专题7.3 定义、命题、定理（寒假衔接讲义）（3大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

7.3 定义、命题、定理 知识点1：定义 1.定义：用确切的语句说明某个名词或术语的具体含义的语句，叫做这个名词或术语的定义。 2.特征：定义具有明确性，能准确界定研究对象的范围和本质属性，例如“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是“平行线”的定义。 3.作用：作为后续判断和推理的依据，避免因概念模糊导致逻辑错误。 知识点2：命题 1.定义：判断一件事情的语句叫做命题，命题通常为陈述句，必须对事情作出肯定或否定的判断。 2.组成：命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成，可改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后接题设，“那么”后接结论。 3.分类： 真命题：题设成立时，结论一定成立的命题。 假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题，判断假命题只需举出一个反例（符合题设但不符合结论的例子）。 4.非命题：疑问句、祈使句、感叹句或没有作出判断的语句，都不是命题，例如“画一条直线”“你喜欢数学吗？”都不是命题。 知识点3：定理与证明 1.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据，例如“对顶角相等”“同位角相等，两直线平行”都是定理。 2.证明：根据题设、定义、基本事实和定理等，通过逻辑推理判断命题正确性的过程叫做证明。 3.证明的一般步骤： 分清命题的题设和结论，画出相应图形并标注字母与符号； 写出“已知”（题设的具体内容）和“求证”（结论的具体内容）； 分析推理路径，写出证明过程，每一步推理需注明依据（定义、公理、定理等）。 【基础必考题型】 【题型1】命题的识别 1.核心知识点 命题的定义（判断一件事情的陈述句）。 非命题的特征（疑问句、祈使句、无判断语句）。 2.解题方法技巧 识别关键：看语句是否为陈述句，且是否对事情作出肯定或否定判断。 排除法：直接排除疑问句、祈使句（如“作线段”“求的值”）、感叹句及无判断的描述性语句。 【例题1】.（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）“两点确定一条直线”这一语句是（   ） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【题型2】命题的题设与结论拆分 1.核心知识点 命题的组成（题设和结论）。 “如果……那么……”的改写规则。 2.解题方法技巧 直接拆分：对于已写成“如果……那么……”形式的命题，直接提取“如果”后为为题设，“那么”后为结论。 改写拆分：对于未明确形式的命题，先补充必要词语，改写为“如果……那么……”形式，再拆分（注意不改变原意）。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 【变式题2-1】.（2025八年级上·河南郑州·专题练习）命题“如果，那么”的条件为 ． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【题型3】命题的真假判断 1.核心知识点 真命题的判定（题设成立必推结论成立）。 假命题的判定（举反例即可）。 2.解题方法技巧 真命题判断：结合定义、公理、定理推理验证，确保逻辑无漏洞。 假命题判断：寻找反例，要求反例符合题设条件，但不符合结论，且反例简洁易懂（如“相等的角是对顶角”的反例：“等腰三角形的两个底角相等，且，但与不是对顶角”）。 【例题3】.（25-26七年级上·云南丽江·期中）命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-3】.（23-24七年级下·云南楚雄·期中）下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4】命题的“如果……那么……”形式改写 1.核心知识点 命题的组成结构。 改写的基本原则（不增减原意、语句通顺）。 2.解题方法技巧 找准题设和结论：先确定“已知什么”（题设）和“推出什么”（结论）。 补充连接词：根据语义补充“如果”“那么”，使语句完整，例如“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写为“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”。 【例题4】.（24-25七年级下·全国·课后作业）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江·月考）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【培优高频题型】 【题型5】结合几何图形的命题真假判断 1.核心知识点 平行线的性质与判定、对顶角性质等几何知识。 命题真假的判定方法。 2.解题方法技巧 图形分析：先根据命题描述画出几何图形，标注已知条件和待判断的结论。 推理验证：利用几何定理推导结论是否成立，假命题需在图形中构造反例（如“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的反例：“两条相交直线、被直线所截，同位角，，”）。 【例题5】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【题型6】举反例专项训练 1.核心知识点 假命题的定义。 反例的特征（符合题设、不符合结论）。 2.解题方法技巧 紧扣题设：反例必须满足命题的所有题设条件，不能偏离题设。 简化反例：优先选择简单、直观的例子（如数值、基础几何图形），避免复杂情境，确保反例具有说服力。 【例题6】.（25-26八年级上·山西太原·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C．， D．， 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例： ． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【压轴素养题型】 【题型7】证明过程的依据填写 1.核心知识点 定义、公理、定理的准确应用。 证明的逻辑推理链条。 2.解题方法技巧 结合上下文：根据前一步推理和后一步结论，判断所需依据（定义、公理或定理）。 规范表述：依据名称需准确，例如“两直线平行，内错角相等”不能简写为“内错角相等”。 【例题7】.（24-25七年级下·吉林·月考）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【变式题7-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·月考）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【变式题7-3】.（24-25七年级下·湖南湘西·月考）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【题型8】组合论断组命题并证明 1.核心知识点 命题的组成与证明步骤。 几何性质的综合应用。 2.解题方法技巧 组合筛选：从给定的论断中选择2个作为题设，1个作为结论，组成可能的命题。 验证筛选：判断组合命题的真假，优先选择真命题进行证明。 规范证明：按“已知—求证—证明”的步骤书写，每一步推理注明依据。 【例题8】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【变式题8-1】.（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【变式题8-2】.（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知，，现有3个条件：①；② ；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 易错点 1.混淆命题与非命题：将祈使句（如“画的平分线”）、疑问句（如“这两条直线平行吗？”）误判为命题。 2.改写命题时增减原意：例如将“同旁内角互补，两直线平行”改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，颠倒题设与结论；或遗漏关键条件，导致改写后的命题与原命题不符。 3.举反例不规范：反例不符合题设条件，或无法明确反驳结论（如判断“如果，那么”是假命题时，举反例“，”，而非“，”）。 4.证明过程依据错误：将“判定定理”与“性质定理”混淆（如将“两直线平行，内错角相等”误写为“内错角相等，两直线平行”作为推理依据）。 重点 1.命题的识别与组成：能准确区分命题与非命题，熟练拆分题设与结论，正确改写为“如果……那么……”形式。 2.命题的真假判断：掌握真命题的推理验证方法和假命题的反例构造技巧。 3.定理与证明：理解定理的含义，掌握证明的基本步骤，能准确填写证明过程的依据。 4.核心应用：结合几何图形和生活情境，灵活运用命题、定理解决简单问题。 难点 1.证明过程的逻辑推理：构建清晰的推理链条，确保每一步推理都有明确依据，无逻辑断层。 2.反例的构造：针对复杂命题，准确找到符合题设且不符合结论的反例，做到简洁、直观、有说服力。 3.组合论断组命题：从多个论断中筛选出合理的题设和结论，组成真命题并完成证明，考验逻辑筛选和综合应用能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 4．（25-26八年级上·海南海口·期中）将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式 ． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 6．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 7．（25-26八年级上·吉林·期末）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数的值为 ， ． 8．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）命题“等角的补角相等”的条件是 ． 9．（25-26八年级上·山东青岛·月考）要说明命题“若，则”是假命题，举的一个反例中可以是 ． 10．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）下列命题： ①若，则； ②若，则关于的方程的解为； ③若不论取何值，恒成立，则； ④若，满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有 ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）判断“内错角相等”是否为真命题？ 13．（2026七年级下·全国·专题练习）写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 14．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 15．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 定义、命题、定理 知识点1：定义 1.定义：用确切的语句说明某个名词或术语的具体含义的语句，叫做这个名词或术语的定义。 2.特征：定义具有明确性，能准确界定研究对象的范围和本质属性，例如“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是“平行线”的定义。 3.作用：作为后续判断和推理的依据，避免因概念模糊导致逻辑错误。 知识点2：命题 1.定义：判断一件事情的语句叫做命题，命题通常为陈述句，必须对事情作出肯定或否定的判断。 2.组成：命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成，可改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后接题设，“那么”后接结论。 3.分类： 真命题：题设成立时，结论一定成立的命题。 假命题：题设成立时，结论不一定成立的命题，判断假命题只需举出一个反例（符合题设但不符合结论的例子）。 4.非命题：疑问句、祈使句、感叹句或没有作出判断的语句，都不是命题，例如“画一条直线”“你喜欢数学吗？”都不是命题。 知识点3：定理与证明 1.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为进一步判断其他命题真假的依据，例如“对顶角相等”“同位角相等，两直线平行”都是定理。 2.证明：根据题设、定义、基本事实和定理等，通过逻辑推理判断命题正确性的过程叫做证明。 3.证明的一般步骤： 分清命题的题设和结论，画出相应图形并标注字母与符号； 写出“已知”（题设的具体内容）和“求证”（结论的具体内容）； 分析推理路径，写出证明过程，每一步推理需注明依据（定义、公理、定理等）。 【基础必考题型】 【题型1】命题的识别 1.核心知识点 命题的定义（判断一件事情的陈述句）。 非命题的特征（疑问句、祈使句、无判断语句）。 2.解题方法技巧 识别关键：看语句是否为陈述句，且是否对事情作出肯定或否定判断。 排除法：直接排除疑问句、祈使句（如“作线段”“求的值”）、感叹句及无判断的描述性语句。 【例题1】.（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）“两点确定一条直线”这一语句是（   ） A．定理 B．公理 C．定义 D．只是命题 【答案】B 【分析】本题考查了公理的判断，理解题意是解决本题的关键． “两点确定一条直线”是几何中的基本事实，不需要证明，所以是公理． 【详解】解：∵“两点确定一条直线”是几何中的基本事实，是不需要证明的真命题， ∴它是公理． 故选B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·河北张家口·月考）下列语句不是命题的是（    ）． A．两直线平行，同位角相等 B．作线段的垂直平分线 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念，掌握其概念：判断一件事情的语句叫做命题，是解题的关键． 判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可． 【详解】解：A为陈述句，可判断真假，是命题； B为作图指令，非陈述句，不可判断真假，不是命题； C为陈述句，可判断真假（虽可能假），是命题； D为陈述句，可判断真假，是命题． 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 【详解】解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 【题型2】命题的题设与结论拆分 1.核心知识点 命题的组成（题设和结论）。 “如果……那么……”的改写规则。 2.解题方法技巧 直接拆分：对于已写成“如果……那么……”形式的命题，直接提取“如果”后为为题设，“那么”后为结论。 改写拆分：对于未明确形式的命题，先补充必要词语，改写为“如果……那么……”形式，再拆分（注意不改变原意）。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是 ，结论是 ． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． 【变式题2-1】.（2025八年级上·河南郑州·专题练习）命题“如果，那么”的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的概念，解决本题的关键是熟练掌握命题的组成． 命题由条件和结论组成，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论，由此可求解． 【详解】解：命题“如果，那么”中，“如果”后面的部分“”是条件． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·单元测试）把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】写出命题的题设与结论．命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】解：原命题的题设是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”， 因此改写成“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 故答案为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【题型3】命题的真假判断 1.核心知识点 真命题的判定（题设成立必推结论成立）。 假命题的判定（举反例即可）。 2.解题方法技巧 真命题判断：结合定义、公理、定理推理验证，确保逻辑无漏洞。 假命题判断：寻找反例，要求反例符合题设条件，但不符合结论，且反例简洁易懂（如“相等的角是对顶角”的反例：“等腰三角形的两个底角相等，且，但与不是对顶角”）。 【例题3】.（25-26七年级上·云南丽江·期中）命题“同位角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：同位角不一定相等，只有两直线平行时，同位角才相等，故原命题为假命题； 故答案为：假． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点． 逐一判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立；④平行公理要求点不在直线上，否则不成立． 【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题； ②对顶角相等是固有性质，故②为真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B． 【变式题3-3】.（23-24七年级下·云南楚雄·期中）下列五个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④垂线段最短；⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了命题的真假，对顶角，平行线的性质，垂线段最短，平行公理和垂直的定义， 根据以上知识点判断每个命题的真假即可． 【详解】解： ①相等的角不一定是对顶角，是假命题； ②两条直线被第三条直线所截时，内错角不一定相等，只有当两直线平行时才成立，是假命题； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线性质，是真命题； ④从直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是真命题； ⑤经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，是真命题． ∴真命题有3个． 故选：C． 【题型4】命题的“如果……那么……”形式改写 1.核心知识点 命题的组成结构。 改写的基本原则（不增减原意、语句通顺）。 2.解题方法技巧 找准题设和结论：先确定“已知什么”（题设）和“推出什么”（结论）。 补充连接词：根据语义补充“如果”“那么”，使语句完整，例如“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写为“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行”。 【例题4】.（24-25七年级下·全国·课后作业）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式． 本题考查命题的改写，掌握拆分命题的条件与结论，按如果+条件，那么+结论的结构改写是解题的关键． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河南驻马店·期中）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ． 【答案】如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　（“在同一平面内”写在“如果”前也给分） 【分析】本题考查命题的改写，运用命题结构分析思想，易错点是题设或结论表述不完整、不准确；明确题设（“如果” 后）为 “在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线”，结论（“那么” 后）为 “这两条直线平行”． 【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江·月考）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 ，那么 ”． 【答案】 两个角相等 它们的余角相等 【分析】本题考查了命题的改写，将命题改写成“如果…那么…”形式，需明确题设和结论，“如果”后接题设，“那么”后接结论． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角”表示两个角相等，是题设；“余角相等”表示它们的余角相等，是结论．因此改写成“如果两个角相等，那么它们的余角相等”． 故答案为：两个角相等，它们的余角相等． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于 【分析】将原命题分解为题设和结论，题设是“三个角是三角形的内角”，结论是“它们的和等于”，然后套用“如果……那么……”的形式. 【详解】解：命题“三角形的内角和等于”中，“三角形的内角”是题设，“和等于”是结论，因此改写成“如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于”. 故答案为：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于． 【培优高频题型】 【题型5】结合几何图形的命题真假判断 1.核心知识点 平行线的性质与判定、对顶角性质等几何知识。 命题真假的判定方法。 2.解题方法技巧 图形分析：先根据命题描述画出几何图形，标注已知条件和待判断的结论。 推理验证：利用几何定理推导结论是否成立，假命题需在图形中构造反例（如“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的反例：“两条相交直线、被直线所截，同位角，，”）。 【例题5】.（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·山东济宁·期中）已知：如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分． (1)求证：； (2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论； (3)判断下列命题是真命题还是假命题（在横线上直接填“真”或“假”）： ①“两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行”是 命题； ②“两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线相互平行”是 命题． 【答案】(1)见解析 (2)如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线相互平行 (3)①真；②假 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、判断命题的真假、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，则，然后根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据（1）证明直接写出结论即可； （3）①、②类似（1）判断即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分． ∴，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行； （3）解：①如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ∴两条平行直线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线相互平行是真命题． 故答案为：真． ②如图， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题． 故答案为：假． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6】举反例专项训练 1.核心知识点 假命题的定义。 反例的特征（符合题设、不符合结论）。 2.解题方法技巧 紧扣题设：反例必须满足命题的所有题设条件，不能偏离题设。 简化反例：优先选择简单、直观的例子（如数值、基础几何图形），避免复杂情境，确保反例具有说服力。 【例题6】.（25-26八年级上·山西太原·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了举反例，反例需满足两角互补（和为）但两角不相等，由此即可得出结果，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：命题条件为与互补，即；结论为， A、且，满足结论，不是反例； B、，不满足条件，不是反例； C、，不满足条件，不是反例； D、，但，满足条件但不满足结论，是反例； 故选：D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例： ． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 反例需满足两个锐角之和不是钝角，而是锐角或直角，据此解答即可． 【详解】解：锐角是指小于的角，钝角指大于且小于的角，当两个锐角均较小时，其和可能小于，例如，，，结果为锐角而非钝角，故该命题为假命题， 故答案为，，（答案不唯一）． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题，反例见解析． (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题，反例见解析． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）该命题为真命题． （2）该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    （3）该命题为真命题． （4）该命题为假命题． 反例：当时，． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4）解：真命题． 【压轴素养题型】 【题型7】证明过程的依据填写 1.核心知识点 定义、公理、定理的准确应用。 证明的逻辑推理链条。 2.解题方法技巧 结合上下文：根据前一步推理和后一步结论，判断所需依据（定义、公理或定理）。 规范表述：依据名称需准确，例如“两直线平行，内错角相等”不能简写为“内错角相等”。 【例题7】.（24-25七年级下·吉林·月考）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【答案】[证明]两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 [延伸]是真命题，证明过程见解析 【分析】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解答此题的关键． [证明]直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； [延伸]将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； 【详解】解：[感知]（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）； [延伸]将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． 【变式题7-1】.（23-24七年级下·河北邯郸·月考）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”． (1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式； (2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据． 如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证　　． 证明：∵（已知）， ∴（ 　　）． ∵　　（平角的定义）， ∴　　（ 　　）． 【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补 (2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换 【分析】本题考查了命题，平行线的性质等知识， （1）确定题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，按要求表述即可； （2）根据两直线平行，同位角相等可得，再结合平角的定义，即可证明． 【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补； （2）如图，已知直线，直线截，于点M，N． 求证． 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·陕西西安·月考）补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·湖南湘西·月考）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 【题型8】组合论断组命题并证明 1.核心知识点 命题的组成与证明步骤。 几何性质的综合应用。 2.解题方法技巧 组合筛选：从给定的论断中选择2个作为题设，1个作为结论，组成可能的命题。 验证筛选：判断组合命题的真假，优先选择真命题进行证明。 规范证明：按“已知—求证—证明”的步骤书写，每一步推理注明依据。 【例题8】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【详解】（1）解：第一种：如果，，那么； 第二种：如果，那么； 第三种：如果，那么． （2）解：证明第一种：∵， ， ∵，， ∴， ∴； 证明第二种：， ， ， ， ， ； 证明第三种：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：所得命题是真命题； ①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线． 证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． ②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． 证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【变式题8-2】.（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，已知，，现有3个条件：①；② ；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【答案】(1)①，③或③，① (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③；或者选择的条件是③，结论是①； （2）解：选择的条件是①，结论是③，证明如下： ∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（余角的定义）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 选择的条件是③，结论是①，证明如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（余角的定义）， ∴（等量代换） ∵（已知）， ∴（等角的余角相等）． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·福建福州·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题： 如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题． 请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ， ； 已知：，， 求证：． 证明：， ， ， ， ， ． 易错点 1.混淆命题与非命题：将祈使句（如“画的平分线”）、疑问句（如“这两条直线平行吗？”）误判为命题。 2.改写命题时增减原意：例如将“同旁内角互补，两直线平行”改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，颠倒题设与结论；或遗漏关键条件，导致改写后的命题与原命题不符。 3.举反例不规范：反例不符合题设条件，或无法明确反驳结论（如判断“如果，那么”是假命题时，举反例“，”，而非“，”）。 4.证明过程依据错误：将“判定定理”与“性质定理”混淆（如将“两直线平行，内错角相等”误写为“内错角相等，两直线平行”作为推理依据）。 重点 1.命题的识别与组成：能准确区分命题与非命题，熟练拆分题设与结论，正确改写为“如果……那么……”形式。 2.命题的真假判断：掌握真命题的推理验证方法和假命题的反例构造技巧。 3.定理与证明：理解定理的含义，掌握证明的基本步骤，能准确填写证明过程的依据。 4.核心应用：结合几何图形和生活情境，灵活运用命题、定理解决简单问题。 难点 1.证明过程的逻辑推理：构建清晰的推理链条，确保每一步推理都有明确依据，无逻辑断层。 2.反例的构造：针对复杂命题，准确找到符合题设且不符合结论的反例，做到简洁、直观、有说服力。 3.组合论断组命题：从多个论断中筛选出合理的题设和结论，组成真命题并完成证明，考验逻辑筛选和综合应用能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义．根据命题的定义，命题是能够判断真假的陈述句，选项A是疑问句，不符合命题要求，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、“你饿了吗？”是疑问句，不是陈述句，故不是命题，故该选项符合题意； B、线段的垂线有无数条，是命题，故该选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，故该选项不符合题意； D、相等的角一定是对顶角，是命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查判定命题是假命题的一个常用方法——举反例．反例是个实例，它要符合命题的题设，不符合命题的结论．要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足 但 的一组即可，逐一验证． 【详解】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意； B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意； C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意； D、，且，不能作为反例，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·海南海口·期中）将命题：“两条边相等的三角形叫做等腰三角形”改为“如果.....，那么.....”的形式 ． 【答案】如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形 【分析】本题考查了命题的改写方法，解题的关键是准确区分命题中的题设（条件）和结论． 先确定原命题中表示条件的部分“一个三角形有两条边相等”和表示结论的部分“这个三角形叫做等腰三角形”；再用“如果”引导条件，“那么”引导结论，完成命题改写． 【详解】解：首先分析原命题的结构，原命题中“一个三角形有两条边相等”是条件，“这个三角形叫做等腰三角形”是结论；   故答案为：如果一个三角形的两条边相等，那么这个三角形叫做等腰三角形． 5．（23-24七年级下·河北石家庄·月考）命题“同位角相等”的条件是 ． 【答案】两角是同位角 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 6．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）如图： 观察图形，请用“如果……，那么……”的形式写出一个命题：_________________． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的结构，熟练掌握命题的结构是解题的关键．根据图片找到命题的条件和结论，如果后面是条件，那么后面是结论，原命题的条件是，结论是． 【详解】解：根据题意，如果，那么． 故答案为：如果，那么． 7．（25-26八年级上·吉林·期末）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、举反例等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 通过举反例说明命题为假，当a为负数且绝对值大于b时，满足但． 【详解】解：取，则， 满足，但，即不成立，故命题为假命题， 故答案为：，1（答案不唯一）． 8．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）命题“等角的补角相等”的条件是 ． 【答案】两个角相等 【分析】本题考查了余角和补角以及命题的构成，命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果．命题的已知部分是条件，即题设，由条件得出结果是结论，由此即可得答案． 【详解】解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”， 所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等； 故答案为：两个角相等． 9．（25-26八年级上·山东青岛·月考）要说明命题“若，则”是假命题，举的一个反例中可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用举反例证明命题真假．能够正确的举出反例是解题关键．反例就是满足命题的题设，但不能由它得到结论，据此举出反例即可． 【详解】解：∵时，，但， ∴举的一个反例中可以是． 故答案为： 10．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）下列命题： ①若，则； ②若，则关于的方程的解为； ③若不论取何值，恒成立，则； ④若，满足，则的最小值为4． 其中，正确命题的个数有 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是命题的正确，绝对值的几何意义，一元一次方程，熟知相关概念是解题关键． 根据绝对值的方程、一元一次方程以及绝对值的几何意义，逐一判断即可． 【详解】解：①若，则或，解得或，所以原命题为错误的命题； ②若，则当时，， 所以关于的方程的解为，所以原命题是正确的命题； ③，则 若不论取何值，恒成立， 则，， 可得，所以，原命题是正确的命题； ④ ， 由绝对值几何意义，表示点x到1和5的距离之和，其最小值为4； 表示点y到1和3的距离差，其取值范围为， 要是， 则取最小值，取最大值， 此时的最小值为1，的最小值为3， 故的最小值为4，则该命题是正确的命题； 正确命题有②③④，有个， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论． (1)已知点P到两点的距离之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到两点的距离之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)是命题，是真命题；改写：如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上；条件：；结论：点P在线段上； (2)是命题，假命题 (3)是命题，真命题，改写：如果，那么；条件：；结论： (4)是命题，假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关键； （1）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （2）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （3）根据命题及真假命题的定义可进行求解； （4）根据命题及真假命题的定义可进行求解． 【详解】（1）解：是命题，且是真命题， 改写成“如果…..那么….”的形式为如果点P到A、B两点的距离之和等于线段的长，那么点P在线段上； 条件是；结论是点P在线段上； （2）解：是命题； 当点P在直线外时，也可以满足点P到两点的距离之和大于线段的长，所以原命题是假命题； （3）解：是命题，且是真命题； 改写成“如果…..那么….”的形式为如果，那么； 条件：；结论：； （4）解：是命题， 因为当时，则有，所以原命题是假命题． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）判断“内错角相等”是否为真命题？ 【答案】不是 【分析】内错角相等的前提是两条直线平行，若缺少此条件，命题不成立；本题主要考查了内错角的定义和平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【详解】解：在几何中，内错角是指两条直线被第三条直线（截线）所截时，位于两条直线之间且在截线异侧的一对角，根据平行线的性质，当两条直线平行时，其内错角相等，然而，若两条直线不平行，则内错角不一定相等； 因此，“内错角相等”这一命题并非恒真，故不是真命题． 13．（2026七年级下·全国·专题练习）写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【详解】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 14．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 15．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）2014年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组，在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知： ①这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数； ②乙队总得分排在第一； ③丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的． 根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是_____队．（要有推断过程） 【答案】丙 【分析】本题考查了逻辑推理问题的应用，根据比赛规则以及3个已知条件不难解答本题，4队单循环比赛，合计比赛（）场比赛，即每队比赛3场，根据积分规则，每队最多积分9分，最少积分0分。根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数可知，四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9，有且仅有这两种可能；而6场比赛全部分出胜负时四队合计积分为（分），即四队积分和最高18分，而，显然不可能，故四队积分只可能为1、3、5、7；根据（2）乙队总得分排在第一可知，乙队2胜1平积分7分，排名第一；根据（3）丁队恰有两场同对方踢平，平2场积分为2分，根据四队积分均为奇数分可知丁队另一场比赛胜了对方，积分3分，合计积分5分，即丁队1胜2平积分5分，排名第二，据此解答． 【详解】解：甲、乙、丙、丁4支队合计比赛场次：（场）， 因为每场比赛获胜的队可得3分：失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分， 所以6场比赛如果全部分出胜负，则四队积分和：（分）， 根据（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数， 所以四队积分可能为1、3、5、7或3、5、7、9 而， 所以四队积分只能为1、3、5、7， 因为（2）乙队总得分排在第一， 所以乙队积分7分（2胜1平）， 因为（3）丁队恰有两场同对方踢平，两场比赛积分：（分） 所以丁队另外一场比赛一定胜了对方，积分3分， 即丁队一共积分：（分） 所以丁队总得分排在第二，积分5分（1胜2平）， 因为（3）丁队有一场是与丙队踢平的， 此时剩余两队（甲、丙）的积分为3分和1分， 积3分的队伍战绩为1胜2负（0场平局），积1分的队伍战绩为1平2负（1场平局）， 根据条件③，丁队与丙队踢平，说明丙队必有1场平局， 故丙队只可能积分1分（1平2负），最后甲队积分3分（1胜2负）． 综上： 甲1胜2负，积分3分，即甲胜丙，负乙和丁； 乙2胜1平，积分7分，即乙胜甲和丙，平丁； 丙1平2负，积分1分，即丙平丁，负甲和乙； 丁1胜2平，积分5分，即丁胜甲，平乙和丙． 所以总得分排在第四的是丙队． 故答案为：丙． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $