第02讲 勾股定理的应用（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦勾股定理的应用这一核心知识点，系统梳理实际测量（高度/距离）、几何折叠（矩形/正方形）、立体图形最短路径等应用类型，作为学习支架承接勾股定理基础内容，引导学生将实际问题与几何问题转化为直角三角形模型解决。 该资料突出建模能力与数学思想培养，通过测旗杆高、梯子滑落等真实案例渗透转化与方程思想，助力学生发展抽象能力和几何直观。课中便于教师分层教学，课后典例变式设计帮助学生强化练习，提升用数学思维解决实际问题的能力。

第02讲 勾股定理的应用 考点1：实际测量问题 考点2:几何折叠问题 考点3：立体图形最短路径问题 重点： （1）建模能力培养：能将实际问题、几何图形问题转化为直角三角形模型，明确勾股定理的适用条件。 （2）定理综合运用：熟练运用勾股定理进行边长计算，掌握勾股定理逆定理的判定方法。 （3）数学思想渗透：理解并运用转化思想（立体→平面、非直角→直角）和方程思想（折叠问题设未知数） 难点： （1）折叠问题的等量关系分析：帮助学生准确识别折叠前后的对应线段，建立未知与已知的联系。 （2）立体图形的展开与路径讨论：让学生理解 “化立体为平面” 的本质，掌握长方体多种展开方式的分类讨论方法。 （3）综合题的辅助线构造：引导学生总结 “作高” 这一转化技巧，突破非直角三角形的解题障碍。 （4）数学思想的落地应用：避免思想流于形式，让学生在实际解题中主动使用转化、方程思想解决问 知识点：勾股定理的应用 应用类型 思路 解题步骤 典型案例 实际测量 （高度/距离） 构直角三角形，用勾股定理算边长 1. 建模标直角 2. 统一单位代入公式 测旗杆高、河宽 几何折叠 （矩形/正方形） 折叠前后线段相等，设未知数列方程 1.找等量线段 2.构直角三角形 3.勾股定理列方程 矩形折叠求线段长 立体最短路径 （圆柱/长方体） 化立体为平面，两点之间线段最短 1. 展开立体表面 2.确定两点构直角三角形 3.计算路径长 蚂蚁爬圆柱/长方体 【题型1 求梯子滑落高度】 【典例1】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【变式1】某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【变式2】一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【变式3】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【题型2 求旗杆高度】 【典例2】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．    问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【变式1】10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【变式3】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【题型3 求小鸟飞行距离】 【典例3】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【变式1】如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【变式2】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【变式3】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【题型4 求大树折断前的高度】 【典例4】如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【变式1】如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远． 【变式2】如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【变式3】如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？    【题型5 解决水杯中筷子问题】 【典例5】我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 【变式1】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【变式2】将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 【变式3】如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【题型6 解决航海问题】 【典例6】如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【变式1】如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 【变式2】如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 【变式3】在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【题型7 求河宽】 【典例7】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【变式1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【变式2】为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得长为10m，长为8m，求出图中、两点之间的距离． 【变式3】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【题型8 求台阶上地毯长度】 【典例8】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式1】如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【变式2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【变式3】某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【题型9 判断汽车是否超速】 【典例9】如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【变式1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【变式2】行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【变式3】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【题型10 判断是否受台风影响】 【典例10】海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【变式1】台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【变式3】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【题型11 选址使到两地距离相等】 【典例11】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【变式1】某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【变式2】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【变式3】如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【题型12 求最短路径】 【典例12】如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【变式2】如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【题型13 折叠问题】 【典例13】如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 1．如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，是竖直线，高度为，的长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 5．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 7．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 8．如图，一架梯子搭在墙上．已知梯子每两根横木之间的距离（包括一根横木的宽在内）以及梯子下端到第一根横木的距离都是，梯子下端A到墙脚B的距离是．求墙高． 9．在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为时，显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，已知电脑显示屏的宽为．（显示屏与底板的厚度忽略不计） (1)求此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度； (2)小亮将张角调整为（是点的对应点），此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，当张角从调整为时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？ 10．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度． (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 勾股定理的应用 考点1：实际测量问题 考点2:几何折叠问题 考点3：立体图形最短路径问题 重点： （1）建模能力培养：能将实际问题、几何图形问题转化为直角三角形模型，明确勾股定理的适用条件。 （2）定理综合运用：熟练运用勾股定理进行边长计算，掌握勾股定理逆定理的判定方法。 （3）数学思想渗透：理解并运用转化思想（立体→平面、非直角→直角）和方程思想（折叠问题设未知数） 难点： （1）折叠问题的等量关系分析：帮助学生准确识别折叠前后的对应线段，建立未知与已知的联系。 （2）立体图形的展开与路径讨论：让学生理解 “化立体为平面” 的本质，掌握长方体多种展开方式的分类讨论方法。 （3）综合题的辅助线构造：引导学生总结 “作高” 这一转化技巧，突破非直角三角形的解题障碍。 （4）数学思想的落地应用：避免思想流于形式，让学生在实际解题中主动使用转化、方程思想解决问 知识点：勾股定理的应用 应用类型 思路 解题步骤 典型案例 实际测量 （高度/距离） 构直角三角形，用勾股定理算边长 1. 建模标直角 2. 统一单位代入公式 测旗杆高、河宽 几何折叠 （矩形/正方形） 折叠前后线段相等，设未知数列方程 1.找等量线段 2.构直角三角形 3.勾股定理列方程 矩形折叠求线段长 立体最短路径 （圆柱/长方体） 化立体为平面，两点之间线段最短 1. 展开立体表面 2.确定两点构直角三角形 3.计算路径长 蚂蚁爬圆柱/长方体 【题型1 求梯子滑落高度】 【典例1】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【变式1】某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，，运用勾股定理列式计算，得，此时，即可作答． （2）先运算，再根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 在中，， 即， 解得． ∴， 答：绳子的总长度为； （2）解：根据题意，得，，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴ 答：滑块向左滑动的距离为． 【变式2】一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设梯子顶端到地面的高度为米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； （）设底端将水平滑动米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米， 由勾股定理得，， 解得， 答：梯子顶端到地面的高度为米； （2）解：设底端将水平滑动米， 由题意得，， 解得， 答：底端将水平滑动米． 【变式3】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 在中，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【题型2 求旗杆高度】 【典例2】数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米．    问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米；（2）他应该再放出8米线 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，运用勾股定理得出米，再把数值代入，即可作答． （2）先整理得出（米），再把数值代入，求出（米），故（米），即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， （米）， （米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 【变式1】10月日五华风筝节在长乐游泳中心举行，曾彬同学买了一个风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)能成功，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）过点A作于点E，在中，由勾股定理得出的长可推出结果； （2）假设能上升，如图，延长至点F，使，连接，根据勾股定理求出的长，可推出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， 则， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：能成功，理由如下： 假设能上升， 如图，延长至点F，使，连接， ， 在中，， ，余线剩， ， 能成功上升． 【变式2】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】绳索的长为 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 设，则， 在中，，，，， 由勾股定理得， 即， 解得， 故绳索的长为． 【变式3】如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）． (1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度； (2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题． （1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度； （2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度． 【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为， 解得：，即． 答：旗绳的长度为． （2）由题意可知： 过点D作，垂足为F， 则， 答：标杆与旗杆的水平距离为． 【题型3 求小鸟飞行距离】 【典例3】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 【变式1】如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键． 【变式2】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【变式3】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 【题型4 求大树折断前的高度】 【典例4】如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 【变式1】如图，一棵高为的大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端刚好落在地上，求此处离树底部多远． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理计算边长． 先确定折断后形成的直角三角形的直角边（树高残留部分）和斜边（折断部分长度），再用勾股定理求出另一条直角边（树顶端到树底部的距离）． 【详解】解：由题意，树高，离地面处折断， 则折断部分长度为， 设树顶端到树底部的距离为， 树残留部分与地面垂直， 由勾股定理得：， 即， （舍去负根）． 答：此处离树底部远． 【变式2】如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 【变式3】如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？    【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设为米，且存在， 即，， 在直角中，为斜边， 则， 即 解得， 米， 米米米， 答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 【题型5 解决水杯中筷子问题】 【典例5】我国古代数学著作《九章算术》中记载着名为“池葭（jiā）出水”的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺．将芦苇拽至池边中点处，它的末端刚好与水面相齐，那么水有多深？芦苇有多长？求解此题．（注：“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用．1丈尺，1米尺） 【答案】水池深12尺，芦苇长13尺 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；找到题中的直角三角形，设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理可得，进而求解即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，由题意得： ， 解得：， ∴芦苇的长度为（尺）， 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 【变式1】“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得， 解得，即． 【变式2】将一根长是的细木棒置于内部底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设细木棒露在杯子外的部分的长为，请探究h的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解∵，， ∴， 当点E与A重合时，最短为：， 当点E与B重合时，最长为：， ∴h的取值范围是：． 【变式3】如图，一个直径为（即）的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，求筷子的长度．    【答案】 【分析】设杯子的高度是，则筷子的高度为，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设杯子的高度是，则筷子的高度为，    ∵杯子的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得， ∴筷子． 答：筷子的长度为． 【题型6 解决航海问题】 【典例6】如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． 【变式1】如图，一艘轮船以16海里时的速度离开港口A向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里时的速度离开港口A向西南方向航行．那么，它们离开港口后，相距多远？ 【答案】30海里 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：连接， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， ∴， （海里）． 答：两船后相距30海里． 【变式2】如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置． (1)求的长： (2)求船向岸边移动了多少米？ 【答案】(1)10米 (2)船向岸边移动了米 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，正确计算是解题的关键． （1）用绳子的长减去收起的绳长即可求解； （2）先根据勾股定理求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：此人以米/秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置， （米）， （2）解：在中，，米，米，由勾股定理得， （米）， 在中，米，米，由勾股定理得， （米）， 米. 答：船向岸边移动了米． 【变式3】在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)2.5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要2.5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【题型7 求河宽】 【典例7】学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 【变式1】如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多．求该河的宽度的长． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设米，则米，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：设米，则米， 在中，，， 即， 解得：， 即米， 答．该河的宽度为75米． 【变式2】为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B=90°），如图所示，通过测量得长为10m，长为8m，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： 由于线段长度为正数，得： 故A、B两点之间的距离是． 【变式3】小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 【题型8 求台阶上地毯长度】 【典例8】某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 【变式1】如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 【变式2】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为100元，则购买地毯需花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用. 先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费（元）， 故答案为：． 【变式3】某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【题型9 判断汽车是否超速】 【典例9】如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 【变式1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【变式2】行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 【变式3】如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 【题型10 判断是否受台风影响】 【典例10】海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得， ， ， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得， ， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 【变式1】台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 【答案】农场会受到台风的影响，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求点到直线的距离是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再通过三角形面积公式求出到的距离，最后比较与台风影响半径的大小，判断农场是否受影响． 【详解】解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 【变式2】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作于点D，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作于点D，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港C受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图， 时，正好影响海港C， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为7小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度20千米/小时． 【变式3】2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 【题型11 选址使到两地距离相等】 【典例11】如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 【变式1】某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 【变式2】如图所示，铁路上有A、B两点（看作直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？ 【答案】煤栈应建在距A点16千米处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关系，再解方程得到答案． 设煤栈的位置为点E，千米，则（千米），分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可． 【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接， 设千米，则（千米）， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米， ∴煤栈应建在距A点16千米处． 【变式3】如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】(1)E站应建在离A点处 (2)2小时 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； （2）解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 【题型12 求最短路径】 【典例12】如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆柱的展开图、勾股定理和最短距离，将圆柱的侧面展开为矩形是解题的关键． 首先将圆柱的侧面展开，得到矩形，根据已知条件即可得到矩形的长和宽，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，得到矩形， ∵圆柱的底面周长是，高是， ∴，， 在中，， ∴这条彩带的最小长度是， 故选：C． 【变式1】如图，一个棱长为的正方体盒子上，一只蚂蚁在的中点处，它到的中点的最短路线是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化立体为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 分两种情形展开，利用勾股定理解决问题即可． 【详解】解：①沿展开，如图所示， 在中，，，， ∴； ②沿展开，如图所示： 在中，，，， ∴， ∵， ∴最短路线长是， 故选：D． 【变式2】如图，一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握圆柱的侧面展开图是矩形是解题的关键．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的顶点A到边的中点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】如图，过B作于点C，连接， ，， ， 故选：D． 【变式3】如图是一个无盖四棱柱的模型，底面正方形的边长为，高为．若一只蚂蚁从该棱柱底面的顶点处，经棱柱侧面爬行到上底面的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握将立体路径转化为平面线段并运用勾股定理比较长度是解题的关键． 将四棱柱侧面展开，分两种情况得到平面图形，利用勾股定理分别计算路径长度，再比较得出最短距离． 【详解】如图，展开侧面后， 在中，，，． ∴此时距离．    如图2，展开侧面后，    在中，，，． ∴． ∵， ∴最短距离为． 故选：． 【题型13 折叠问题】 【典例13】如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 【变式1】如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 【变式2】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故选：C． 【变式3】如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得：， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 1．如图，一旗杆在离地面处折断，旗杆顶部距底部，求旗杆原有多长（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据实际情况找出直角三角形是解题关键． 利用勾股定理求得的长，从而求得旗杆折断前的高度． 【详解】解：如图，根据题意，得：在中，，，， 在中，， ， ． 旗杆原有长． 故选：D． 2．某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，是竖直线，高度为，的长是，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，理解在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方是解答关键． 根据题意得到两条直角边的长度，用勾股定理求解． 【详解】解：由题意得，， ． 故选：A． 3．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，构造直角三角形ABC ∵两棵树的高度差为AC=（米），间距为AB=米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC（米）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 4．如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 5．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 6．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出垂直高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， （负值已舍去）， （米）． 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， （米）． 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）． 他应该往回收线米． 7．如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 8．如图，一架梯子搭在墙上．已知梯子每两根横木之间的距离（包括一根横木的宽在内）以及梯子下端到第一根横木的距离都是，梯子下端A到墙脚B的距离是．求墙高． 【答案】墙高 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．转化为直角三角形求边长问题，理解题意并求出三角形的边长，并利用勾股定理求墙高所对应的边长即可． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， 答：墙高． 9．在探究笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系时，小亮进行了如下实践：如图，将笔记本电脑平放在水平桌面上，当张角（显示屏与底板的夹角）为时，显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，已知电脑显示屏的宽为．（显示屏与底板的厚度忽略不计） (1)求此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度； (2)小亮将张角调整为（是点的对应点），此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为，底板边缘点和点之间的距离为，当张角从调整为时，电脑显示屏的顶部边缘上升了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）在，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴， 答：此时显示屏的顶部边缘点离桌面的高度为； （2）解：由题意得，在中，， ∴， ， 答：电脑显示屏的顶部边缘上升了． 10．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据： ①测得的长度为8米：（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的松松身高1.6米． (1)求风筝的高度． (2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论∶ 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）如图：由题意得，米，∴米， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴他应该往回收线7米． 学科网（北京）股份有限公司 $