专题7.2 平行线（寒假衔接讲义）（5大知识点预习+ 10大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

7.2 平行线 知识点1：平行线的定义与平面内两直线位置关系 类别 详情 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作“”，读作“平行于” 位置关系 同一平面内不重合的两条直线，只有相交和平行两种位置关系（重合视为一条直线） 拓展 线段或射线平行，指它们所在的直线平行 知识点2：平行线的画法 1.步骤：一“落”（三角尺一条直角边落在已知直线上）、二“靠”（直尺紧靠三角尺另一条直角边）、三“推”（沿直尺推动三角尺至已知点）、四“画”（沿三角尺过已知点的边画直线）。 2.工具：三角尺和直尺，或方格纸（利用方格边长平行的特征）。 知识点3：平行公理及其推论 类别 详情 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（体现存在性和唯一性） 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即“平行于同一直线的两直线平行”，体现传递性）；用a、b、c三条直线表示为：若，，则 知识点4：平行线的判定 类别 详情 判定1 同位角相等，两直线平行（形如“F”，∠1与∠2） 判定2 内错角相等，两直线平行（形如“Z”，∠1与∠3） 判定3 同旁内角互补，两直线平行（形如“U”，∠1与∠4） 判定4 补充判定：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 知识点5：平行线的性质 类别 详情 性质1 两直线平行，同位角相等（形如“F”，∠1与∠2） 性质2 两直线平行，内错角相等（形如“Z”，∠1与∠3） 性质3 两直线平行，同旁内角互补（形如“U”，∠1与∠4） 拓展 平行线间的距离处处相等（夹在两条平行线间的垂线段长度相等） 【基础必考题型】 【题型1】平行线的识别与位置关系判断 1.核心知识点 平行线的定义（同一平面内不相交）。 平面内两直线的位置关系（相交、平行）。 2.解题方法技巧 识别平行线：先判断是否在同一平面内，再看是否无公共点。 位置关系判断：排除重合情况，根据“相交”（有一个公共点）或“平行”（无公共点）分类。 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（25-26七年级上·北京·月考）如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【答案】(1)，它们之间的距离是；，它们之间的距离是；，它们之间的距离是（答案不唯一） (2)4对 【分析】本题考查了认识立体图形，平行线，掌握正方体的特征是解题的关键． （1）根据正方体的特征求解即可； （2）根据正方形的特征求解即可． 【详解】（1）解：，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； ，它们之间的距离是； （2）解：在正方形中，互相垂直的边有，，，，共4对． 【变式题1-3】.（24-25八年级下·浙江·假期作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【详解】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 【题型2】平行公理及其推论的应用 1.核心知识点 平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）。 平行公理的推论（平行于同一直线的两直线平行）。 2.解题方法技巧 应用平行公理：判断过某点画平行线的条数（直线外一点1条，直线上无平行线）。 应用推论：通过中间直线传递平行关系，证明两直线平行。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有 条． 【答案】1 【分析】本题是对平行公理的考查，熟记公理是解题的关键． 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得到答案． 【详解】解：由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 故答案为：． 【变式题2-1】.（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【变式题2-3】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 【题型3】平行线判定方法的选择与简单应用 1.核心知识点 平行线的三种判定方法（同位角、内错角、同旁内角）。 “三线八角”的识别（截线、被截直线的区分）。 2.解题方法技巧 识别“三线八角”：先确定截线（与两条直线都相交的直线），再判断角的类型。 选择判定方法：根据已知角的类型，对应选择同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来判定平行。 【例题3】.（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【答案】2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据等式的性质得到，根据对顶角相等得到，进而得到，再根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． 又（已知）， （等式的性质）， （对顶角相等）， 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式题3-3】.（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定、垂线的定义、角的和差、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定定理证明平行线是解题的关键． （1）由垂直的定义可得，再结合已知条件运用角的和差可得，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，即，然后运用同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，平分，，， ∴， ∴， ∴． 【题型4】平行线性质的基础角度计算 1.核心知识点 平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。 对顶角、邻补角的性质。 2.解题方法技巧 标记图形：找出平行线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，结合对顶角、邻补角转化角度。 计算步骤：先明确平行关系，再确定角的位置关系，最后根据性质计算未知角。 【例题4】.（25-26八年级上·河南开封·月考）如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质即可得出. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴, 故选：A． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据证得，根据平行线的性质得到，进而求出，再根据对顶角相等得到，据此解答即可． 【详解】解：如图： ， ， ， ∵， ， ． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东湛江·月考）湛江是广东省海岸线最长的地级市．如图，点A，B，C分别表示东海岛、南三岛、硇（náo）洲岛，其中B处在A处的北偏东，C处在A处的南偏东，B处在C处的北偏西，从B处看A，C两处的视角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查方位角及平行线的性质与判定，熟练掌握方位角及平行线的性质与判定是解题的关键；如图，过点B作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：如图，过点B作， 因为， 所以， 所以， 所以； 故选C． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，关键是平行线判定定理的应用． （1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2），得到，进而得到，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【培优高频题型】 【题型5】开放题：添加条件使两直线平行 1.核心知识点 平行线的判定方法（同位角、内错角、同旁内角）。 角的关系与平行关系的转化。 2.解题方法技巧 逆向思维：根据目标平行关系，反推需要的角的关系（如要证，可添加“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”）。 多角度思考：同一平行关系可添加不同条件，优先选择简洁的角的关系（如直接添加某组同位角相等）。 【例题5】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，被直线EF所截，与交于点E，与交于点，添加一个条件使得，你添加的条件是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法可知添加条件，即可解题． 【详解】解：（或或）， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东青岛·月考）（1）如图①，E是延长线上一点，如果添加一个条件，使，则可添加的条件为： ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②：③；④．其中能判定的是 ．（填序号） 【答案】 （答案不唯一） ②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】（1）解：可添加的条件为， ∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵， ∴， 故①不符合题意； ∵， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴， 故④符合题意； 故答案为：②③④． 【变式题5-2】.（24-25七年级下·江西上饶·月考）如图，，试再添上一个条件使，添加的条件为 （不再添加任何字母或数字标注）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定、性质和直角的定义．此题需先证明，再过点E作，证明，则要使，添加条件为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点E作， ∴， ∴，， ∴． 那么要使，可添加条件为． 故答案为：． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． 如图， ，数学课上，老师请同学们根据图形的特征添加一个条件，使得 ，并给出说明过程． 小丽添加的条件：．请你帮小丽将下面的说明过程补充完整． 解：∵ （ 已知 ）， ∴① _______（② ）， ∴ ③ _______（ ④ ）， ∵（已知）， ∴⑤ _______（⑥ ）， ∴（等量代换 ）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质证明即可． 【详解】解：∵（已知 ）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换 ）， 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 【题型6】生活情境中的平行线应用（建筑/交通） 1.核心知识点 平行线的判定与性质。 垂线段最短的性质。 2.解题方法技巧 情境转化：将生活场景（如道路拐弯、建筑横梁、铁轨铺设）抽象为几何图形，找出平行线和截线。 结合实际需求：如“道路保持平行”转化为“同位角相等”，“最短管道”转化为“垂线段最短”。 【例题6】.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在修建铁路时为了保证两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了（铁轨和枕木都看作直线）．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 由图知的邻补角与是同位角，根据“同位角相等，两直线平行”可得当时，两条铁轨平行，即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴当时，，则两条铁轨平行． 故选：D 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在，，三处经过三次拐弯后，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即）．若，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线性质．过点作，点在点上方．得到．则．得到，即可求出． 【详解】解：过点作，点在点上方． ∵， ． ∵， ． ∵， ， ． 【变式题6-3】.（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图是某老旧小区在改造天然气管道，从A处出发沿北偏东方向到达B处，由于人工湖的影响，从B处沿北偏西方向到C处，从C处沿着与BC垂直的方向铺设，就可以保持与AB的方向一致（即），到达天然气管道终点D处．请你证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查方位角，平行线的判定及性质．由题意的，，，得到，进而，即可得到，得证． 【详解】证明：由题意的，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 【题型7】跨学科融合：光的反射/折射中的平行问题 1.核心知识点 平行线的判定（同位角相等、内错角相等）。 光的反射定律（反射角=入射角）。 2.解题方法技巧 提取几何模型：从光的反射情境中分离出“法线（垂线）”“入射光线”“反射光线”，确定截线（法线）和被截直线（入射光线与反射光线）。 角度转化：利用反射角=入射角得到等角，再根据平行线判定证明光线平行。 【例题7】.（24-25七年级下·河南周口·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与入射光线平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：C． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，由题意得，，C、O、D三点共线，则，由平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，进而由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， 由题意得，，C、O、D三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·山东临沂·期末）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，． (1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______； (2)解决问题： ①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数； ②在①中若，则______，若，则______； (3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明． 【答案】(1)相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 (2)①，；②， (3)，证明见解析 【分析】本题在平面镜反射光线的背景下考查角的运算，熟练掌握平行线的判定定理与性质以及补角定义，三角形内角和为是解题的关键． （1）①根据题意利用平行线的性质进行分析即可； ②根据题意利用平行线的判定定理进行分析即可； （2）图见解析，根据题意得，再利用平行线的判定定理与性质以及补角定义，得出度数，再利用三角形内角和为进行综合分析求解； （3）先提出猜想时，再结合平行线的性质以及补角定义，三角形内角和为进行证明． 【详解】（1）解：， ， 又 ，， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：相等；等量代换；同位角相等，两直线平行． （2） ①如图所示 由光的反射可知且 故答案为：，； ② 度数与无关，若，；若， 故答案为：， （3）时，理由如下： 当，则 故答案为： 【压轴素养题型】 【题型8】折叠问题中的平行线性质应用 1.核心知识点 平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）。 折叠的性质（折叠前后对应角相等）。 2.解题方法技巧 结合折叠性质：找出折叠后重合的角，转化为相等的角。 利用平行性质：通过平行线传递角的关系，建立已知角与未知角的等式。 【例题8】.（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕为角平分线，以及平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：的长方形纸片沿折叠得到图②， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行推导，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于图1，由折叠可知：， ∵长方形纸条， ∴， ∴，， ∴度， 对于图2，由折叠可知：度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 故选A． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 【答案】操作发现：垂直（或）；垂直（或）； C 解决问题：详见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，角平分线的定义，理解题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质及判定作答即可． 【详解】解：操作发现：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是；第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是； ∵，， ∴， ∴ 同位角相等，两直线平行 ∵，， ∴， ∴ 内错角相等，两直线平行 ∴小明画平行线的依据有同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行； 故答案为：垂直（或）；垂直（或）；． 解决问题： ，理由如下： 由操作发现可得，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ 【变式题8-3】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知： 又∵ ∴ 同理，， ∴， ∴； （2）作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； （3）当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴； 综上：或． 【题型9】旋转问题中的平行判定与性质综合 1.核心知识点 平行线的判定与性质。 旋转的性质（旋转前后角度不变）。 分类讨论思想。 2.解题方法技巧 分情况画图：根据旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角度，画出不同位置的图形。 角度计算：结合旋转性质得到等角，再利用平行的判定或性质建立方程，求解旋转角度。 【例题9】.（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为 秒时，． 【答案】或或 【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键． 设当光线旋转时间为秒时，．根据运动情形分种情况①当时，延长交于点，②当时，延长交于点，③当时，延长交于点，结合平行线的性质及一元一次方程求解，即可解题． 【详解】解：光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至， 则光线到所用时间为：， 光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边，且光线先转45秒， 则光线到所用时间为：， 设当光线旋转时间为秒时，． ①当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得， ②当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； ③当时，延长交于点， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，或或， 故答案为：或或． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当 时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 【变式题9-2】.（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①7.5；② 或30 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题．当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，t的值为； ②如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ； 如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的t的值为 或30． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【题型10】辅助线添加：过拐点作平行线 1.核心知识点 平行线的性质与判定。 辅助线的添加技巧（过折线拐点作平行线）。 2.解题方法技巧 识别拐点：当图形中出现折线（如“Z”形、“U”形、“猪蹄形”）时，过拐点作已知直线的平行线。 利用平行性质：通过添加的平行线，将复杂角分解为同位角、内错角或同旁内角，转化角度关系。 【例题10】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，分别平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件： ，； ； ； ； ．能判断直线的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 【变式题10-3】.（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，、分别在射线、上，连接、，的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由： (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（）的条件下，若，，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)的值为或或或或． 【分析】本题主要考查角平分线的定义、平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键. （1）过点作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点作交于点，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：，如图1，过点作， ， ，， ， ， ； （2）解：；理由如下： ，如图2，过点作，过点作交于点， ， 平分， ， 设，， ， ， 则， ， ， 则， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：的值为或10或17.5或32.5或40；理由如下： 由（1）得，， ， ， 平分， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， 直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ， 直线绕点顺时针旋转，速度为每秒， ， 当时，如图3， ， ， 解得：； 当旋转到如图4所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图5， ， ， ， 解得：； 当旋转到如图6所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图7所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图8所示位置： 同理得：， 解得：（不合题意，舍去）. 综上所述，的值为或10或17.5或32.5或40． 易错点 1.混淆平行线的性质与判定：性质是“由平行得角的关系”，判定是“由角的关系得平行”，容易颠倒使用条件和结论。 2.忽略“同一平面内”的前提：平行公理及其推论、平行线的定义均要求“在同一平面内”，易忽略此条件导致错误（如空间中不相交的直线不一定平行）。 3.“三线八角”识别错误：在复杂图形中，无法准确区分截线和被截直线，导致同位角、内错角、同旁内角判断错误。 重点 1.平行线的核心性质与判定方法：熟练掌握“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”与“两直线平行”的互推关系。 2.平行公理及其推论的应用：能根据公理判断过点画平行线的条数，利用推论证明两直线平行。 3.几何图形的抽象与转化：能将生活情境、跨学科问题转化为平行线相关的几何模型，运用知识点解决实际问题。 难点 1.平行线的性质与判定的综合应用：在复杂图形中，需多次交替使用性质和判定，逻辑推理链条较长。 2.辅助线的添加：针对折线图形，能准确判断拐点并添加平行线，将复杂角转化为可利用的同位角、内错角或同旁内角。 3.分类讨论思想的应用：在旋转、多直线相交等问题中，需全面考虑不同情况，避免漏解（如旋转方向、直线位置的不同情况）。 【对应练习题】 一、单选题 1．（贵州省贵阳市2025-2026学年上学期期末质量监测八年级数学试卷）如图，直线，被直线所截，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”即可解得的大小． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则的余角是 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质、平行公理、余角的定义，熟练掌握线段的性质、平行公理、余角的定义是解题的关键． 根据线段的性质、平行公理、余角的定义解答即可． 【详解】解：A、∵两点之间线段最短，不是直线，∴A错误； B、∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但选项B未指定“直线外”，∴B错误； C、∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但选项C未指定“同一平面内”，∴C错误； D、∵余角的定义：若，则其余角为，∴D正确． 故选：D． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知，且平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质，，因为平分，所以，再由平行线的性质，即可求得． 【详解】解：∵，， 平分， ， ， ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 三、解答题 11．（20-21七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． （1）利用平行线的性质和等量代换得到同旁内角互补，进而判定两直线平行； （2）根据平行线的性质建立角度关系，设，，根据两直线平行，同旁内角互补，得到关于的方程，解方程，最后通过角度的和差关系求出的度数． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ， ， ． （2）解：，， ，， ． 设，． ， ， ， 即， 解得， ，， ． 14．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 15．（25-26七年级上·山西长治·期末）当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据易得，根据平行线的性质得到、，进而得到，，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． 【详解】解：，都与地面l平行， ， 、， ，， ，， ， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 平行线 知识点1：平行线的定义与平面内两直线位置关系 类别 详情 定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作“”，读作“平行于” 位置关系 同一平面内不重合的两条直线，只有相交和平行两种位置关系（重合视为一条直线） 拓展 线段或射线平行，指它们所在的直线平行 知识点2：平行线的画法 1.步骤：一“落”（三角尺一条直角边落在已知直线上）、二“靠”（直尺紧靠三角尺另一条直角边）、三“推”（沿直尺推动三角尺至已知点）、四“画”（沿三角尺过已知点的边画直线）。 2.工具：三角尺和直尺，或方格纸（利用方格边长平行的特征）。 知识点3：平行公理及其推论 类别 详情 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（体现存在性和唯一性） 推论 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即“平行于同一直线的两直线平行”，体现传递性）；用a、b、c三条直线表示为：若，，则 知识点4：平行线的判定 类别 详情 判定1 同位角相等，两直线平行（形如“F”，∠1与∠2） 判定2 内错角相等，两直线平行（形如“Z”，∠1与∠3） 判定3 同旁内角互补，两直线平行（形如“U”，∠1与∠4） 判定4 补充判定：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 知识点5：平行线的性质 类别 详情 性质1 两直线平行，同位角相等（形如“F”，∠1与∠2） 性质2 两直线平行，内错角相等（形如“Z”，∠1与∠3） 性质3 两直线平行，同旁内角互补（形如“U”，∠1与∠4） 拓展 平行线间的距离处处相等（夹在两条平行线间的垂线段长度相等） 【基础必考题型】 【题型1】平行线的识别与位置关系判断 1.核心知识点 平行线的定义（同一平面内不相交）。 平面内两直线的位置关系（相交、平行）。 2.解题方法技巧 识别平行线：先判断是否在同一平面内，再看是否无公共点。 位置关系判断：排除重合情况，根据“相交”（有一个公共点）或“平行”（无公共点）分类。 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠 B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【变式题1-1】.（25-26七年级上·北京·月考）如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【变式题1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，这是一个正方体． (1)写出三对互相平行的棱，用符号表示并指出它们之间的距离． (2)在正方形中可以找出几对互相垂直的边？ 【变式题1-3】.（24-25八年级下·浙江·假期作业）如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【题型2】平行公理及其推论的应用 1.核心知识点 平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）。 平行公理的推论（平行于同一直线的两直线平行）。 2.解题方法技巧 应用平行公理：判断过某点画平行线的条数（直线外一点1条，直线上无平行线）。 应用推论：通过中间直线传递平行关系，证明两直线平行。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知直线AB和直线外一点P，过点P作直线与AB平行，这样的直线有 条． 【变式题2-1】.（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【变式题2-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【变式题2-3】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【题型3】平行线判定方法的选择与简单应用 1.核心知识点 平行线的三种判定方法（同位角、内错角、同旁内角）。 “三线八角”的识别（截线、被截直线的区分）。 2.解题方法技巧 识别“三线八角”：先确定截线（与两条直线都相交的直线），再判断角的类型。 选择判定方法：根据已知角的类型，对应选择同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来判定平行。 【例题3】.（22-23八年级上·河南平顶山·期末）如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【变式题3-1】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为点H．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （垂直的定义）， 又（已知）， ∴－∠______＝______（等式的性质）． ∴∠______＝______（______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【变式题3-3】.（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，已知，求证：． （2）如图，平分，平分，，，求证：． 【题型4】平行线性质的基础角度计算 1.核心知识点 平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。 对顶角、邻补角的性质。 2.解题方法技巧 标记图形：找出平行线被截形成的同位角、内错角或同旁内角，结合对顶角、邻补角转化角度。 计算步骤：先明确平行关系，再确定角的位置关系，最后根据性质计算未知角。 【例题4】.（25-26八年级上·河南开封·月考）如图，点，分别在和上，平分，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·山西长治·期末）如图，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·广东湛江·月考）湛江是广东省海岸线最长的地级市．如图，点A，B，C分别表示东海岛、南三岛、硇（náo）洲岛，其中B处在A处的北偏东，C处在A处的南偏东，B处在C处的北偏西，从B处看A，C两处的视角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，点D，B分别在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【培优高频题型】 【题型5】开放题：添加条件使两直线平行 1.核心知识点 平行线的判定方法（同位角、内错角、同旁内角）。 角的关系与平行关系的转化。 2.解题方法技巧 逆向思维：根据目标平行关系，反推需要的角的关系（如要证，可添加“同位角相等”“内错角相等”或“同旁内角互补”）。 多角度思考：同一平行关系可添加不同条件，优先选择简洁的角的关系（如直接添加某组同位角相等）。 【例题5】.（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，被直线EF所截，与交于点E，与交于点，添加一个条件使得，你添加的条件是 ．（添加一个即可） 【变式题5-1】.（24-25七年级下·山东青岛·月考）（1）如图①，E是延长线上一点，如果添加一个条件，使，则可添加的条件为： ，（任意添加一个符合题意的条件即可） （2）如图②，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②：③；④．其中能判定的是 ．（填序号） 【变式题5-2】.（24-25七年级下·江西上饶·月考）如图，，试再添上一个条件使，添加的条件为 （不再添加任何字母或数字标注）． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·河南郑州·期末）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． 如图， ，数学课上，老师请同学们根据图形的特征添加一个条件，使得 ，并给出说明过程． 小丽添加的条件：．请你帮小丽将下面的说明过程补充完整． 解：∵ （ 已知 ）， ∴① _______（② ）， ∴ ③ _______（ ④ ）， ∵（已知）， ∴⑤ _______（⑥ ）， ∴（等量代换 ）． 【题型6】生活情境中的平行线应用（建筑/交通） 1.核心知识点 平行线的判定与性质。 垂线段最短的性质。 2.解题方法技巧 情境转化：将生活场景（如道路拐弯、建筑横梁、铁轨铺设）抽象为几何图形，找出平行线和截线。 结合实际需求：如“道路保持平行”转化为“同位角相等”，“最短管道”转化为“垂线段最短”。 【例题6】.（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在修建铁路时为了保证两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了（铁轨和枕木都看作直线）．如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在，，三处经过三次拐弯后，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即）．若，，求的度数． 【变式题6-3】.（24-25六年级下·山东烟台·期末）如图是某老旧小区在改造天然气管道，从A处出发沿北偏东方向到达B处，由于人工湖的影响，从B处沿北偏西方向到C处，从C处沿着与BC垂直的方向铺设，就可以保持与AB的方向一致（即），到达天然气管道终点D处．请你证明． 【题型7】跨学科融合：光的反射/折射中的平行问题 1.核心知识点 平行线的判定（同位角相等、内错角相等）。 光的反射定律（反射角=入射角）。 2.解题方法技巧 提取几何模型：从光的反射情境中分离出“法线（垂线）”“入射光线”“反射光线”，确定截线（法线）和被截直线（入射光线与反射光线）。 角度转化：利用反射角=入射角得到等角，再根据平行线判定证明光线平行。 【例题7】.（24-25七年级下·河南周口·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与入射光线平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则 ． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·山东临沂·期末）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图①，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射．此时，． (1)与的大小关系是______；和的大小关系是相等，依据是______；反射光线与平行，依据是______； (2)解决问题： ①如图②，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若反射出的光线平行于，且，求和的度数； ②在①中若，则______，若，则______； (3)由（2）请你猜想：当______时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的，并证明． 【压轴素养题型】 【题型8】折叠问题中的平行线性质应用 1.核心知识点 平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）。 折叠的性质（折叠前后对应角相等）。 2.解题方法技巧 结合折叠性质：找出折叠后重合的角，转化为相等的角。 利用平行性质：通过平行线传递角的关系，建立已知角与未知角的等式。 【例题8】.（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为 ． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·山东临沂·期中）【问题情境】学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的（如图中的，虚线部分表示折痕）． 【操作发现】 发现一：第一次折叠后，如图②所示，得到的折痕与直线之间的位置关系是_______； 发现二：将正方形纸展开，再进行第二次折叠，如图③所示，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是_______； 发现三：再将正方形纸展开，如图④所示，可得第二次折痕所在的直线即为过点P所作的已知直线的平行线．从图中可知，小明画平行线的依据有_______． ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行． A．①②        B．②③        C．③④        D．①④ 【解决问题】 保持④中与的位置关系不变，直线与直线相交，交点分别为平分平分和平行吗？为什么？ 【变式题8-3】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）【知识初探】 （1）王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平； ②再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线． 王芳同学只写了部分证明过程就有事离开，请你帮她把证明过程补充完整； 证明：由折叠可知： 又∵ ∴ …… 【深入探究】（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】（3）王伟同学改变直线和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段上），再画出和的角平分线所在的直线交于点G，请求出的度数． 【题型9】旋转问题中的平行判定与性质综合 1.核心知识点 平行线的判定与性质。 旋转的性质（旋转前后角度不变）。 分类讨论思想。 2.解题方法技巧 分情况画图：根据旋转方向（顺时针/逆时针）和旋转角度，画出不同位置的图形。 角度计算：结合旋转性质得到等角，再利用平行的判定或性质建立方程，求解旋转角度。 【例题9】.（24-25七年级下·江西宜春·期末）五一假期，“绚丽赣江景，多彩英雄城”南昌一江两岸主题灯光秀盛大上演．在赣江边两条笔直且平行的观景栈道上分别设有P，Q两盏激光灯（如图），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，此时光线也停止旋转．若光线先转45秒，光线才开始转动．当光线旋转时间为 秒时，． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【变式题9-2】.（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【题型10】辅助线添加：过拐点作平行线 1.核心知识点 平行线的性质与判定。 辅助线的添加技巧（过折线拐点作平行线）。 2.解题方法技巧 识别拐点：当图形中出现折线（如“Z”形、“U”形、“猪蹄形”）时，过拐点作已知直线的平行线。 利用平行性质：通过添加的平行线，将复杂角分解为同位角、内错角或同旁内角，转化角度关系。 【例题10】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，分别平分，则 ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·宁夏银川·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件： ，； ； ； ； ．能判断直线的有 （填序号）． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【变式题10-3】.（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，、分别在射线、上，连接、，的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由： (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（）的条件下，若，，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 易错点 1.混淆平行线的性质与判定：性质是“由平行得角的关系”，判定是“由角的关系得平行”，容易颠倒使用条件和结论。 2.忽略“同一平面内”的前提：平行公理及其推论、平行线的定义均要求“在同一平面内”，易忽略此条件导致错误（如空间中不相交的直线不一定平行）。 3.“三线八角”识别错误：在复杂图形中，无法准确区分截线和被截直线，导致同位角、内错角、同旁内角判断错误。 重点 1.平行线的核心性质与判定方法：熟练掌握“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”与“两直线平行”的互推关系。 2.平行公理及其推论的应用：能根据公理判断过点画平行线的条数，利用推论证明两直线平行。 3.几何图形的抽象与转化：能将生活情境、跨学科问题转化为平行线相关的几何模型，运用知识点解决实际问题。 难点 1.平行线的性质与判定的综合应用：在复杂图形中，需多次交替使用性质和判定，逻辑推理链条较长。 2.辅助线的添加：针对折线图形，能准确判断拐点并添加平行线，将复杂角转化为可利用的同位角、内错角或同旁内角。 3.分类讨论思想的应用：在旋转、多直线相交等问题中，需全面考虑不同情况，避免漏解（如旋转方向、直线位置的不同情况）。 【对应练习题】 一、单选题 1．（贵州省贵阳市2025-2026学年上学期期末质量监测八年级数学试卷）如图，直线，被直线所截，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（　　） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，则的余角是 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知，且平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 10．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 三、解答题 11．（20-21七年级下·河南周口·期中）如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 14．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 15．（25-26七年级上·山西长治·期末）当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $