由三角函数的性质求参数问题、三角函数的实际应用问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

由三角函数的性质求参数问题、三角函数的实际应用问题专项训练 由三角函数的性质求参数问题、三角函数的实际应用问题专项训练 考点目录 由三角函数的性质求参数问题 三角函数的实际应用问题 考点一 由三角函数的性质求参数问题 例1．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 例2．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河南南阳·期末）若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 例5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数的图象关于点对称，则的值为 . 例6．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，则的取值范围是 . 例7．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数（，）. (1)若函数为偶函数，求的值; (2)若在上单调，求的取值范围;（结果用表示） (3)若，且在上单调，求的取值范围. 例8．（25-26高一上·山西太原·月考）已知． (1)求的对称轴方程及单调递增区间； (2)若方程在上有解，求实数m的取值范围． 变式1．（25-26高三上·山东淄博·期末）若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 变式2．（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式3．（25-26高三上·山东滨州·期末）将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象．当函数为奇函数时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数满足，则的最小值为 . 变式5．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 变式6．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 变式7．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 变式8．（25-26高一上·青海海东·期末）已知函数. (1)求在上的值域； (2)若，，（且），求a的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，求的取值范围. 考点二 三角函数的实际应用问题 例1．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. (1)如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； (2)画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 例2．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ 例3．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 例4．（25-26高一上·山东青岛·月考）2024年3月16日上午，扬州市“跟着赛事去旅行”消费体验季暨2024大运河城市网球公开赛启动仪式在宋夹城体育休闲公园举行，其中宋夹城体育休闲公园所在地——扬州大运河文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数x表示月份且，例如表示1月份．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 变式1．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，求的值．    变式2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 变式3．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 变式4．（24-25高二下·江苏南通·月考）如东大润发超市因宣传需要，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.福佑崇文阁赵老师在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，（为方便起见，本题中将人视为点，不考虑人的身高） (1)设的长为米，用表示； (2)若赵老师在点时，观测到视角的正切值为，求扶梯的长； (3)在（2）的条件下，当赵老师在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $由三角函数的性质求参数问题、三角函数的实际应用问题专项训练 由三角函数的性质求参数问题、三角函数的实际应用问题专项训练 考点目录 由三角函数的性质求参数问题 三角函数的实际应用问题 考点一 由三角函数的性质求参数问题 例1．（2025·湖南永州·模拟预测）若为偶函数，则（    ） A． B． C．0或 D． 【答案】A 【详解】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 故选：A 例2．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于函数的对称轴为直线， 令，解得， 因为，取，可得，则的最小值为. 故选：A． 例3．（25-26高三上·河南南阳·期末）若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，，，， 所以，，，所以的最小值为. 故选：D 例4．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以, 由函数零点等价于函数的零点， 再结合正弦函数在区间上恰有3个零点， 则，解得， 故答案为： 例5．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数的图象关于点对称，则的值为 . 【答案】 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：. 例6．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】，，， ，在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点， ，，. 故答案为：. 例7．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）已知函数（，）. (1)若函数为偶函数，求的值; (2)若在上单调，求的取值范围;（结果用表示） (3)若，且在上单调，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）若函数为偶函数且，则或，即. （2）若在上单调，则，故实数的取值范围为. （3）若，则. 当时，， 因为在上单调， 所以是函数的单调区间的子集. 又，所以区间包含0，故该区间必为单调区间的子集， 所以，解得，又，故. 例8．（25-26高一上·山西太原·月考）已知． (1)求的对称轴方程及单调递增区间； (2)若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由题设， 令，得， 所以函数对称轴方程为； 由，则单调增区间为的单调减区间， 令，则， 所以的单调增区间为； （2）方程在上有解，等价于与的图象有交点． 由，则，即， 所以，故m的取值范围为． 变式1．（25-26高三上·山东淄博·期末）若函数的图象向右平移个单位长度后关于点对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移得到， 将点代入得， 所以，解得，又， 所以， 故选：B. 变式2．（25-26高三上·北京昌平·期末）设函数（）.若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由，可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即， 的最小值为． 故选：B． 变式3．（25-26高三上·山东滨州·期末）将函数的图象向左平移（）个单位，得到函数的图象．当函数为奇函数时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 因为函数为奇函数， 所以，所以， 由于，所以的最小值为. 故选：B. 变式4．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，可知为的对称中心， 则，可得， 解得， 且，可知：当时，取到最小值. 故答案为： 变式5．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 因为，所以 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·陕西·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 故答案为：2 变式7．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. （3）当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 变式8．（25-26高一上·青海海东·期末）已知函数. (1)求在上的值域； (2)若，，（且），求a的取值范围； (3)先将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【详解】（1）， 当 时，，， 故 ，即 在 上的值域为 . （2）因为，，， 所以 在 有解，即 在 有解. 当 时，只需即可，解得 . 当 时，，需 ，此时无解. 综上，. （3）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的4倍得函数的图象，再将所得图象向左平移 个单位得函数 的图象， 当 时，. 要使 有最大值无最小值，需区间包含 且不包含 ，即. 解得 且 ，结合 ，得 . 考点二 三角函数的实际应用问题 例1．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）随着季节的交替，某城市的太阳高度角（太阳的光线与地平面的夹角）不断变化，冬至正午时太阳高度角最小，约为35°.如图1，朝南房间窗户高2m，在窗户上方外墙上安装了一个可调节的遮阳棚，遮阳棚一端与窗户顶端距离m，长度调节范围为mm，角度调节范围为. (1)如图2，冬至正午时，若m，，求窗户上的影长（精确到0.01m）； (2)画出图形，计算并判断冬至正午时遮阳棚能否完全遮住窗户上的阳光. （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)不能，图形，计算过程见解析； 【详解】（1）如图，因为冬至正午时太阳高度角最小，约为35°所以， 因为m，， 所以，即 又因为， 所以（m） 所以窗户上的影长为米. （2）解：如图，过点作，垂足为，设太阳光线与窗户交于点， 记，则，由题知， 所以，在中，，即， 在中，，即， 所以，其中， 因为，mm， 所以 所以冬至正午时遮阳棚不能完全遮住窗户上的阳光 例2．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为. (1)在筒车转动的一周内，求点距离水面高度关于时间的函数解析式； (2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？ 【答案】(1)，. (2)100 【详解】（1）由图可知，的最大值为，的最小值为， 则， 因为筒车按逆时针每分钟转2圈，故，所以， 所以， 当时，，所以，则， 因为，所以 所以，. （2）由（1）得， 令，则，得， 则， 解得， 5分钟=300秒，则令，，得， 故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒. 例3．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】(1)； (2)4分钟． 【详解】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 例4．（25-26高一上·山东青岛·月考）2024年3月16日上午，扬州市“跟着赛事去旅行”消费体验季暨2024大运河城市网球公开赛启动仪式在宋夹城体育休闲公园举行，其中宋夹城体育休闲公园所在地——扬州大运河文化旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画，其中正整数x表示月份且，例如表示1月份．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同； ②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式． (2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)7，8，9月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【详解】（1）由②可知，解得． 由②可得，则，又，所以解得． 所以，， 即，解得．所以，且． （2）令，则， 则，即． 因为，所以，又，所以， 所以一年中的7，8，9月是该地区的旅游旺季． 变式1．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图，是半径为1，的扇形，是弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，记，，当时，四边形的面积取得最大值，求的值．    【答案】 【详解】在直角中，，，在直角中，， 因为，且，所以，所以， 所以， 其中，， 所以当，即时，最大，即， 所以， 即，可得，所以. 变式2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 变式3．（24-25高一下·北京·期中）如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米．    (1)当时： ①直接写出关于的函数表达式； ②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； (2)若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或. (2). 【详解】（1）①由题意得， ②由题意，， 即，化简得， 则或， 解得或 又由于，所以或. （2）由（1）得，， 由题意得，当时，恒成立， 即，化简得， 故，解得， 所以，即，解得 由于，则，因此. 变式4．（24-25高二下·江苏南通·月考）如东大润发超市因宣传需要，在自动扶梯（米）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌.如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度.福佑崇文阁赵老师在扶梯上点处（异于点）观察广告牌的视角，（为方便起见，本题中将人视为点，不考虑人的身高） (1)设的长为米，用表示； (2)若赵老师在点时，观测到视角的正切值为，求扶梯的长； (3)在（2）的条件下，当赵老师在扶梯上观察广告牌的视角最大时，求的长. 【答案】(1) (2)10米 (3)米 【详解】（1） 因为在直角三角形中，，，， 所以， 因为，点是的中点， 从而， 所以. （2）由（1）有，其中， 而在直角三角形中，， 又因为，， 所以， 即，解得或， 又，所以，（若，则，矛盾）， 所以扶梯的长度为10米. （3）作于点，如图所示， 则， 设，则，， 由（2）可知， ，， 当取最大值时，即取最大值， ， 当且仅当，即时，等号成立，所以此时米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $