第01讲 勾股定理（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版新教材）

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，从概念与验证（面积法推导）到基础计算（已知两边求第三边），再到构造图形解决实际问题，构建“概念理解-技能应用-综合建模”的学习支架，衔接直角三角形性质与后续几何综合应用。 资料特色在于融合历史证法与实际情境，赵爽弦图验证培养几何直观和创新意识，货车通行、云梯高度等题型发展模型意识和推理能力。典例与变式题梯度设计，课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

第01讲 勾股定理 考点1：勾股定理的概念与验证 考点2:勾股定理的基础计算 考点3：用勾股定理构造图形解决问题 重点： （1）勾股定理的理解与应用：掌握定理内容，能熟练运用定理进行直角三角形的边长计算。 （2）勾股定理的实际应用建模：能将实际问题转化为直角三角形模型。 难点： （1）勾股定理的验证过程：理解用面积法（割补法）推导定理的逻辑，体会 “数形结合” 思想。 （2）勾股定理与其他几何知识的综合应用：学会作辅助线构造直角三角形，整合等腰三角形、四边形等知识解题 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1 用勾股定理解三角形】 【典例1】如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的基本应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，直接计算即可． 【详解】解：∵ 两直角边长分别为1和2， ∴ 第三边（斜边）长． 故选：C． 【变式2】如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可进行解答． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理可得：， 则， 故选：C． 【变式3】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是认清直角边与斜边． 先根据勾股定理求出米，再起重臂顶端A离地面的高度即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 【题型2 勾股数问题】 【典例2】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 【详解】解：A选项：，而，，不满足勾股数条件； B选项：，而，，不满足勾股数条件； C选项：，而，，满足勾股数条件； D选项：，而，，不满足勾股数条件； 故选：C. 【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 【变式2】右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及勾股数，根据勾股定理依次判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； B、，不属于勾股数，不符合题意； C、，属于勾股数，符合题意； D、不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； 故选：C． 【变式3】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 ． 【答案】13，84，85 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例3】如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键． 首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c， ∴在直角三角形中，， ∴， ∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C， ∴，， ∴A，B两个正方形的面积之和为49， 故选：C． 【变式1】如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（   ） A．514 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理． 根据正方形的面积并结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设直角三角形的三边长分别为a，b，c， 由题意得， ∴， ∴字母A所代表的正方形的面积为． 故选：D． 【变式2】如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，， ∴（负值舍去）， 故选：D ． 【变式3】如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：正方形的面积, 正方形的面积， ∵， ∴ 故选：B 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 图（3）中，所以. 【题型4 勾股定理的证明方法】 【典例4】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其证明方法，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）根据最外面的大正方形的边长为c，且大正方形的边长等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积进行证明即可； （2）根据勾股定理可求出a的值，进而可求出中间小正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵最外面的大正方形的边长为c， ∴最外面的大正方形的面积为； ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为； 又∵最外面的大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积加上中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴或（舍去）， ∴中间小正方形的面积为． 【变式1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据梯形与三角形的面积公式即可得到结论； 【详解】解：因为梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 所以， 所以． 【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【变式3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． (1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______； (2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，，记，，，求证（1）中的定理结论． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解； （2）由四边形的面积两种计算方式列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积，大正方形的面积也可以表示为， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， ∴． 【题型5 以弦图为背景的计算题】 【典例5】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 【变式1】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 【变式2】将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了求阴影部分的面积，如图可知，正方形的面积减去四个直角三角形的面积等于阴影部分的面积． 【详解】解：， 故选：C． 【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：B． 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】 【典例6】某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出的长，进而求出的长，即可得出答案，根据题意求出的长是解题关键． 【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下： 如图，设与矩形的宽的交点为E，   ， ， ∴， ∴这辆货车不能通过这个大门． 【变式1】如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 【答案】17米 【分析】本题考查利用勾股定理解实际问题，读懂题意，得到图形中的相关线段长，在中，由勾股定理求出，数形结合，由代值求解即可得到答案，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，结合题意，米，米，米， 在中，，则由勾股定理可得（米）， （米）． 【变式2】有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度，将秋千往前水平推送（水平距离）时，踏板离地面的垂直高度为（）．求绳索的长度． 【答案】绳索的长度是 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得． 设，则． 在中，可得． 解得． ∴绳索的长度是． 【变式3】如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即米，），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达点B处，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度． 【答案】50米/秒 【分析】解直角三角形求出，再根据速度=路程时间求解． 【详解】解：在中，米， ∴米， 在中，， 米， 米， ∴运动速度=米/秒, 这列动车的平均速度50米/秒． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，路程,速度，时间的关系等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型7 勾股定理与无理数】 【典例7】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出的长． 先利用勾股定理求出的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵点A表示的数为， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 【变式2】如图，在数轴上点P表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．根据勾股定理与无理数的关系，进行计算即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 点P表示的实数是． 故答案为：． 【变式3】如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，利用勾股定理直接计算斜边长． 【详解】解：∵ 直角三角形两直角边分别为3和4， ∴ 斜边长c满足 ， ∴． 故选：B． 2．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足，且a，b，c是正整数，则a，b，c叫做勾股数”是解题的关键． 根据勾股数是满足 的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：A． ∵ 和 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． B． ∵ 0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． C． ∵ ， ，， ∴ 不满足 ． D． ∵ ， ， ∴ ， 且均为正整数，符合定义． 故选：D． 3． 在中，，，若，则的长为（   ） A．8 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、含30度角的直角三角形的性质． 根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中，，，， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 4．如图，字母所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由题意得，，然后根据勾股定理求出即可得到答案，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，， 由题意得，，， ∴， ∴所代表的正方形的面积是， 故选：． 5．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知米，米，， ∴（米）， 故选：B． 6．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，推出即可推出结果． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B， ∴， ∴点B表示的实数是， 故选：D． 7．如图，正方形的边长为，点是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质得出，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在中，． 故答案为：． 8．如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出正方形B的面积即可． 【详解】解：如图： 这些四边形都是正方形 、、 、 因此，正方形B的面积是7， 故答案为：7． 9．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积．过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 10．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 11．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作垂线，勾股定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接利用过直线外一点作已知直线的垂线的作法即可解答； （2）先结合勾股定理算出的长，再运用等面积法，得，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：∵，， ∴， ∴ 由（1）得， ∴， 则 ∴． 12．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为的绿化带（两条车道各占用．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能否通过该隧道？说明理由． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．利用勾股定理求得，利用车宽求此时隧道壁离地面的高度，与车高比较即可． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴能通过． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 勾股定理 考点1：勾股定理的概念与验证 考点2:勾股定理的基础计算 考点3：用勾股定理构造图形解决问题 重点： （1）勾股定理的理解与应用：掌握定理内容，能熟练运用定理进行直角三角形的边长计算。 （2）勾股定理的实际应用建模：能将实际问题转化为直角三角形模型。 难点： （1）勾股定理的验证过程：理解用面积法（割补法）推导定理的逻辑，体会 “数形结合” 思想。 （2）勾股定理与其他几何知识的综合应用：学会作辅助线构造直角三角形，整合等腰三角形、四边形等知识解题 知识点1：勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 【题型1 用勾股定理解三角形】 【典例1】如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为1和2，则第三边长是（    ） A．3 B． C． D．1 【变式2】如图，货车卸货时支架侧面是，其中，已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型2 勾股数问题】 【典例2】下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．6，8，10 B．5，12，11 C．7，8，9 D．2，3，5 【变式2】右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【变式3】清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 ． 【题型3 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例3】如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，中间的三角形为直角三角形，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（   ） A．514 B．8 C．16 D．64 【变式2】如图，在 中，，分别以 为边向外作正方形，若其中两个正方形的面积分别为 ，则 的长为（     ） A．625 B．175 C．600 D．25 【变式3】如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 知识点2：勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 图（3）中，所以. 【题型4 勾股定理的证明方法】 【典例4】勾股定理在我国有着悠久的历史．汉末三国初数学家、天文学家赵爽给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦．”其设计图是由四个完全相同的直角三角形(两条直角边长分别为，，且，斜边为)拼成一个边长为的正方形(如图)，直观地论证了勾股定理，该图被后人称为“赵爽弦图”． (1)请你借助“赵爽弦图”验证勾股定理． (2)若，，求中间小正方形(阴影部分)的面积． 【变式1】历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的梯形，其中是边上的点．请你利用等面积法验证勾股定理． 【变式2】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【变式3】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． (1)由图2正方形面积的等量关系可列式：______，化简得直角三角形中的勾股定理，该定理的结论用字母表示：______； (2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，，记，，，求证（1）中的定理结论． 【题型5 以弦图为背景的计算题】 【典例5】公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式1】如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【变式2】将四个图1中的直角三角形拼成图2中的弦图，若，，则图2中阴影部分的面积为（   ）    A．11 B．12 C．9 D．10 【变式3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，则正方形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【题型6 用勾股定理构造图形解决问题】 【典例6】某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 【变式1】如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长17米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多少米？ 【变式2】有一秋千的示意图如图所示．静止时秋千的踏板离地面的垂直高度，将秋千往前水平推送（水平距离）时，踏板离地面的垂直高度为（）．求绳索的长度． 【变式3】如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处（即米，），当动车车头在点A处时，14秒后，动车车头由A处到达点B处，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度． 【题型7 勾股定理与无理数】 【典例7】如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【变式1】如图，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ． 【变式2】如图，在数轴上点P表示的实数是 ． 【变式3】如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 1．直角三角形两个直角边分别为3和4，则斜边长为（    ） A． B．5 C．7 D．8 2．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 3． 在中，，，若，则的长为（   ） A．8 B．12 C． D． 4．如图，字母所代表的正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 6．如图，点A到数轴的距离为1，以O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点B，则点B表示的实数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为，点是的中点，连接，则的长为 ． 8．如图，若正方形A，C的面积分别为16和9，则正方形B的面积是 ． 9．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为 ． 10．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 11．如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求和的长． 12．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．该隧道内设双向行驶的车道（共有2条车道），且中间有一条宽为的绿化带（两条车道各占用．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能否通过该隧道？说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $