第04讲 菱形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦菱形的性质与判定，以定义为起点，系统梳理菱形的性质（四条边相等、对角线垂直平分）、面积计算（对角线乘积的一半）、判定方法（邻边相等的平行四边形等），构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过生活实例（如千斤顶、人行横道标志）培养数学眼光，典例与变式题分层设计提升推理能力（数学思维），综合题强化数学语言表达。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固查漏，实用性强。

第04讲 菱形的性质和判定 考点1：菱形的概念和性质 考点2：菱形的面积 考点3：菱形的判定 考点4：菱形的性质与判定综合 重点： （1）菱形性质的应用 （2）菱形的判定 （3）菱形性质与判定的互逆应用 难点： （1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 （2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。 （3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题 知识点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A．26° B．52° C．128° D．154° 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ． 由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中即可求解 ． 【详解】解：在菱形中，因为， 所以， 即， 又因为在菱形中，， 所以， 可得， 所以的度数为 ． 故选：C ． 【变式1】如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 【变式2】如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，推出，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式3】如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，先根据菱形的性质得出，，平分和，再由得出，从而利用等腰三角形等边对等角得出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，平分和，即， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 【典例2】如图，在菱形中，与交于点，若，，则该菱形的周长是(    )    A．20 B．24 C．25 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质；根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ，，，， 故菱形的周长为． 故选：A． 【变式1】如图，在菱形中，，，则对角线的长是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质证明是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； 故选B． 【变式3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的周长为20，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理，菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而根据直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为20， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 知识点2：菱形的面积（等面积求高） 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的面积等于计算即可． 本题考查了菱形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得菱形的面积等于， 故选：A． 【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗棂的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数学知识——菱形．喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：在菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作交延长线于H，可求出，则，由勾股定理得到，由菱形的性质得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 根据菱形的性质得出、、、，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、、 、 、 由勾股定理得： 解得． 故选：A． 【变式3】如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为（    ）    A．5 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为，对角线相交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：D． 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 【典例4】如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 【变式1】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 【变式2】已知四边形的对角线，互相垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（    ）    A． B． C． D．，互相平分 【答案】D 【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、不能判定四边形为菱形，不符合题意，选项错误； B、不能判定四边形为菱形，不符合题意，选项错误； C、不能判定四边形为菱形，不符合题意，选项错误； D、能判定四边形为菱形，符合题意，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．注意，判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；若从四边形出发的，则还需四条边相等；若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直． 【变式3】如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理． 添加条件：，首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可得到四边形是菱形． 【详解】添加条件：. ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5 菱形的判定】 【典例5】如图，在中，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定，掌握知识点是解题的关键． 由题意易得，，则有四边形是平行四边形，即可求证； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴． ∴是菱形． 【变式1】如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行四边形的性质可得，证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． 【变式2】如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【变式3】如图，平行四边形中已知、分别是、的中点，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得，可得四边形为平行四边形，再根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得到四边形是菱形，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ， 、分别是、的中点， ， 四边形为平行四边形， ， ∵为的中点， ， 四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【典例6】如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式1】在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由菱形的性质得到，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ． 【变式2】如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定结合已知证得四边形是矩形，再利用的性质和菱形的判定可得结论； （2）根据（1）的结论得到，再利用菱形的性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵在中，， ∴． 由勾股定理知：， ∴， 解得， ∴． 【点晴】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质和勾股定理．理解相关知识是解答关键． 【变式3】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等角对等边的性质，得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，由勾股定理可得，从而得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求出长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， 的周长为36， ， ， 在中，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． 1．菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，周长为， ∴边长， 故选：C． 2．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 3．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，相交于点，若，， ∴， 故选：D． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，由菱形的性质得出，结合已知条件以及直角三角形两锐角互余进一步得出，由含30度直角三角形的性质得出，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， 在中， ． 故选：B 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键． 过作轴，延长交轴于，设菱形边长为，在，根据勾股定理可得，解方程即可． 【详解】如图，过作轴，延长交轴于， 易知四边形为矩形，设菱形边长为， ， ， 在中， ，则， 解得， ， ． 故选：A． 6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，菱形的面积公式及勾股定理．先根据已知条件判断重合部分四边形的形状，再结合菱形面积公式求出纸条的宽度即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 如图，过点A分别作，边上的高为，，连接AC， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形， 设菱形的边长为x， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即纸条宽度为． 故选：D． 7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 【答案】四条边都相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形”与“由四边形直接判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征． 先回顾菱形的三类判定方法：一是平行四边形一组邻边相等；二是平行四边形对角线互相垂直；三是四边形+四条边都相等（或对角线互相垂直且平分）．题目中是从“四边形”直接推导为“菱形”，需排除依赖“平行四边形”前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可． 【详解】解：题目要求“四边形”直接成为“菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条件，因此符合要求的条件可为“四条边都相等”（或“对角线互相垂直且平分”）． 故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）． 8．如图，在中，．将沿方向平移得到，则当 时，四边形是菱形，依据是 ． 【答案】 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定方法是关键，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，结合平行四边形的性质分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 当四边形是菱形时，， ∴， 上述证明的依据是有一组邻边相等的平行四边形是菱形， 故答案为：①；② 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 9．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键．根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可求解． 【详解】解：∵菱形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 10．如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，由菱形的面积，即可求出的长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的面积公式． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ； 故答案为：． 11．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了菱形的判定以及矩形的性质，熟练掌握解题方法是解答此题的关键．首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ,，， ， 平行四边形是菱形． 12．如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判断和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定证明，即可得证； （2）过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，再根据菱形的性质可得，根据即可得解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 菱形的性质和判定 考点1：菱形的概念和性质 考点2：菱形的面积 考点3：菱形的判定 考点4：菱形的性质与判定综合 重点： （1）菱形性质的应用 （2）菱形的判定 （3）菱形性质与判定的互逆应用 难点： （1）性质混淆：易与矩形对角线性质混淆（菱形对角线垂直，矩形对角线相等）。 （2）判定易错点：忽略判定前提，如直接用 “对角线垂直” 证菱形，未先证平行四边形。 （3）综合应用：结合对角线性质构造直角三角形，求解边长、角度；添加辅助线（连对角线）转化问题 知识点1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【典例1】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A．26° B．52° C．128° D．154° 【变式1】如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在菱形中，点E为对角线上的一点，且．连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据菱形的性质求线段长】 【典例2】如图，在菱形中，与交于点，若，，则该菱形的周长是(    )    A．20 B．24 C．25 D．48 【变式1】如图，在菱形中，，，则对角线的长是（    ） A． B．6 C． D． 【变式2】如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．12 D． 【变式3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的周长为20，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 知识点2：菱形的面积（等面积求高） 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 【题型3 根据菱形的性质求面积】 【典例3】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线长为，为，则该标志的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】小宇同学和家人去故宫游玩，发现太和殿窗棂的三交六碗菱花图案不但非常漂亮，而且还藏着数学知识——菱形．喜欢创造性设计问题的她，通过查阅资料，结合图案，很快就命制出一个数学题如下：在菱形中，，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【变式2】如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（   ） A． B．5 C．6 D． 【变式3】如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为（    ）    A．5 B． C．2 D．4 知识点3：菱形的判定 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 【题型4 添一条件使四边形是菱形】 【典例4】如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知四边形的对角线，互相垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（    ）    A． B． C． D．，互相平分 【变式3】如图，点，，分别在的边上，，，添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【题型5 菱形的判定】 【典例5】如图，在中，连接，，过点D作的平行线与的延长线相交于点E，求证：四边形是菱形． 【变式1】如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 【变式2】如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 【变式3】如图，平行四边形中已知、分别是、的中点，且．求证：四边形是菱形． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【典例6】如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式1】在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，求的长． 【变式2】如图，平行四边形的对角线相交于点，过点作，过点作，与交于点，． (1)求证：是菱形； (2)若，求的长． 【变式3】如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为36，求长． 1．菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 3．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B．15 C．20 D．24 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为点E，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 6.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个面积为的四边形，当时，则纸条的宽度是（    ） A．2 B．4 C． D． 7．小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是 ． 8．如图，在中，．将沿方向平移得到，则当 时，四边形是菱形，依据是 ． 9．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为 ．    10．如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为 ． 11．如图，在矩形中，交于点交于点．求证：四边形是菱形． 12．如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $