形 ④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形 【关键结论】 ①所有中点四边形至少是平行四边形 ②周长=原四边形两条对角线长度之和 ③面积=原四边形面积的 【题型5 中点四边形】 【典例5】如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【变式1】若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．等腰梯形 D．对角线互相垂直的四边形 【变式2】四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【变式3】如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）    A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm 1．正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 2．如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 4．将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，能判断四边形是正方形的是（     ） A．对角线互相垂直的矩形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线互相垂直平分的菱形 6．如图，在正方形中，，分别为边与上一点，连接，，交点为，且，已知，，则正方形的边长为(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.5 8．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为（    ） A． B． C．2 D． 9．如图，P为正方形对角线上的一点，点P到的距离，则点P到直线的距离为 cm．    10．如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ． 11．如图，点在正方形的边的延长线上，连接，，若，，则的值为 ． 12．如图，正方形的顶点分别在轴，轴上，是菱形的对角线．若 ，则点的坐标是 ． 13．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 14．如图，，，平分，平分，，，. (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，求线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $