数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学数列通项公式复习讲义通过表格系统梳理六种高频考法，涵盖公式法、Sn与an关系、累加法等，明确每种方法的适用条件、核心步骤及注意事项，构建“方法原理-典型例题-变式训练”的递进知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题选自河北、福建等地月考及模拟题，如构造法通过构造等比数列转化递推关系，培养数学思维与推理能力。变式题从基础应用到综合探究，帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习与能力进阶。

数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法一 公式法 1. 已知数列{an}为等差数列，公差为d. (1)通项公式：an=a,+n-1d=am+(n-md. (2)前n项和：Sn=na1 +un-1d=mata) 2 2 2.已知数列a}为等比数列，公比为q. (1)通项公式：an=aq”-=amg”-m. a1-q (2)前n项和：Sn= 1-9 2,9≠1 na1,9=1 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 例1.(25-26高二上河北月考)在等差数列{an}中，a=5,a,=-3,则数列(an}的通项公式为() A.a =2n-1 B.a =17-4n C.a,=18-3n D.an=11-2n 例2.(2026河北沧州一模)在等比数列an}中，若a1+a2+a,=-21,a,a2a=-216,且a1>a3,则{an}的通项公式 为() A.a=-3-21 B.a=-129ca=-18目D.a=-249 变式1.(24-25高二上福建龙岩期末)设{a}是等差数列，且a,=2,a,+a,=5V2,则{a,}的通项公式为() A.a,=vn+1 B.a=v2n C.a=v2n D.a,=vn2+1 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法二 利用Sn与an的关系求数列通项公式 1.因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an① Sn-1=a1+a2+a3+.+a-1(n≥2)② 所以Sn-Sn-1=aa（n≥2）. 2.注意事项 (1)Sn+1-Sn=an+1; (2)因为当n≥2时，Sm才有意义，所以需检验通项公式当n=1时是否成立.若不成立，需写成分段数列的 形式； (3)不一定每次Sn-Sm都能得到{an}的具体表达式，有可能需要进一步化简； (4)若题目求Sn或Sn出现二项式，需要将题目所给条件中的am反向化为Sn-S1,对Sn进行探索； ()若已知a1·fI)+a2·f(2)+a3·f(3)+.+am·f(n)=g(n), 则a1·f)+a2·f(2)+a3f(3)+.+am-1·f(n-1)=g(n-1) 相减可得an·f(n)=g(n)-gn-1),化简得an的表达式. AAAAA 例1.(25-26高二上海南省直辖县级单位月考)己知数列an}的前项和为S。=3n2+4n+2,求{an}的通项公式 2 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 例2.(25-26高二上河北邢台·月考)己知数列bn}的前n项和Sn=2”-1,数列{an}是等差数列，满足a,=b, as +1=bs (1)求数列{an},{bn}的通项公式： (②)设c,=a,+ 二，数列cn}的前n项和为T,求证Tn<4 变式1.(25-26高二上·福建福州月考)已知正项数列an}的前项和为Sn,且4S。=a+2a,+1; (1)求a1,a2和4的值； (2)求证数列{an}是等差数列，并求出数列(an}的通项公式 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 变式2.(2025·湖北模拟预测)已知等差数列{a}的前n项和为Sn,且S2=4,S4=16;数列{b}满足 2"b+2m-b,+…+2b,=(n+1)2m1-2,n∈N (I)求数列{a,}和bn}的通项公式； (2)cn=abn,求数列cn}的前n项和Tn; (3)将数列(-1)an}和数列{b}各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{dn},其中重复的数按照出现的个数重 复排列，求{dn}的前106项和 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法三 累加法求数列通项公式 1.若已知an-an-1=f(n 则an=a1+(a2-a)+(a3-a2）+(a4-a3)++(an-an-)=a+f（2)+f3)+f(4)++f(n, 对f(2)+f3)+f(4)+.+f(n进行求和得an的表达式. 2.若已知an+1-an=f(n) 则an=a1+(a2-a)+(a3-a2)+(a4-a3)+.+(an-an-)=a1+f(1+f（2+f(3)+…+f(n-1, 对f1+f(2)+f(3)+.+f(n-1)进行求和得a,的表达式. ※∫（可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列 例1.(25-26高二上黑龙江佳木斯期末)己知数列an}满足a1=an+3n-2(n∈N),且a,=1 (1)求a2,a3 (2)求数列{a}的通项公式 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 例2.(25-26高二上福建厦门月考)已知等差数列{an}满足02+a1o=12,ag=8,数列(bn}满足b,=1,b1=2+b, (1)求数列{an}和bn}的通项公式： ②设c一品·数列c的前项和为5 变式1.(25-26高二上浙江温州月考)设数列an}满足a1=1,a2=2,an+2=4an+1-3an+6n-3. (I)证明：数列{a1-an+3n为等比数列： (2)求数列{an}的通项公式. 6 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 变式2.(25-26高二上河南南阳月考)己知数列{an}满足a1=1,当n≥2时，an-an-1=2n-1 (I)求{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{ }的前顺和，证明：S<2.(参考结论：当m≥4时，≤2） 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法四 累乘法求数列通项公式 1.若已知0L=fm an-1 则a,=4×马×gx8×…×a=4×f2×f3到×f4×xfml. a az a3 an- 2.若已知=f(n) an 则a,=a×2xg××x=a,×f×f2到×f3到×…xfn-l, 41a2a3 an-1 无论是=f川或山=fm,均需注意最后求和的项数 an- a, Awwwwwwwww 例1.(2026吉林长春一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，若S2=6,S6=42,且数列 为等差数列 n (1)求数列{an}的通项公式： 2若数列b,}的首项为2，且=8，求数列b,}的前项和工 b。an+2 8 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 例2.(25-26高二上·天津武清·月考)求下列数列的通项公式 (1)已知数列an}满足a=1,an+1=an+2n-1n∈N),求an; ,,1 (2)正项数列an}满足a1=1,a1=31+二an,求a· n 变式1.(25-26高二上重庆荣昌月考)(1)若数列{an}的前n项和S。=n2+n+1,求数列{an}的通项公式. ②在数列0，中，已知a,口=，求数列口的通项公 9 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 变式2.(25-26高二上…湖南株洲月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若4S,=(2n-)a+1,且a1=1. (I)求证：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式； ②)设6，=1 a,√⑤，数列b}的前项和为，求证：工<之 10数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法一 公式法 1. 已知数列{an}为等差数列，公差为d. (1)通项公式：an=a,+n-1d=am+(n-md. (2)前n项和：Sn=n·41+ n-1dmata) 2 2 2.已知数列an}为等比数列，公比为g. (1)通项公式：an=ag”-=amg”-m. a1- (2)前n项和：Sn= 1-q 2,9≠1 na1,9=1 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 例1.(25-26高二上河北月考)在等差数列{an}中，a=5,a,=-3,则数列(an}的通项公式为() A.a,=2n-1 B.a =17-4n C.an=18-3n D.an=11-2n 【答案】D 【详解】设等差数列{an}的公差为d. 因为a=5,a7=-3,所以4d=a1-a3=-3-5=-8,解得d=-2. 所以a1=a3-2d=5-2×(-2)=9, 所以an=a,+(n-1)d=9+(n-1)×(-2)=11-2n. 故选：D 例2.(2026河北沧州一模)在等比数列{an}中，若a,+a2+a=-21,aa2a=-216,且a,>a,则{an}的通项公式 为() A.a=-321 B=-2”c=-1s”Da=-24 【答案】A 【详解】设等比数列{an}的公比为9，由a,a2a=-216可得a=-216,解得a2=-6, 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 说4日4 因为4，+0，+4，=-21，所以6-6-69=-21，解得9=)或9=2 0 当g=}时，4=-12,4，=3,4>4，不成立，故g=}不满足题意，故舍去 当9=2时，a1=-3,a3=-12,满足a1>a,故q=2满足题意. 所以an=a29"-2=-6×2”-2=-3×2-1. 故选：A 变式1.(24-25高二上福建龙岩期末)设{a,}是等差数列，且a,=V2,a,+a,=52,则{a}的通项公式为() A.a,=n+1 B.a =v2n C.a =v2n D.a=Vn2+1 【答案】B 【详解】设等差数列{an}的公差为d,因为a,=√2，a2+a,=5V2, 所以a,+d+a,+2d=5V2,解得d=√2， 则an=a,+(n-1)d=V2+(n-1)x√2=√2n 故选：B 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法二 利用Sn与an的关系求数列通项公式 1.因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an① Sn-1=a1+a2+a3+…+am-1(n≥2)② 所以Sn-Sn1=an（n≥2）. 2.注意事项 (1)Sn+1-Sn=an+1氵 (2)因为当n≥2时，Sm才有意义，所以需检验通项公式当n=1时是否成立.若不成立，需写成分段数列的 形式； (3)不一定每次Sn-Sn都能得到{a}的具体表达式，有可能需要进一步化简； (4)若题目求Sn或Sn出现二项式，需要将题目所给条件中的an反向化为Sn-S-1,对Sn进行探索； (5)若已知a1·(I)+a2·f(2)+a3·f(3)+…+an·f(n)=g(n), 则a1·f)+a2·f(2)+a3·f(3)+.+an-1·f(n-1)=g(n-1, 相减可得an·f(n)=g(n)-gn-1),化简得an的表达式. AAAAAA 例1.(25-26高二上海南省直辖县级单位月考)己知数列an}的前项和为S。=3n2+4n+2,求{an}的通项公式 9,n=1 【答案】an= 6n+1,n22 【详解】当n=1时，a1=S,=9; 当n≥2时，a。=Sn-S=(3n2+4n+2-[3n-)2+4(n-1)+2]=6n+1 因为a,=9不满足上式， 9,n=1 所以an= 6n+1,n≥2 例2.(25-26高二上河北邢台·月考)已知数列{b}的前n项和S。=2”-1,数列{an}是等差数列，满足a=b, as+1=bs (1)求数列{an},{b.}的通项公式： 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 ,数列c的前n项和为，求证工，<4 (2)设c,=0,+1 【答案】(1)an=2n-1,b,=2-. (2)证明见解析 【详解】(1)因为数列bn}的前n项和Sn=2”-1, 所以当n≥2，n∈N时，b,=S。-Sn1=2”-2=2"- 又n=1时，b=S=2-1=1,符合b=2-,所以b,=2 因为数列{an}是等差数列，且a=b=1,a,+1=a1+7d+1=b=16,ag=15 则公差d=15-1-2, 8-1 所以a,=1+2(n-1=2n-1. 故an=2n-1,b。=2"- (2)由1)得：c.-0+1_2m-1+1-2n。n bn12*122， 23 数列{cn}的前n项和为T,=1+ + 所以是+2++ 1,23 n-1+”② 2+ 2” 11 2 2分， 则7=4-”+2 20-1 又因为+2 2片>0，所以7<4 变式1.(25-26高二上福建福州月考)己知正项数列{an}的前项和为Sn,且4Sn=a+2an+1; (1)求a1,a2和a的值； (2)求证数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式. 【答案】(1)a1=1,a2=3,a=5 (2)证明见解析，an=2n-1 【详解】(1)由题可得4a,=4S=a2+2a+1,即(a,-1=0→a,=1, 所以4(a,+a2=4S,=a+2a2+1,即a-2a2-3=0→(a2-3)(a2+1)=0, 4 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 又数列(a}为正项数列，所以a2=3, 所以4a=4S3-4S2=a+2a+1-a+2a2+1→a-2a3-15=0→(a,-5)(a+3)=0, 所以由an>0,得a=5; (2)因为4Sn=a2+2an+1,所以由(1)当n=1时，a=1, 当n≥2时，4an=4Sn-4Sn1=a+2an+1-a,+2an1+1 =a-a-1+2an-2an-1, 整理化简得an+a.1)(an-an-1-2）=0,又an>0, 所以am-an-1-2=0,即an-an-1=2, 所以数列{an}是以2为公差，1为首项的等差数列， 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. 变式2.(2025·湖北模拟预测)已知等差数列a}的前项和为Sn,且S2=4,S4=16;数列{b}满足 2”b+2-b+…+2b,=(n+1)2m1-2,n∈N (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)cn=abn,求数列{cn}的前项和Tn; (3)将数列《-)a,}和数列{b.}各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{d,},其中重复的数按照出现的个数重 复排列，求{dn}的前106项和 【答案】(1)an=2n-1,bn=2”+1 (2)T,=(2n-3)2m+n2+6 (3)162 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 6台。1+2月-x 由〈 2"b+2"-b2+…+2bn=(n+12+1-2, 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 ++会=小 当n≥2且neN时，b+ 2 会-2+克-2+克，则62r1: 当n=1时，b=4-1=3,满足b,=2”+1; 综上所述：bn=2”+1n∈N). (2)由(1)得：cn=(2n-1)2”+1=(2n-12”+(2n-1, T.=1×2+3×2+5×2+…+(2n-3)2-1+(2n-12”+[1+3+5+…+2n-3)+(2n-1] =1×2+3×22+5×23++2n-3)-2+2n-1-2”+m1+2n- 2 =1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2-1+(2n-1.2"+n2, 2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2”+(2n-1)2m1+2n2, -T,=2+2×(22+23+…+2）-(2n-小21-n2=2+2×兰 2x21-2）-（2m--2-m=6-2m-32- 1-2 ∴.Tn=(2n-3)2+n2+6 (3)当为奇数时，(-1)”a,=-an<0;当为偶数时，(-1)”a,=a,>0; :{an},{b,}均为递增数列，a8=195,a10=199,b,=2’+1=129,b=2+1=257 ∴{d}的前106项中，包含数列《-1)”a}的前99项和数列b}的前7项， {dn}的前106项和为-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)-199+2+22+…+2)+7 =2×50-199+ 2×1-2'） 1-2 +7=-99+254+7=162 6 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 方法三 累加法求数列通项公式 1.若已知an-am-1=f(n 则an=a1+(a2-a)+(a3-a2）+(a4-a3)++(an-an-)=a+f（2)+f3)+f(4)++f(n, 对f(2)+f3)+f(4)+.+f(n进行求和得am的表达式. 2.若已知an+1-an=f(n) 则an=a1+(a2-a)+(a3-a2）+(a4-a3)+…+(an-am-)=a1+f1+f(2+f(3)+.+f(n-1), 对f1+f(2)+f(3)+.+f(n-1)进行求和得a,的表达式. ※∫可以是等差数列，也可以是等比数列或者可裂项的数列 例1.(25-26高二上黑龙江佳木斯期末)己知数列an}满足a1=an+3n-2(n∈N),且a,=1 (1)求a2,a (2)求数列an}的通项公式. 【答案】(1)a2=2,a=6 ②a,=3n2-7n+6neN.) 2 【详解】(1)因为an1=an+3n-2,且a,=1, 所以a2=a,+3-2=1+1=2,a3=a2+3×2-2=2+4=6 (2)由an1=an+3n-2(n∈N）,得at1-an=3n-2, an=(an-a-+(a-1-an-2）+…+(a2-a1)+a,n≥2) =3(n-1-2+3n-2)-2+…+3×1-2+1 =3[(n-1)+(n-2)+…+2+1]-2(n-1)+1 -3xn-l川m-1+-2m-l+1-3加-7n+6,又a=1符合a,-3 n2-7n+6 2 2 所以数列0，的通项公式为a,=3n-7m+6 2 例2.(25-26高二上福建厦门月考)己知等差数列{an}满足a2+a1o=12,ag=8，数列{bn}满足b,=1,b+1=2+b,· (I)求数列{an}和b}的通项公式： 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 ②设c数列c的前项和为5 【答案】(I)an=n,b,=2”-1(neN* (2)Sn=2-n+2) 【详解】(1)等差数列an}满足a2+ao=12,ag=8，可得2a6=12,即a。=6, 2d=as-a,d=1,a,=a+(n-1)d=1+(n-1)x1=n,a=n; 由数列{bn}满足b1=1,bn1=2+b。, 可得bn1=2”+bn,则bn=b+(b-b)+(b-b)+..+(bn-bn) =1+2+4+.+21=1-2” 1-2 =2°-1，n=1,2-1=1, 即b,=2”-1neN*), (2)证明：c,6+12' an n 数列c伯前度和5=12)+…*得 -g2周+*a得 相减可得5。=2+4+ 11 1 2-2* 12=1-1n 2”2 2 3=2-2-”=2-n+2 2”2” 2 ,=2-n+2) 2” 变式1.(25-26高二上浙江温州月考)设数列a}满足a1=1,a2=2,an+2=4an1-3an+6n-3. (1)证明：数列a+1-an+3n为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2)a.=2x3-1-3n(n-1 2 8 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 【详解】(1)由a,=1,a,=2,得a2-a,+3=2-1+3=4≠0， 由an+2=4a1-3an+6n-3, 得an+2-an+1+3(n+l=3a1-3an+9n, 所以：-a+3n+=3, an-an +3n 故数列a1-a,+3n是以4为首项，3为公比的等比数列. (2)由(1)得a1-a,+3n=4×3-1，则a1-a,=4×3-1-3n, 则a2-a,=4×3°-3×1；a,-a2=4×3-3×2;, a,-a1=4×3-2-3x(n-l,n≥2. 由累加法可得a,-4,= a-4×1-3）-3x1+m-小n-1-2×3-2-3a-. 1-3 2 2 又4=1，则a,=2×3-1-3?-,n≥2引，同时a=1满足上式。 2 所以a,=2×3-1-3n(n- 2 变式2.（25-26高二上河南南阳月考)已知数列{an}满足4=1，当n≥2时，an-an-1=2n-1. (1)求{an}的通项公式： (2)设Sn为数列 3了 的前n项和，证明：Sn<2.（参考结论：当n≥4时，n2≤2”.) 【答案】(1)an=n2 (2)证明见解析 【详解】(1)当n≥2时， an=(an-am-)+(a-1-an-2）+…+(a3-a2)+(a2-a)+a1 =2n-1+2n-3+…+5+3+1=n2 又a,=1=1,因此an}的通项公式为a,=n2 (2)由(1)知a,=n2,因此= 033" -14_7。 医为55写号g8=号+分9所以当=123时，5<2 7110 0 数列通项公式6种高频考法期末培优复习讲义 因为当之4时，s2,所以等≤眉)： 此时s, 10 1 27 3 综上，Sn<2 10