第02讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本初中数学讲义聚焦平行四边形的性质和判定，系统梳理定义、边/角/对角线性质、判定定理、平行线间距离及三角形中位线定理，构建从基础概念到性质应用再到判定与综合拓展的学习支架。 资料通过典例与变式题分层设计，涵盖求边长、角度、坐标等基础题型及动态几何存在性问题，培养学生几何直观与推理能力。结合中位线定理应用强化模型意识，课中助力教师系统教学，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第02讲 平行四边形的性质和判定 考点1：平行四边形的定义 考点2：平行四边形的性质 考点3：平行四边形的判定定理 考点4：平行线的间的距离 考点5：三角形的中位线定理 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 （3）三角形中位线定理的灵活运用 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 （3）遇中点连中位线，转化线段关系或平行关系。 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】 【典例1】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O， ， ， ， 故选：B． 【变式1】如图，在平行四边形中，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边相等得到的长，再根据线段的和差关系即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 故选：A． 【变式2】在中，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 根据平行四边形的对边相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 故选：C． 【变式3】已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握对边相等是解题的关键. 根据平行四边形对边相等的性质，直接计算周长即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长. 故的周长为. 故选：C. 【题型2 根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形对角相等作答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则． 故选：C． 【变式1】如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟知是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】由题知，， ． 故选：B． 【变式2】如图，在中，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 平行四边形的性质有：平行四边形的邻角互补，即，平行四边的对角相等，即．根据求出的度数，再根据邻角互补求出的度数即可． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故选D． 【变式3】如图，在中，的平分线交于E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质．熟练掌握平行四边形的性质以及角平分线的性质是解题的关键．平行四边形的对边平行，即，由此可得内错角相等；角平分线会将一个角分成两个相等的角．我们可以利用这些性质求出的度数，再根据平行四边形邻角互补求出的大小． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ． 故选：D． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例3】如图，将放置在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标；由平行四边形的性质得，，从而可得点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴，； ∵点的坐标是， ∴点B的横坐标为，纵坐标为4， 即点B的坐标为； 故选：C． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟知平行四边形的性质是解题的关键； 根据四边形是平行四边形可得，再由A、C的坐标即可得解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A，C，， ∴点B的坐标为； 故选：C. 【变式2】如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形，先根据坐标与图形性质得到，再根据平行四边形的性质得到，轴，再利用坐标与图形求解即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，轴， ∵四边形为平行四边形， ∴，轴， ∵， ∴，即， 故选：A． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的基本性质和坐标，数形结合是解题的关键． 根据可得点纵坐标与点相同为，由，顶点A，B，C的坐标，结合图形可得点横坐标为4，继而得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴点纵坐标与点相同为， ∵顶点A，B，C的坐标分别是，，， ∴， ∴点横坐标为， ∴点的坐标是， 故选：D． 知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离. 性质：平行线之间距离处处相等 【题型4 利用平行线间距离的性质求解】 【典例4】如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 【变式1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键． 根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是6． 故选：C． 【变式2】如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，如果，，那么点A到直线b的距离为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：平行线a、b之间的距离． 故选：B． 【变式3】如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到； 本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 故选：A． 知识点3：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 【典例5】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项： ， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 【变式1】如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由图可得， ， A、添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； B、添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； C、添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； D、添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； 故选：C． 【变式2】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】如图，在四边形中，，垂足分别为点E，F，连接，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形成为平行四边形，根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：添加条件为：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 故答案为：． 【题型6 平行四边形的判定】 【典例6】已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．利用两组对边相等的四边形是平行四边形证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】如图，中，E，F分别是边的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； 先利用平行四边形的性质，推出，再结合题中条件证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】四边形是平行四边形， ，即， 又分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式2】如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的证明以及平行线的性质，由角边角的证明三角形全等并得到四边形是平行四边形解决本题的关键． 首先由角边角的方法证明与全等，则可得到，再由平行四边形的判定，即“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，． ，． ． ． 又． 四边形是平行四边形． ． 【变式3】已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）首先得到，，然后由，得到，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ． ， ； （2）四边形为平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例7】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【变式2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【答案】3种情况，画图见解析 【分析】先连接，，，再分别以，为圆心，，为半径画圆，得到交点E，同法可得D，再延长，交于点F，从而可得答案． 【详解】解：如图，第四棵树的位置有3个位置，    【点睛】本题考查的是平行四边形的作图，掌握利用尺规画平行四边形是解本题的关键． 【变式3】在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）： (1)在网格内画出关于y轴对称的图形； (2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，或． 【分析】（1）先找到A、B、C点关于y轴的对称点，顺次连接即可； （2）将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点． 【详解】（1）如图所示： （2）∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴将点A向右平移3个单位长度得到点 ，将点A向左平移3个单位长度得到点 ，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点 ． 所以，点D的坐标为：，或． 【点睛】本题考查画轴对称图形，平行四边形的判定，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例8】如图，在平行四边形中，点M，N分别在边上，且，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若已知，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，得到，即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角，求出，根据平行线的性质求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 【变式2】如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 【变式3】如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 知识点4：三角形的中位线定理 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线（一个三角形有3条中位线）。 2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 3.推论：三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的​，面积是原三角形的​ 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例9】如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出、、是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出，，，即可求出答案． 【详解】解：点、、分别为三边、、的中点， ，，， 的周长为5， ， ， 即的周长为. 故选：B． 【变式1】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的定义，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键． 根据题意判定是的中位线，再利用三角形中位线定理，得出“”然后代入的长度计算出的距离． 【详解】解： 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 【变式2】如图，是内一点，连接，，，，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理可求出的长，再根据四边形周长计算公式可得答案． 【详解】解；∵，，，分别为，，，的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形的周长， 故选：C． 【变式3】如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选C． 1．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：． 2．如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．根据平行四边形的性质判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，， 不一定成立，结论A错误，符合题意． 故选：A． 4．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意． 故选：D ． 5．如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，先根据平行四边形的性质得出，，再根据勾股定理得出，最后根据勾股定理即可得出答案. 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B. 6．如图，在中，，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：24． 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与性质，先求出，根据平行四边形的性质得出，进而得出点D的横坐标为，纵坐标与A相同为2，即可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形的顶点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标与A相同为2， ∴点的坐标为 故答案为：． 8.如图，，，为直线上的任意两点，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，根据平行线间的距离相等可以得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴与之间的距离相等， ∴， 故答案为：5． 9．如图，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 10．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【详解】证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 11．如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若平分，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合四边形是平行四边形，得，，又因为，故，即可证明四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形，结合平分，得，则，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， 设， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行四边形的性质和判定 考点1：平行四边形的定义 考点2：平行四边形的性质 考点3：平行四边形的判定定理 考点4：平行线的间的距离 考点5：三角形的中位线定理 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 （3）三角形中位线定理的灵活运用 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 （3）遇中点连中位线，转化线段关系或平行关系。 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】 【典例1】如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，在平行四边形中，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】在中，，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 【变式3】已知在中，，，则的周长为（    ） A．11cm B．28cm C．22cm D．44cm 【题型2 根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，的平分线交于E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例3】如图，将放置在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C．若四边形是平行四边形，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形为平行四边形，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离. 性质：平行线之间距离处处相等 【题型4 利用平行线间距离的性质求解】 【典例4】如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【变式1】如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．14 【变式2】如图，，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，如果，，那么点A到直线b的距离为（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式3】如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 知识点3：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 【典例5】如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【变式3】如图，在四边形中，，垂足分别为点E，F，连接，请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 【题型6 平行四边形的判定】 【典例6】已知如图，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】如图，中，E，F分别是边的中点．求证：． 【变式2】如图，点、、、在一条直线上，，，．求证：． 【变式3】已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且． (1)若，求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 【典例7】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【变式2】小区有一块空地要栽树，为了美观想栽成平行四边形的形状．已知其中三棵树的位置如图所示，请根据这三棵树的位置确定出第四棵树的位置，共有几种情况？请在图中画出．    【变式3】在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）： (1)在网格内画出关于y轴对称的图形； (2)平面内有一点D，使得以点A，B，C，D构成平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【题型8 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例8】如图，在平行四边形中，点M，N分别在边上，且，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若已知，，求的度数 【变式1】如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【变式3】如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 知识点4：三角形的中位线定理 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线（一个三角形有3条中位线）。 2.核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 3.推论：三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的​，面积是原三角形的​ 【题型9 与三角形中位线有关的求解问题】 【典例9】如图，点D，E，F分别为三边的中点，若的周长为5，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．5 D．2．5 【变式1】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【变式2】如图，是内一点，连接，，，，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式3】如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 1．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点O是对角线，的交点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，对角线相交于点O，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，则的周长为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则点的坐标为 ． 8.如图，，，为直线上的任意两点，若，则 ． 9．如图，，．求证：四边形是平行四边形． 10．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 11．如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若平分，，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $