仰角俯角问题、坡度坡角问题、三角函数的综合实际应用问题专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

仰角俯角问题、坡度坡角问题、三角函数的综合实际应用问题专项训练 仰角俯角问题、坡度坡角问题、三角函数的综合实际应用问题专项训练 考点目录 仰角俯角问题 坡度坡角问题 三角函数的综合实际应用问题 考点一 仰角俯角问题 例1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为． (1)过点作于点，求的值． (2)此时点相对于点升高了多少？ 例2．（25-26九年级上·山西运城·期末）每年的12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一货车在路口遇红灯刹车停下，如图，货车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)求货车的高度； (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该货车停车是否符合上述安全标准？四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 例3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）智能测量是一款非常有创意且实用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为多少米？（结果保留1位小数，参考数据，，，） 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）无人机是进行空中拍摄的常见工具．如图，两个观测者从两地观测空中处的一架无人机，分别测得仰角为，已知此时无人机的高度为．当无人机竖直向上飞行后到达点，在处测得无人机的仰角为．（参考数据：，，，，，） (1)求两地的距离． (2)很多城市有无人机限高，求继续匀速上升几秒后无人机达到限定高度． (3)假设无人机匀速上升时的速度与匀速水平飞行时的速度相同．到达限高后，无人机沿与平行的路线（如图所示）继续匀速飞行后，从处观测无人机的仰角为______． 变式1．（25-26九年级上·山西长治·月考）传承校训精神，彰显校园文化，凝聚学子情怀．在学校文化标识调研活动中，实践小组计划测量教学楼上方校徽的直径．为了获得准确数据，同学们在教学楼前进行实地测量．方法如下：如图，在距离教学楼校徽正下方楼底部点若干米的点处，利用测角仪测得校徽底部点的仰角为、校徽顶部点的仰角为．由于楼底部有台阶，所以小组成员在点处后退米至点处，再次利用测角仪测得校徽底部点的仰角为，校徽顶部点的仰角为，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，，，三点在同一条水平直线上，，，三点在同一条铅垂线上．请根据以上信息，求校徽的直径．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 变式2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）正定开元寺的须弥塔，始建于唐，历史悠久．在一次综合实践活动中，某中学数学小组用无人机测量须弥塔的高度． 活动主题 测量须弥塔的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 ①如图，塔高垂直于地面．将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得须弥塔顶端A的俯角为； ②在C处测出须弥塔底端B的俯角为（参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)________，________； (2)求测得须弥塔的高度是多少米？（结果保留整数） 变式3．（25-26九年级上·天津河北·期末）某校数学兴趣小组开展综合与实践活动，要用测角仪测量某图书馆主楼的高度．他们设计的测量方案如下：如图所示，点C，D，F依次在同一条水平直线上，，且．在M处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，在N处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，，根据该兴趣小组测得的数据，计算图书馆主楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 变式4．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，九年级一班综合实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌的高度的实践活动；测量过程如下：首先，身高的小亮位于点处（即m），此时他在太阳光线下的影长m，同一时刻，在太阳光线下的影长；接着，小强站在距离建筑物的处（即），用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端处的仰角，已知，，点、、、、在同一条直线上，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求广告牌的高度．（参考数据：，，） 考点二 坡度坡角问题 例1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管的坡度为，安装该热水器的铁架竖直管的长度为． (1)求真空管上端B到水平线的距离； (2)求安装该热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 例2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为，求楼房的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 例3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 例4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 变式2．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 变式3．（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 变式4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 考点三 三角函数的综合实际应用问题 例1．（25-26九年级上·山西长治·期末）项目学习 项目背景：九年级（1）班班主任计划在本班教室窗户下方的墙面上安装正六边形置物柜以方便同学们放置物品．综合实践小组的同学围绕“置物柜安装的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 置物柜安装的测量与计算 活动内容 通过测量与计算判断网购的置物柜能否正常安装 活动过程 活动1：测量墙高 如图1，测量发现窗台距离地面的高度为．    活动2：询问商家客服置物柜的尺寸 如图2，由商家客服处获知，此置物柜中正六边形全等，且每个正六边形的边长为．根据客服提供的信息，综合实践小组成员绘制出如下示意图，置物柜的高为，，点C，D在上，，，．    交流展示 … 请通过计算判断该置物柜能否正常安装在窗户的正下方．（参考数据：） 例2．（25-26九年级上·重庆·月考）中国最早的大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞，位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南7千米明屋塔格山的悬崖上．今年8月，小白和小新一起去克孜尔千佛洞玩耍，从大门到石窟群可以选择步行和坐马车两种方式，大门位于石窟群南偏东37°的位置，小白以速度75米／分钟从大门沿方向步行至石窟群，小新乘坐马车沿的路线到石窟群和他们汇合，马车的速度是小白速度的倍，位于大门北偏西60°位置，、之间距离为1200米，在正西方向600米处，石窟群在的正北方向．（参考数据：，，，，）． (1)求路线的长；（结果保留根号） (2)小白和小新谁先到石窟群处？（结果保留到小数点后1位） 例3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 例4．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）为全面落实“五育并举”育人方针，营造浓厚文化氛围，学校计划打造一条极具特色的校园主题文化长廊，现面向全校师生征集创意设计方案，某数学兴趣小组积极响应，精心构思并提供了如下设计方案： 校园主题文化长廊设计表 设计图 几何关系说明 如图②，点、、、、在同一平面内，垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点．其中，，，． 设计任务 任务1 求文化长廊的最大宽度的长； 任务2 求文化长廊的最高点到地面的距离（结果精确到0.1m）． 请完成任务1和任务2（参考数据，，，） 变式1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟的速度从D出发，沿路线跑步前进，与此同时，乙以每分钟的速度从D出发，沿路线步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（计算结果精确到）（参考数据：，，） 变式2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）我校实践小组为了测量某大树的高度，如图：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，树的顶点正好在同一直线上，测得，将标杆沿方向平移米到点处．这时地面上的点，标杆的顶端点，树顶正好又在同一直线上，测得，点，，，与树底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此大树的高度有多少米？ 变式3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． (1)求台风移动的路径的长度； (2)若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 2 学科网（北京）股份有限公司 $仰角俯角问题、坡度坡角问题、三角函数的综合实际应用问题专项训练 仰角俯角问题、坡度坡角问题、三角函数的综合实际应用问题专项训练 考点目录 仰角俯角问题 坡度坡角问题 三角函数的综合实际应用问题 考点一 仰角俯角问题 例1．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，物理实验室的水平支架上有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从处测得，两点的俯角、分别为和，若该摆绳的长度为． (1)过点作于点，求的值． (2)此时点相对于点升高了多少？ 【答案】(1)的值为； (2)此时点相对于点升高了． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴ ∴， 答：的值为； （2）解：过点作， 由题意，得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即此时点相对于点升高了， 答：此时点相对于点升高了． 例2．（25-26九年级上·山西运城·期末）每年的12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一货车在路口遇红灯刹车停下，如图，货车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)求货车的高度； (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该货车停车是否符合上述安全标准？四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)米 (2)符合 【详解】（1）解：，， ． ， ， ． ， ． ． （米）， 货车的高度约为米． （2）解：在中， ， ， ． 答：该货车停车符合规定的安全标准． 例3．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）智能测量是一款非常有创意且实用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者与雕像垂直于底面，若手机显示，，，则雕像的高度为多少米？（结果保留1位小数，参考数据，，，） 【答案】的高度为 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ， 解得， ∴在中，由勾股定理得， 故的高度为． 例4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）无人机是进行空中拍摄的常见工具．如图，两个观测者从两地观测空中处的一架无人机，分别测得仰角为，已知此时无人机的高度为．当无人机竖直向上飞行后到达点，在处测得无人机的仰角为．（参考数据：，，，，，） (1)求两地的距离． (2)很多城市有无人机限高，求继续匀速上升几秒后无人机达到限定高度． (3)假设无人机匀速上升时的速度与匀速水平飞行时的速度相同．到达限高后，无人机沿与平行的路线（如图所示）继续匀速飞行后，从处观测无人机的仰角为______． 【答案】(1) (2)2秒 (3) 【详解】（1）解：如图，过点C作的延长线于点D， ∵， ∴，， ∴， 即两地的距离为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴无人机的飞行速度为：， ∴ 即继续匀速上升2秒后无人机达到限定高度． （3）解：如上图，记无人机在处达到限定高度，飞机后到达处， 连接，过点作的延长线于点E， ∵无人机的飞行速度为， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即从处观测无人机的仰角为． 变式1．（25-26九年级上·山西长治·月考）传承校训精神，彰显校园文化，凝聚学子情怀．在学校文化标识调研活动中，实践小组计划测量教学楼上方校徽的直径．为了获得准确数据，同学们在教学楼前进行实地测量．方法如下：如图，在距离教学楼校徽正下方楼底部点若干米的点处，利用测角仪测得校徽底部点的仰角为、校徽顶部点的仰角为．由于楼底部有台阶，所以小组成员在点处后退米至点处，再次利用测角仪测得校徽底部点的仰角为，校徽顶部点的仰角为，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，，，三点在同一条水平直线上，，，三点在同一条铅垂线上．请根据以上信息，求校徽的直径．（结果精确到米．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】校徽直径为米 【详解】解：如图，延长交于点， 根据题意得， 在中，， ∴， ∴设， 在中，，， ∴， ∵， ∴可列方程为：， 解得：， 在中，，设， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴可列方程为：， 解得：， ∴， 答：校徽直径为米． 变式2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）正定开元寺的须弥塔，始建于唐，历史悠久．在一次综合实践活动中，某中学数学小组用无人机测量须弥塔的高度． 活动主题 测量须弥塔的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 测量过程与数据信息 ①如图，塔高垂直于地面．将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得须弥塔顶端A的俯角为； ②在C处测出须弥塔底端B的俯角为（参考数据：，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)________，________； (2)求测得须弥塔的高度是多少米？（结果保留整数） 【答案】(1)18,135 (2) 【详解】（1）解：如图，延长，交于点D． 由题意得， ∵， ∴，． 故答案为：18，135； （2）解：由题意得：， 则四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（25-26九年级上·天津河北·期末）某校数学兴趣小组开展综合与实践活动，要用测角仪测量某图书馆主楼的高度．他们设计的测量方案如下：如图所示，点C，D，F依次在同一条水平直线上，，且．在M处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，在N处测得图书馆主楼顶部A的仰角为，，根据该兴趣小组测得的数据，计算图书馆主楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 【答案】24米 【详解】解：如图，延长，交于点E，可知， ∴四边形，是矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以主楼的高度是24米． 变式4．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，九年级一班综合实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌的高度的实践活动；测量过程如下：首先，身高的小亮位于点处（即m），此时他在太阳光线下的影长m，同一时刻，在太阳光线下的影长；接着，小强站在距离建筑物的处（即），用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端处的仰角，已知，，点、、、、在同一条直线上，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求广告牌的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意知，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 答：广告牌的高度约为． 考点二 坡度坡角问题 例1．（25-26九年级上·山东临沂·月考）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为的真空管的坡度为，安装该热水器的铁架竖直管的长度为． (1)求真空管上端B到水平线的距离； (2)求安装该热水器的铁架水平横管的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：过点作交于点， 得：，， 设，， 在中，由勾股定理可知， ， 解得：或（舍去） ， 故真空管上端B到水平线的距离为． （2）解：由题可知，，， ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， ， ， ， 故安装该热水器的铁架水平横管的长度为． 例2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为了测量出楼房的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为的斜坡前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为，求楼房的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】米 【详解】解：过点B作于，于，则， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴米，米， ， 四边形是矩形， 米，（米）， ∵在中，， 米， （米）． 答：楼房的高度约为米． 例3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．请计算台阶的高度，并求出孔子雕像的高度．（参考数据：，，） 【答案】， 【详解】解：教学楼门前台阶斜坡的坡比为，为， ， ， 即台阶的高度为； 如图所示，作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 例4．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现一棵古树，测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度（参考数据：，，）． 【答案】古树的高度约为 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则， ，即， 设，则， 在中，， ， ∵， ． ，， ， ， ， ． 答：古树的高度约为． 变式1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 【答案】(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 变式2．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米； (2)米． 【详解】（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ， 解得：，（舍）， 米． 答：王强同学从点到点的过程中上升的高度为米； （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，（米）， ， 米， （米）， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 米． 答：大树的高度是米． 变式3．（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，） 【答案】广告牌的高约米 【详解】解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 在中，，米， ∴（米）， ∴（米） 答：广告牌的高约米． 变式4．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）． (1)求水平路段的长．（精确到） (2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1) (2)超速了，见解析 【详解】（1）解：，， ． （2）解：过A分别作于G，于H， ∴四边形为矩形， 设，则，， ， ， ， ， ∴超速了． 考点三 三角函数的综合实际应用问题 例1．（25-26九年级上·山西长治·期末）项目学习 项目背景：九年级（1）班班主任计划在本班教室窗户下方的墙面上安装正六边形置物柜以方便同学们放置物品．综合实践小组的同学围绕“置物柜安装的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 置物柜安装的测量与计算 活动内容 通过测量与计算判断网购的置物柜能否正常安装 活动过程 活动1：测量墙高 如图1，测量发现窗台距离地面的高度为．    活动2：询问商家客服置物柜的尺寸 如图2，由商家客服处获知，此置物柜中正六边形全等，且每个正六边形的边长为．根据客服提供的信息，综合实践小组成员绘制出如下示意图，置物柜的高为，，点C，D在上，，，．    交流展示 … 请通过计算判断该置物柜能否正常安装在窗户的正下方．（参考数据：） 【答案】该置物柜能正常安装在窗户的正下方． 【详解】解：如图，过点H作于点M， 根据题意得，，正六边形的内角为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴该置物柜能正常安装在窗户的正下方． 例2．（25-26九年级上·重庆·月考）中国最早的大型佛教石窟寺遗址克孜尔千佛洞，位于新疆阿克苏地区拜城县克孜尔镇东南7千米明屋塔格山的悬崖上．今年8月，小白和小新一起去克孜尔千佛洞玩耍，从大门到石窟群可以选择步行和坐马车两种方式，大门位于石窟群南偏东37°的位置，小白以速度75米／分钟从大门沿方向步行至石窟群，小新乘坐马车沿的路线到石窟群和他们汇合，马车的速度是小白速度的倍，位于大门北偏西60°位置，、之间距离为1200米，在正西方向600米处，石窟群在的正北方向．（参考数据：，，，，）． (1)求路线的长；（结果保留根号） (2)小白和小新谁先到石窟群处？（结果保留到小数点后1位） 【答案】(1)路线的长为米 (2)小白先到石窟群A 【详解】（1）解：延长交于点F，过点D作，垂足为E， 则四边形是矩形， ∴，米， 由题意得，在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴路线的长为米； （2）解：小白先到石窟群A， 理由：∵小白的速度是75米／分钟，马车的速度是小白速度的倍， ∴马车的速度是米／分钟， 在中，米， ∴米， ∴小新乘马车到石窟群A需要的时间分， 小白到石窟群A需要的时间（分）， ∵， ∴小白先到石窟群A． 例3．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·月考）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：如图， 由题意得，，，， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：根据题意得：， ∴ ∴在中，． 在中，，， ， 点与点之间的距离大约为． 例4．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）为全面落实“五育并举”育人方针，营造浓厚文化氛围，学校计划打造一条极具特色的校园主题文化长廊，现面向全校师生征集创意设计方案，某数学兴趣小组积极响应，精心构思并提供了如下设计方案： 校园主题文化长廊设计表 设计图 几何关系说明 如图②，点、、、、在同一平面内，垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点．其中，，，． 设计任务 任务1 求文化长廊的最大宽度的长； 任务2 求文化长廊的最高点到地面的距离（结果精确到0.1m）． 请完成任务1和任务2（参考数据，，，） 【答案】任务1：的长为；任务2：文化长廊的最高点E到地面的距离为 【详解】解：任务1：过点D作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵垂直平分，垂足为 F，垂直平分， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，    答：的长为； 任务2：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，    ∵在中，， ∴， ∴， 答：文化长廊的最高点E到地面的距离为． 变式1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，B地位于A地的正东方向，D地位于B地正北方，且位于A地北偏东，D与A相距．C地位于B地北偏东方向上，且C与B地相距，E地位于D地南偏东方向上，且位于C地正北方． (1)请求出C、E两地间的距离．（结果保留根号） (2)甲以每分钟的速度从D出发，沿路线跑步前进，与此同时，乙以每分钟的速度从D出发，沿路线步行前进，通过计算说明，甲、乙两人谁先到达B地．（计算结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)甲先到达地 【详解】（1）解：根据题意，可知， ∴是等腰直角三角形， ， 如图，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴是等边三角形， ， ． （2）解：根据题意，可知 甲所需时间为（分）， 乙所需时间为（分）， ∵， ∴甲先到达地． 变式2．（24-25九年级上·北京海淀·期中）我校实践小组为了测量某大树的高度，如图：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，树的顶点正好在同一直线上，测得，将标杆沿方向平移米到点处．这时地面上的点，标杆的顶端点，树顶正好又在同一直线上，测得，点，，，与树底处的点在同一直线上，已知，，．请你根据以上数据，计算此大树的高度有多少米？ 【答案】米 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 得， 经检验，是分式方程的解， 此大树的高度是米． 变式3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：） (1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：在中，米，，， ∴（米）， 即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米； （2）解：如图2，过点B作于点G， ∴，， ∴； 在中，米，，， ∴（米）， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴（米），米， ∴（米）． 即阴影的长为米． 变式4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）台风破坏性极强．如图，点A是某海滨城市，台风中心位于该市的南偏东方向，距离千米的点B处，已知台风中心沿北偏西的方向移动，一段时间后台风中心移动到该市的南偏东方向的点C处． (1)求台风移动的路径的长度； (2)若此次台风影响区域的半径为200千米且移动方向不改变，请问这次台风是否会影响该城市，为什么？（结果精确到0.01，参考数据： ） 【答案】(1)台风移动的路径的长度为240千米 (2)这次台风不会影响该城市，理由见详解 【详解】（1）解：根据题意得，， 如图，过C作于H， ∴， ∴， ∴（千米）， ∴（千米）， 即台风移动的路径的长度为240千米． （2）解：这次台风不会影响该城市， 理由：如图，过A作于E， ∴， ∵， ∴（千米）， ∵， ∴这次台风不会影响该城市． 2 学科网（北京）股份有限公司 $