统计与概率：均值的实际应用、方差的实际应用专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：均值的实际应用、方差的实际应用专项训练 统计与概率：均值的实际应用、方差的实际应用专项训练 考点目录 均值的实际应用 方差的实际应用 考点一 均值的实际应用 例1．（2026·河北沧州·一模）某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月 月份代码 1 2 3 4 5 6 销量千辆 6 7 10 11 12 14 (1)已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量； (2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具． （Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率； （Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：经验回归方程，其中，． 参考数据：． 例2．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 例3．（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 例4．（25-26高三上·福建福州·月考）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 变式1．（25-26高三上·广东·月考）中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． (1)求个零件中恰有个不合格品的概率； (2)现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 变式2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 变式3．（24-25高二下·云南临沧·期末）小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 变式4．（24-25高二下·重庆·月考）在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. (1)求比赛4局决出胜负的概率； (2)求甲获得的奖金X的分布列与数学期望. (3)比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？ 考点二 方差的实际应用 例1．（24-25高三上·河北·期中）某商场将年度消费总金额不低于万的会员称为尊享会员，超过万不足万的会员称为星级会员．该商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性尊享会员名，女性尊享会员名． (1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为会员类型与性别有关？ 会员类型 会员性别 合计 男性会员 女性会员 尊享会员 星级会员 合计 (2)该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动，该活动以抽奖的形式进行，参与抽奖的会员从放有个红球和个白球（每个球除颜色不同外，其余完全相同）的抽奖箱中抽奖．抽奖规则：①每次抽奖时，每名会员从抽奖箱中随机摸出个球，若摸出的个球颜色相同即为中奖，若颜色不同即为不中奖；②每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖．抽奖方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球不放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖． 会员甲欲参加本次抽奖活动，请从中奖次数的期望与方差的角度分析，会员甲选择哪种方案较好？ 附：，其中． 例2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 例3．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 例4．（25-26高三上·上海宝山·月考）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 变式1．（25-26高三上·福建南平·月考）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 变式2．（25-26高三上·河南洛阳·月考）某公司计划在2025年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） 变式3．（25-26高三上·北京昌平·月考）北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况： 物理成绩等级 化学成绩等级 人数（名） 110 53 2 55 70 15 3 12 10 (1)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率； (2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）； (3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：均值的实际应用、方差的实际应用专项训练 统计与概率：均值的实际应用、方差的实际应用专项训练 考点目录 均值的实际应用 方差的实际应用 考点一 均值的实际应用 例1．（2026·河北沧州·一模）某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下： 时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月 月份代码 1 2 3 4 5 6 销量千辆 6 7 10 11 12 14 (1)已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量； (2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具． （Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率； （Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？ 参考公式：经验回归方程，其中，． 参考数据：． 【答案】(1)，千辆 (2)（Ⅰ）； （Ⅱ）28 【详解】（1）由题意得， ， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为， 当时，， 所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆． （2）（Ⅰ）设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件， 所以， 设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件， 则． （Ⅱ）设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为， 设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此， 调整后年利润为万元， 令，解得， 所以最多可以调28人到其他部门． 例2．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)先派出乙． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 例3．（25-26高三上·北京·月考）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，该队的比赛成绩记为，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立. (1)若，求的分布列； (2)若，，甲参加第一阶段比赛，求不小于的概率； (3)假设，为使得的数学期望尽量大，应该由谁参加第一阶段比赛？（直接写出结论） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)选甲参加第一阶段的比赛 【详解】（1）由题意可知，可取， 由于甲、乙每次投中的概率相等， 所以无论甲、乙谁先投篮，该队不能进入第二阶段的概率都为， 所以该队能进入第二阶段的概率都为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： （2）若不小于，则说明甲第一阶段投篮至少投中次，乙第二阶段投篮也至少投中次， 甲第一阶段投篮至少投中次的概率为， 乙第二阶段投篮至少投中次的概率为， 所以. （3）若甲先参加第一阶段的比赛，比赛成绩可取， ， ， ， ， 所以 所以， 所以， 若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩可取， 同理可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以应选甲参加第一阶段的比赛. 例4．（25-26高三上·福建福州·月考）在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为． (1)求每次测试结果为语音识别成功的概率； (2)若每次测试相互独立，且每次测试成本固定，现有两种测试方案： 方案一：测试4次结束测试； 方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次后结束测试，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？请说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)选择方案二，理由见解析 【详解】（1）记事件“安静环境”，“嘈杂环境”，“语音识别成功”， 则,，，， ，且，互斥， 所以． 即测试结果为语音识别成功的概率为． （2）因为每次测试成本固定，所以测试次数越少，测试成本越低． 设方案一和方案二测试成本分别为X，Y， 方案一：测试4次，则； 方案二：Y可取3，5， ， ， 随机变量Y的分布列如下表所示： Y 3 5 P 0.512 0.488 所以；所以， 即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二． 变式1．（25-26高三上·广东·月考）中国抗日战争胜利周年阅兵仪式既彰显了我国强大的军事实力，也显示我国强劲的军工制造能力．已知某国产军工零件成箱包装，每箱个，每一箱零件工厂在交付前要对其进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验的方式为：先从这箱零件中任取个作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有零件作检验．设每个零件为不合格品的概率均为，且各零件是否为不合格品相互独立． (1)求个零件中恰有个不合格品的概率； (2)现有一箱零件已经检验了个，并对不合格品做了更换．已知每个零件的检验费用为元，若剩余的零件中有不合格品进行了交付，则工厂要对每个不合格品支付元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有零件作检验？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)应对这箱余下的所有零件作检验，理由见解析 【详解】（1）记事件：“个零件恰有个不合格品”， 则， 即个零件恰有个不合格品的概率为. （2）设为余下个零件中的不合格品的个数，则； ①若不对该箱余下的零件作检验，这一箱零件的检验费用与赔偿费用和记为，则， ； ②若对该箱余下的零件作检验，则这一箱零件所需的检验费用为元； ，应对这箱余下的所有零件作检验. 变式2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和．已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为，各次答题是否正确相互独立． (1)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库， （i）求甲通过第一阶段的概率； （ii）求甲的比赛成绩为10分的概率； (2)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)应选择诗词基础知识题库． 【详解】（1）（i）方法1：若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为3或2， 甲通过第一阶段的概率为． 方法2：若甲第一阶段被淘汰，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为0或1， 甲第一阶段被淘汰的概率为． 甲通过第一阶段的概率为． （ii）若甲的比赛成绩为10分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目， 由（i）可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率为， 又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为10分的概率为． （2）若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 则，， ，， ． 若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量， 则的所有可能取值为0，5，10，15， 由题意可知，甲通过第一阶段的概率为， 甲第一阶段被淘汰的概率为， ，， ，， ， ， 为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库． 变式3．（24-25高二下·云南临沧·期末）小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 【答案】(1)（i）；（ii）； (2)第一题选题库中的题目，理由见解析. 【详解】（1）（i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 所以小明恰好获得100元奖金的概率为； （ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且， 所以， ， 综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率； （2）由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件， 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目. 变式4．（24-25高二下·重庆·月考）在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为. (1)求比赛4局决出胜负的概率； (2)求甲获得的奖金X的分布列与数学期望. (3)比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？ 【答案】(1) (2)分布列见解析，（元） (3)选五局三胜，理由见解析 【详解】（1）若甲获胜，则概率为； 若乙获胜，则概率为， 故比赛4局决出胜负的概率为. （2）由题意可知，X的取值可能为900，700，600，400，300，100， ，， ，， ，， 所以X的分布列为： X 900 700 600 400 300 100 P 所以（元）. （3）由（2）可知，五局三胜时，甲获胜的概率为， 三局两胜时，甲获胜的概率为， 所以更喜欢五局三胜制，因为这样甲获胜的概率更大！ 考点二 方差的实际应用 例1．（24-25高三上·河北·期中）某商场将年度消费总金额不低于万的会员称为尊享会员，超过万不足万的会员称为星级会员．该商场从以上两种会员中随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性尊享会员名，女性尊享会员名． (1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为会员类型与性别有关？ 会员类型 会员性别 合计 男性会员 女性会员 尊享会员 星级会员 合计 (2)该商场在今年店庆时将举办尊享与星级会员消费返利活动，该活动以抽奖的形式进行，参与抽奖的会员从放有个红球和个白球（每个球除颜色不同外，其余完全相同）的抽奖箱中抽奖．抽奖规则：①每次抽奖时，每名会员从抽奖箱中随机摸出个球，若摸出的个球颜色相同即为中奖，若颜色不同即为不中奖；②每名会员只能选一种抽奖方案进行抽奖．抽奖方案如下： 方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖； 方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球不放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖． 会员甲欲参加本次抽奖活动，请从中奖次数的期望与方差的角度分析，会员甲选择哪种方案较好？ 附：，其中． 【答案】(1)列联表答案见解析，有 (2)方案一，理由见解析 【详解】（1）根据题中信息得到如下列联表： 会员类型 会员性别 合计 男性会员 女性会员 尊享会员 星级会员 合计 由表格中的数据可得， 所以，依据小概率值的独立性检验，可以认为会员类型与性别有关. （2）设会员甲按照方案一、方案二抽奖的中奖次数分别为、， 对于方案一，则随机变量的可能取值有、、， 会员甲每次中奖的概率为，则， 所以，，， 对于方案二，则随机变量的可能取值有、、， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，， ， 所以，会员甲选择方案一较好. 例2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望 (2)甲班代表更好 【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 例3．（25-26高三上·江苏宿迁·月考）高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜 (1)求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率； (2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？ 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为, 则可能为2，3，4， 则, 由题意知，贾某轩答对的题数满足， 故, 闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道， 故共答对3首歌名的概率：. （2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下： X 2 3 4 P 故期望， 方差， 且，故，, 故. 所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定， 故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动 例4．（25-26高三上·上海宝山·月考）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得分，否则得分已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为. (1)求甲投篮次得分的概率； (2)若乙投篮次得分为，求的分布和期望； (3)比较甲、乙的比赛结果. 【答案】(1) (2)分布列见解析，3 (3)答案见解析 【详解】（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率为； （2）由题意知的所有可能取值为，，，， 则， ， 随机变量的分布为， 0 2 4 6 期望； （3）设甲三次投篮的得分，则，，，， 可求得随机变量的分布为， 0 2 4 6 所以 ， 又可算得， 因为，， 所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定. 变式1．（25-26高三上·福建南平·月考）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案： 方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元： 方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额. (1)求随机变量的分布列和数学期望： (2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2)应选择方案一，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、， ，，. . （2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则. ，， ，，. ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一； 法二：的值可能为、、、， ，， ，， 则， ， 因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一. 变式2．（25-26高三上·河南洛阳·月考）某公司计划在2025年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． (1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； (2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？ （参考数据，） 【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析 (2)大约在2028年年底总资产可以翻一番 【详解】（1）若投资项目一，设获利为万元， 则的分布列为 30 -15 P ． 若投资项目二，设获利为万元， 则的分布列为 50 0 -30 P ． ． ， ， ， 这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资． （2）假设n年后总资产可以翻一番， 依题意，，即， 两边取对数，得， ， 大约在2028年年底总资产可以翻一番． 变式3．（25-26高三上·北京昌平·月考）北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况： 物理成绩等级 化学成绩等级 人数（名） 110 53 2 55 70 15 3 12 10 (1)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩等级为，估计该生的化学成绩等级为的概率； (2)从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以表示这2人中物理､化学成绩等级均为的人数，求的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成绩等级均为的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为的概率）； (3)记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为，排名前的成绩方差为，排名后的成绩方差为，则不可能同时大于和，这种判断是否正确.（直接写出结论）. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析，数学期望为 (3)不正确 【详解】（1）设事件为“该生物理成绩等级为的情况下，化学成绩等级为”， 样本中物理成绩等级为的人数为，在该群体中化学成绩等级为的人数为110，所以频率为，由样本估计总体可得， 故该生物理成绩等级为，估计该生化学成绩等级为的概率为. （2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，物理､化学成绩等级均为的概率估计为. 由题意随机变量的取值范围是 则的分布列： 0 1 2 （3）不正确； 举例：，排名前的成绩均为分，方差为，排名后的成绩均为分，方差为，显然，所以，，故同时大于和. 2 学科网（北京）股份有限公司 $