专题7.1相交线 （寒假衔接讲义）（5大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

7.1 相交线 知识点1：邻补角 类别 详情 定义 有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角（如∠1与∠2）（“邻”指位置相邻，“补”指数量互补） 性质 邻补角互补，即两个邻补角的和为180° 特征 成对出现，且有一条公共边，另一边互为反向延长线 知识点2：对顶角 类别 详情 定义 有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角（如∠3与∠4） 性质 对顶角相等 特征 成对出现，公共顶点唯一，两边互为反向延长线，与位置无关 知识点3：垂线 类别 详情与图片 定义 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足（记作“⊥”，读作“垂直于”） 画法 用三角板“落（直角边重合已知直线）、移（经过已知点）、画（沿另一直角边画直线）”三步完成；过直线上或直线外一点均可画垂线 性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 知识点4：垂线段与点到直线的距离 类别 详情与图片 垂线段定义 过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段 核心性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”） 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是长度，不是线段本身） 知识点5：同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 类别 详情与图片 形成条件 两条直线被第三条直线（截线）所截，构成八个角（三线八角） 同位角 在截线同侧，且在两条被截直线同一方的角（形如“F”，∠1与∠2） 内错角 在截线两侧，且在两条被截直线之间的角（形如“Z”，∠1与∠3） 同旁内角 在截线同侧，且在两条被截直线之间的角（形如“U”，∠1与∠4） 【基础必考题型】 【题型1】邻补角与对顶角的识别 1.核心知识点 邻补角的定义（有公共边+另一边互为反向延长线） 对顶角的定义（有公共顶点+两边互为反向延长线） 2.解题方法技巧 识别邻补角：先找公共边，再验证另一边是否互为反向延长线 识别对顶角：排除有公共边的情况，重点验证两边是否互为反向延长线 【例题1】.下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【变式题1-2】.下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【题型2】利用邻补角和对顶角求基础角度 1.核心知识点 邻补角互补（和为） 对顶角相等的性质 2.解题方法技巧 标记图形中已知角的对顶角和邻补角，建立数量关系 遇比例关系设未知数，结合互补或相等性质列方程求解 【例题2】.如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【变式题2-1】.如图，点在直线上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.如图，已知是直线上一点，如果平分，的度数比的2倍大，那么 度． 【变式题2-3】.如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3】垂线的画法与垂直关系识别 1.核心知识点 垂线的定义（交角为） 垂线的规范画法步骤 2.解题方法技巧 画法遵循“落（直角边重合直线）→移（经过已知点）→画（沿另一直角边画线）”，垂足标注 识别垂直：看交角是否为，或邻补角是否相等（邻补角相等即直角） 【例题3】.已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【变式题3-1】.如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式题3-3】.如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【培优高频题型】 【题型4】生活情境中的垂线段最短应用 1.核心知识点 垂线段最短的性质 点到直线的距离实际转化 2.解题方法技巧 转化实际需求：将“最省材料”“最短路径”转化为“找点到直线的垂线段” 画图辅助分析：明确直线（如河岸、铁路）和点（如村庄、水泵站）的位置关系 【例题4】.如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【变式题4-1】.已知直线可表示为直线，点O到直线的距离为3，则点O的轨迹是 ． 【变式题4-2】.如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【变式题4-3】.有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型5】跨学科融合：光的折射/反射中的角度计算 1.核心知识点 邻补角互补、对顶角相等 垂线的定义（法线与镜面垂直） 2.解题方法技巧 提取几何模型：从光的折射/反射情境中分离相交线、垂线结构 利用特殊关系：反射角=入射角、法线与镜面成，结合邻补角推导未知角 【例题5】.如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路．已知角，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF，使之与地面的夹角为（   ） 如 A． B． C． D． 【变式题5-1】.当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 度． 【变式题5-2】.光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【变式题5-3】.如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    【题型6】三线八角的图形识别（含复杂图形分离） 1.核心知识点 同位角、内错角、同旁内角的位置特征 “三线”（截线+两条被截直线）的识别方法 2.解题方法技巧 分离图形：标记截线和被截直线，剔除无关线段简化图形 特征匹配：按“F”（同位角）、“Z”（内错角）、“U”（同旁内角）的形状快速判断 【例题6】.下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 【变式题6-2】.如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【变式题6-3】.如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 （4对选2对即可） 与 与 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 【压轴素养题型】 【题型7】核心素养：几何推理与测量方案设计 1.核心知识点 对顶角相等、邻补角互补的性质 几何推理与转化思想 2.解题方法技巧 设计思路：将不可直接测量的内部角，通过对顶角或邻补角转化为外部可测量角 方案示例：测量时，延长至，测，则 【例题7】.如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【变式题7-1】.胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【变式题7-2】.要测量一个古城墙墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是（   ） 方案I： ①延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． 方案II： ①延长到点，延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 【变式题7-3】.古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【题型8】n条直线相交的对顶角/邻补角对数探究 1.核心知识点 对顶角、邻补角的定义 从特殊到一般的规律探究思想 2.解题方法技巧 特殊值推导：先计算2条、3条、4条直线相交的对数，总结规律 公式应用：n条直线相交于一点，对顶角有对，邻补角有对 【例题8】.（1）平面内有3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条呢？n条呢？（不包括平角） （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立吗？ 【变式题8-1】.观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【变式题8-2】.如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【变式题8-3】.观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 易错点 1.混淆邻补角与对顶角的定义：误将“互补的角”当作邻补角（忽略位置关系），或误将“相等的角”当作对顶角（忽略两边反向延长线条件）。 2.误解“垂线段”与“垂线”“点到直线的距离”：将垂线段本身当作距离（距离是长度），或认为垂线有长度（垂线是直线，无法度量）。 3.三线八角识别错误：在复杂图形中找不到截线和被截直线，或混淆内错角与同旁内角的位置特征。 4.忽略“同一平面内”的前提：误认为过一点可以画多条直线与已知直线垂直（同一平面内只有一条）。 重点 1.邻补角和对顶角的性质应用：熟练利用“邻补角互补、对顶角相等”进行角度计算。 2.垂线的性质与画法：掌握垂线的“唯一性”和“垂线段最短”，能规范画出垂线。 3.三线八角的识别：准确区分同位角、内错角、同旁内角，为后续平行线的判定奠定基础。 4.实际问题转化：能将生活情境、跨学科问题转化为相交线相关的几何模型，运用知识点解决。 难点 1.复杂图形中的角度综合计算：涉及角平分线、垂线、对顶角、邻补角的多重结合，需理清角之间的数量关系。 2.分类讨论思想的应用：在垂线旋转、多直线相交等问题中，需全面考虑不同情况，避免漏解。 3.几何推理与方案设计：根据已知条件进行逻辑推理，或设计合理的测量方案，体现几何的实用性和推理能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1     D．不大于1 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线、相交于O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ∵OE平分， ∴． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是 ． 7．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，点在直线上，平分，．若，求的度数． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 13．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 14．（上海市松江区2025--2026学年六年级数学上学期期末考试卷）如图所示，点A、O、B在同一直线上，． (1)如图1，若，则图中的余角有______． (2)如图2，若平分，且，求的度数． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 相交线 知识点1：邻补角 类别 详情 定义 有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角（如∠1与∠2）（“邻”指位置相邻，“补”指数量互补） 性质 邻补角互补，即两个邻补角的和为180° 特征 成对出现，且有一条公共边，另一边互为反向延长线 知识点2：对顶角 类别 详情 定义 有一个公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角，互为对顶角（如∠3与∠4） 性质 对顶角相等 特征 成对出现，公共顶点唯一，两边互为反向延长线，与位置无关 知识点3：垂线 类别 详情与图片 定义 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足（记作“⊥”，读作“垂直于”） 画法 用三角板“落（直角边重合已知直线）、移（经过已知点）、画（沿另一直角边画直线）”三步完成；过直线上或直线外一点均可画垂线 性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 知识点4：垂线段与点到直线的距离 类别 详情与图片 垂线段定义 过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段叫做垂线段 核心性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”） 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是长度，不是线段本身） 知识点5：同位角、内错角、同旁内角（三线八角） 类别 详情与图片 形成条件 两条直线被第三条直线（截线）所截，构成八个角（三线八角） 同位角 在截线同侧，且在两条被截直线同一方的角（形如“F”，∠1与∠2） 内错角 在截线两侧，且在两条被截直线之间的角（形如“Z”，∠1与∠3） 同旁内角 在截线同侧，且在两条被截直线之间的角（形如“U”，∠1与∠4） 【基础必考题型】 【题型1】邻补角与对顶角的识别 1.核心知识点 邻补角的定义（如，有公共边+另一边互为反向延长线） 对顶角的定义（如，有公共顶点+两边互为反向延长线） 2.解题方法技巧 识别邻补角：先找公共边，再验证另一边是否互为反向延长线 识别对顶角：排除有公共边的情况，重点验证两边是否互为反向延长线 【例题1】.下列选项中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握并运用定义是解决本题的关键． 由对顶角的定义去进行逐一判断即可． 【详解】解： A、B、C三个选项中不符合“互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线”的定义，错误，不符合题意； 选项D中的符合对顶角的定义，正确，符合题意； 故选：D． 【变式题1-1】.如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 【变式题1-2】.下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 【变式题1-3】.如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 【题型2】利用邻补角和对顶角求基础角度 1.核心知识点 邻补角互补（和为） 对顶角相等的性质 2.解题方法技巧 标记图形中已知角的对顶角和邻补角，建立数量关系 遇比例关系设未知数，结合互补或相等性质列方程求解 【例题2】.如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 【变式题2-1】.如图，点在直线上，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用邻补角的定义求角的度数，根据计算即可得出结果，熟练掌握邻补角的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，且， ∴， 故选：D． 【变式题2-2】.如图，已知是直线上一点，如果平分，的度数比的2倍大，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键是正确设出未知数，建立方程求解． 由角平分线设，表示出，再由建立方程求解． 【详解】解：∵平分， ∴设， ∴ ∵的度数比的2倍大， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式题2-3】.如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ．      故选：A． 【题型3】垂线的画法与垂直关系识别 1.核心知识点 垂线的定义（交角为） 垂线的规范画法步骤 2.解题方法技巧 画法遵循“落（直角边重合直线）→移（经过已知点）→画（沿另一直角边画线）”，垂足标注 识别垂直：看交角是否为，或邻补角是否相等（邻补角相等即直角） 【例题3】.已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，互补、互余的概念，掌握概念是解题关键．由对顶角相等可得，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， 与互余， 故选：B． 【变式题3-1】.如图，下列线段的长度与点C到所在直线的距离相等的是线段（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度是解题的关键．先明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线所作垂线段的长度，再找到点C到的垂线段，对比选项中线段的长度是否与该垂线段相等． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，点C到所在直线的距离，是从C向所作垂线段的长度， 观察图形，，因此的长度就是点C到的距离． 故选：D． 【变式题3-2】.如图，因为，，所以与重合的理由是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质，熟练掌握垂线的性质是解题的关键． 由垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断． 【详解】解：因为，，所以与重合的理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 【变式题3-3】.如图，，，垂足分别是点、．点到直线的距离是线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离．由点到直线的距离定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为： 【培优高频题型】 【题型4】生活情境中的垂线段最短应用 1.核心知识点 垂线段最短的性质 点到直线的距离实际转化 2.解题方法技巧 转化实际需求：将“最省材料”“最短路径”转化为“找点到直线的垂线段” 画图辅助分析：明确直线（如河岸、铁路）和点（如村庄、水泵站）的位置关系 【例题4】.如图，某条公路可视为直线，从公路外一点向公路前进，三条路线中最短的是 ，依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段最短． 根据垂线段最短进行解答即可得． 【详解】解：∵线段是垂线段，∴线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 【变式题4-1】.已知直线可表示为直线，点O到直线的距离为3，则点O的轨迹是 ． 【答案】两条直线：或 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离公式，设点的坐标为，则点到直线的距离为，令其等于3，解方程可得点的轨迹，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵直线可表示为直线，点O到直线的距离为3， ∴设点的坐标为， ∴点到直线的距离为． 由题意可得：， 解得：或， ∴点的轨迹是两条直线：或， 故答案为：两条直线：或． 【变式题4-2】.如图，平面上有3个点，，． (1)作线段，射线和直线；过点作直线的垂线，垂足为． (2)比较线段长短：_____（填“”或“”或“”）．能说明这个结论正确的依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_____． 【答案】(1)图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题考查画直线，线段和垂线，以及垂线段最短，熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键： （1）根据要求作图即可； （2）根据垂线段最短，进行比较，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【变式题4-3】.有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 【题型5】跨学科融合：光的折射/反射中的角度计算 1.核心知识点 邻补角互补、对顶角相等 垂线的定义（法线与镜面垂直） 2.解题方法技巧 提取几何模型：从光的折射/反射情境中分离相交线、垂线结构 利用特殊关系：反射角=入射角、法线与镜面成，结合邻补角推导未知角 【例题5】.如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路．已知角，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF，使之与地面的夹角为（   ） 如 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式题5-1】.当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 度． 【答案】16 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差．根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：16． 【变式题5-2】.光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 【变式题5-3】.如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    【答案】71 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识. 根据, 得, 所以, 再根据,得, 即可得. 【详解】∵, ∴, ∵, ∴ ∵, ∴, ∴. 故答案为：. 【题型6】三线八角的图形识别（含复杂图形分离） 1.核心知识点 同位角、内错角、同旁内角的位置特征 “三线”（截线+两条被截直线）的识别方法 2.解题方法技巧 分离图形：标记截线和被截直线，剔除无关线段简化图形 特征匹配：按“F”（同位角）、“Z”（内错角）、“U”（同旁内角）的形状快速判断 【例题6】.下列图形中，和不是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角； 根据同位角的定义对各个选项中和的位置进行分析即可得出答案．本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： A．和是同位角，不符合题意； B．和是同位角，不符合题意； C．和是同位角，不符合题意； D．中的和不是同位角，符合题意； 故选：D． 【变式题6-1】.如图，在，，，，和中，同位角的对数为a，内错角的对数为b，同旁内角的对数为c，则 ． 【答案】16 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念去计算出的值并计算即可． 本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角的基本概念，熟练掌握并能够识别是解决本题的关键． 【详解】解：同位角有与，与； 内错角有与，与； 同旁内角有与，与，与，与． 故，，， ∴． 故答案为：16． 【变式题6-2】.如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 【变式题6-3】.如图，直线被直线所截，交点分别为，那么图中的同位角、内错角、同旁内角各有多少对？请分别写出两对，填入下表． 名称 对数 举例 同位角 内错角 同旁内角 【答案】同位角4对，内错角2对，同旁内角2对； 名称 对数 举例 同位角 4 与 与 与 与 （4对选2对即可） 内错角 2 与 与 同旁内角 2 与 与 【分析】本题主要考查根据同位角、内错角、同旁内角的定义，找出直线、被直线所截形成的相应角的对数并举例即可． 【详解】确定同位角的对数并举例：同位角位于截线同侧，被截直线同一侧的角，故为与、与、与、与共4对； 确定内错角的对数并举例：同位角位于截线两旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 确定同旁内角的对数并举例：同旁内角位于截线同旁，被截两条直线之间的角，故为与、与共2对； 【压轴素养题型】 【题型7】核心素养：几何推理与测量方案设计 1.核心知识点 对顶角相等、邻补角互补的性质 几何推理与转化思想 2.解题方法技巧 设计思路：将不可直接测量的内部角，通过对顶角或邻补角转化为外部可测量角 方案示例：测量时，延长至，测，则 【例题7】.如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题的关键． 由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由量角器可知，， ∴， 即所量内角的度数为， 故答案为：． 【变式题7-1】.胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的同位角，内错角，同旁内角 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 【变式题7-2】.要测量一个古城墙墙角的度数，但人站在墙外，无法直接测量，甲、乙两名同学提供了下面的间接测量方案．下列判断正确的是（   ） 方案I： ①延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． 方案II： ①延长到点，延长到点； ②测出的度数，即可得到的度数． A．I、II都可行 B．I、II都不可行 C．I可行、II不可行 D．I不可行、II可行 【答案】A 【分析】本题主要考查邻补角互补和对顶角相等，根据作图可得是平角，则与互补，可知方案Ⅰ可行；根据对顶角相等可知方案Ⅱ可行． 【详解】解：由作图可得是平角， ∴与互补， ∴ ， ∴方案Ⅰ可行； 由作图可得与是对顶角， ∴， ∴方案Ⅱ可行； 综上分析可知：I、II都可行． 故选：A． 【变式题7-3】.古城黄冈旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋荫”便是其八景之一．为了实地测量“柏子塔”外墙底部的底角（图中的大小，张扬同学设计了两种测量方案： 方案1：作的延长线，量出的度数，便知的度数； 方案2：作的延长线，的延长线，量出的度数，便知的度数． 同学们，你能解释他这样做的道理吗？ 【答案】方案1利用了邻补角的性质；方案2利用了对顶角的性质 【分析】本题主要考查对顶角和邻补角，牢记对顶角的定义和性质（对顶角相等），邻补角的定义是解题的关键． （1）根据邻补角求出结果即可； （2）根据对顶角相等求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵与为邻补角， ∴根据邻补角的性质可得：， ∴量出的度数，便知的度数； 方案2：∵与为对顶角， ∴根据对顶角相等可得：， ∴量出的度数，便知的度数． 【题型8】n条直线相交的对顶角/邻补角对数探究 1.核心知识点 对顶角、邻补角的定义 从特殊到一般的规律探究思想 2.解题方法技巧 特殊值推导：先计算2条、3条、4条直线相交的对数，总结规律 公式应用：n条直线相交于一点，对顶角有对，邻补角有对 【例题8】.（1）平面内有3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条呢？n条呢？（不包括平角） （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立吗？ 【答案】（1）3条直线相交于一点，共有6对对顶角；4条直线相交于一点，共有12对对顶角；10条直线相交于一点，共有90对对顶角；n条直线相交于一点，共有对对顶角． （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律． （1）由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （2）由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． 【详解】解：（1）如图， 图①中2条直线相交于一点共有对对顶角， 图②中3条直线相交于一点共有对对顶角， 图③中4条直线相交于一点共有对对顶角， ……， 根据上面的规律，10条直线相交于一点有对对顶角； 若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （2）（1）中的结论仍然成立．如图， 2条直线相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， 3条直线两两相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， 4条直线两两相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， ……， 根据上面的规律，若有n条直线相交于一点（没有重复的交点），则可形成对对顶角． 【变式题8-1】.观察以下图形，寻找对顶角及邻补角．    (1)图（1）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (2)图（2）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (3)图（3）中共有　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (4)根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为∶若n条直线相交于一点，则可形成　　　　对对顶角，　　　　对邻补角． (5)若100条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4) (5)可形成9900对对顶角；19800对邻补角 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （1）根据图形直接得出答案即可； （2）根据图形直接得出答案即可； （3）根据图形直接得出答案即可； （4）由特殊情况总结出一般规律； （5）再由（4）得出的规律进行解答即可． 【详解】（1）图①中共有2对对顶角，4对邻补角， 故答案为：2，4； （2）图②中共有6对对顶角，12对邻补角， 故答案为：6，12； （3）图③中共有12对对顶角，24对邻补角， 故答案为：12，24； （4）根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角， 故答案为：，； （5）若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角， 【变式题8-2】.如图所示，两条直线相交所组成的角中，对顶角有2对，三条直线相交，交点最多时所组成的角中，对顶角有6对……那么条直线相交，交点最多时，所组成的角中对顶角有（　　）    A．对 B．2对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查了图形与规律，对顶角的定义，找到图形的变化规律是解题的关键．解答此类的方法是从特殊的前几个图形进行分析找出规律．观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形有1个交点，对顶角有2对，第二个图形有3个交点，对顶角有6对，第三个图形有6个交点，对顶角有12对，从中找规律即可解答． 【详解】解：两条直线相交只有1个交点，对顶角有对， 三条直线相交有3个交点，对顶角有对， 四条直线相交有6个交点，对顶角有对， 则n条直线相交，交点最多时，所组成的角中，对顶角有对， 故选：C． 【变式题8-3】.观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． 规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角； 归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 易错点 1.混淆邻补角与对顶角的定义：误将“互补的角”当作邻补角（忽略位置关系），或误将“相等的角”当作对顶角（忽略两边反向延长线条件）。 2.误解“垂线段”与“垂线”“点到直线的距离”：将垂线段本身当作距离（距离是长度），或认为垂线有长度（垂线是直线，无法度量）。 3.三线八角识别错误：在复杂图形中找不到截线和被截直线，或混淆内错角与同旁内角的位置特征。 4.忽略“同一平面内”的前提：误认为过一点可以画多条直线与已知直线垂直（同一平面内只有一条）。 重点 1.邻补角和对顶角的性质应用：熟练利用“邻补角互补、对顶角相等”进行角度计算。 2.垂线的性质与画法：掌握垂线的“唯一性”和“垂线段最短”，能规范画出垂线。 3.三线八角的识别：准确区分同位角、内错角、同旁内角，为后续平行线的判定奠定基础。 4.实际问题转化：能将生活情境、跨学科问题转化为相交线相关的几何模型，运用知识点解决。 难点 1.复杂图形中的角度综合计算：涉及角平分线、垂线、对顶角、邻补角的多重结合，需理清角之间的数量关系。 2.分类讨论思想的应用：在垂线旋转、多直线相交等问题中，需全面考虑不同情况，避免漏解。 3.几何推理与方案设计：根据已知条件进行逻辑推理，或设计合理的测量方案，体现几何的实用性和推理能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1     D．不大于1 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．掌握垂线段最短是解答本题的关键．根据垂线段最短的性质，点P到直线的距离不大于从P到上任意点的线段长度． 【详解】解：垂线段最短， ∴点P到直线的距离不大于、、． ，，， ． 点P到直线的距离不大于，即不大于1． 故选：D． 2．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，直线、相交于O，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的和等于． 根据邻补角的和等于列式求出的度数，再根据对顶角相等解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 由，根据邻补角互补可求出，根据对顶角相等求出，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ， 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】考查对顶角相等这一数学性质在实际测量中的应用，利用对顶角相等的性质，通过量角器测量与扇形圆心角对顶的角的度数，从而得到扇形圆心角的度数． 【详解】解：利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 7．（24-25七年级下·山西太原·月考）如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有 对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和是直线 ， 被直线 所截得的 角；和是直线 ， 被直线 所截得的 角；直线AC，BC被直线AB所截得的同旁内角是 ． 【答案】 AB CD BE 同位 AB CD AC 内错 和 【分析】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形． 根据同位角、内错角：同旁内角的定义分别进行分析即可． 【详解】解：如图，和是直线，被直线所截得的同位角；和是直线，被直线所截得的内错角；直线，被直线所截得的同旁内角是和． 故答案为：①；②；③；④同位；⑤；⑥；⑦；⑧内错；⑨和． 9．（25-26七年级上·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为 （写出每组具体名称），则的值是 ． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 三、解答题 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图，点在直线上，平分，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义和邻补角的性质，利用角的和差关系建立方程是解题的关键． 由平分，可得，进而得，即，结合，可得，从而得，最后由即可求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏淮安·月考）作图题（用无刻度的直尺作图） 如图，已知网格上三点，，，按要求完成下列问题 (1)画出直线，射线． (2)过点画直线的垂线，垂足为；同时过点作出的平行线． (3)比较和的大小：_____，理由是_____； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)>，垂线段最短 【分析】本题考查了画直线，射线，网格作图，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直线，射线的定义进行作图即可； （2）结合网格的特征，以及两点确定一条直线，进行作图即可； （3）运用垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：直线，射线如图所示： （2）解：直线的垂线，的平行线，如图所示． （3）解：依题意，由（2）得， ∴，理由是垂线段最短． 13．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3) 【分析】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 14．（上海市松江区2025--2026学年六年级数学上学期期末考试卷）如图所示，点A、O、B在同一直线上，． (1)如图1，若，则图中的余角有______． (2)如图2，若平分，且，求的度数． 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，余角的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据垂线的定义可得，再由余角的定义可得答案； （2）根据平角的定义和角平分线的定义可推出，再由垂线的定义可得，则，再根据已知条件求出度数即可得到答案． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 所以， 所以图中的余角有和； （2）解：因为A、O、B共线， 所以即 因为平分 所以，即， 因为， 所以，即 所以， 又因为， 所以， 所以． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 【答案】(1)， (2) (3)，； 【分析】（1）按照补角的定义求即可，根据对顶角相等以及角平分线的定义求即可； （2）按照角平分线的定义以及对顶角的性质即可求解； （3）根据互余的两角之和为解答即可． 【详解】（1）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ∵ ， （2）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 与互余， ， ， 平分， ， ， 与互余， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了角的计算，对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，理解对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $