精品解析：河北省承德市承德县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学（弥教版C） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故选B． 2. 在一次数学测试中，小明成绩110分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的意义． 如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数． 根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：根据题意可得：小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数， 故选：A． 3. 某堤的横断面如图，堤高 是，斜坡 的坡度是，那么斜坡 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坡度定义、勾股定理，熟练掌握坡度定义和勾股定理是解题的关键． 根据坡度定义得到，进而求出 的长，再利用勾股定理求解 的长即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得， 在 中，由勾股定理得 ， 故选：A． 4. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可． 【详解】解：东风洲际导弹的三视图为： 所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同． 故选：B． 5. 已知，如图，四边形 内接于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先根据圆内接四边形对角互补，得出，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形 内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：C 6. 关于的一元二次方程中， ，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 【详解】解：解：∵ ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项A错误， 设、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，故选项C正确，选项D错误， ∴两根的符号不能确定，故选项B错误， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝下，属于不可能事件 B. 某彩票的中奖机会是，如果买100张彩票一定会有3张中奖 C. 在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是 D. 甲、乙两人跳绳成绩的平均数相等，则甲的成绩比乙稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类、概率、方差，理解事件的分类、概率、方差的意义是正确判断的前提．根据事件类型、概率计算和方差性质逐一判断即可． 【详解】解：A、抛一枚硬币，正面朝下是可能事件，不属于不可能事件，故错误，不符合题意； B、彩票中奖概率表示可能性，买100张彩票不一定有3张中奖，故错误，不符合题意； C、单词“”中共有8个字母，字母“e”出现4次，则选到“e”的概率为，故正确，符合题意； D、方差越大，数据越不稳定，甲、乙两人跳绳成绩的平均数相等，则乙的成绩比甲稳定，故错误，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴、 轴都在格线上，其中反比例函数（， ）的图像被撕掉了一部分，已知点 ， 在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像及其系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键． 观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、 均为正整数，且 ，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点 ， 在格点上，且在 轴右侧， 则、 均为正整数，且 ， 当 时，，此时点，， 则点，满足； 当时，，此时点，， 则点，满足， 结合选项，当 时，更符合图像， 故选：B． 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广、竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（ ） A. 若设门宽为尺，则可列方程为 B. 若设门高为 尺，则可列方程为 C. 门宽6尺 D. 门对角线长8尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，根据已知条件列出方程是解题的关键． 若设门宽为尺，则竿长为尺，门高为尺，列方程为：，若设门高为 尺，竿长为尺，门宽为尺，列方程为，解方程即可． 【详解】解：若设门宽为尺，则竿长为尺，门高为尺， 根据题意，列方程为：， 解得 或 （舍去）， 则门宽为6尺，竿长为尺，门高为尺， 若设门高为 尺，竿长为尺，门宽为尺， 则可列方程为， 故选项A、B、C均正确，选项D错误， 故选：D． 10. 兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为 米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长 为2米， ，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米． A. 8 B. 12 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．由题意可知在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．经过旗杆在教学楼上的影子的顶端作旗杆的垂线和经过旗杆顶的太阳光线以及旗杆所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到旗杆的顶端的高度，再加上墙上的影高就是旗杆高． 【详解】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得 ． 旗杆高是（米）． 故选：A． 11. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（　　） A. 6 B. 2+1 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1， 此时垂线段OP1最短，根据三角形的中位线求出OP1及半径OE，即可求出P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长， P2Q2最大值＝5+3＝8，由此得到答案. 【详解】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1， 此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1， ∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠C＝90°， ∵∠OP1B＝90°， ∴OP1∥AC ∵AO＝OB， ∴P1C＝P1B， ∴OP1＝AC＝4， 同理OE=AB=3， ∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=4-3=1， 如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长， P2Q2最大值＝5+3＝8， ∴PQ长的最大值与最小值的差是7． 故选：D． 【点睛】此题考查与圆有关的动点问题，三角形的中位线性质定理，勾股定理的逆定理. 12. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，三倍点所在的直线为 ,根据二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”转化为 和 至少有一个交点，求，再根据 和 时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为 ， 在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在 的范围内，二次函数 和 至少有一个交点， 令,整理得，， 则，解得， 把 代入 得，代入 得， ，解得； 把 代入 得，代入 得 ， ，解得， 综上， 的取值范围为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一组数据，2，4，1，6的平均数是3，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查平均数的计算，根据平均数的定义，建立方程求解． 【详解】解：数据有5个，平均数为3， ， 解得． 故答案为：2． 14. 在一个不透明的口袋中装有白球和红球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在，因此概率约为 ，用总球数乘以概率可得红球数量． 【详解】∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故答案为：8． 15. 如图，圆锥底面圆直径 长是，母线 长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到 的中点 ，最短路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．把圆锥沿母线 展开得到它的侧面积为扇形点为弧的中点，如图，设该扇形圆心角为，利用弧长公式得到，解得，所以，然后利用等边三角形的性质计算出的长，从而根据两点之间线段最短得到答案． 【详解】解：圆锥底面圆直径 长是， ∴圆锥底面圆周长为， ∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：， 如图， ， 是等边三角形， 点 是 的中点， 点是的中点， ， ， ， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 故答案为：． 16. 一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为，，，…，．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，连接并延长，交于点 ，，且该夹角位于点的右侧，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质及四边形内角和，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ， ， 延长，交于点 ，， ， ． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 解：原方程可变形为，……………… 第一步 方程两边同时除以，得 ，…………………… 第二步 ∴原方程的根是 ．…………………………………… 第三步 （1）上述解答过程是从第______步开始出错的； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）解答过程的第二步，方程两边同时除以时，没有考虑是否为零，据此解答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解，将方程两边同时除以时，没有考虑是否为零，当时，，除以零无意义， 则解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二； 【小问2详解】 解：原方程可化为， 移项得， 因式分解得， 令或， 解得，． 18. 如图，在正方形的网格中，已知 ． （1）①以点为位似中心，在网格区域内画出，使得与 位似，且位似比为2； ②若 的面积为6，则的面积为______； （2）若建立如图所示的平面直角坐标系．点，，，则 的外心 的坐标为______． 【答案】（1）①见解析；②24 （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质、三角形外心的定义，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似比为2，作出即可； （2）根据面积比等于位似比的平方，进行解答即可； （3）根据两点间距离公式得到 、 、 ，根据外心的定义得到，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 ①解：如图，即为所求； ②解：由于与 位似比为2， 则， 因此， 故答案为：24； 【小问2详解】 解；设 的坐标为， 则、、， 由于点M是 的外心， 则， 即， 解得， 则点 的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）观察表格， 与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） （2）当托盘中砝码的质量为 时，求托盘与点的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【答案】（1） （2）当托盘中砝码的质量为 时，托盘与点的距离是 （3） 应往托盘中添加砝码．理由如下： ∵ ， ∴该函数图像在第一象限内， 的值随值的增大而减小． ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴ 逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察表格可得： 的乘积为定值300，故 与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把 代入解析式求解，可得答案； （3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小． 【小问1详解】 解：根据表格可得： ，即 ， ∴ 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：把 代入，得， 解得 ． 答：当托盘中砝码的质量为 时，托盘与点的距离是 ． 【小问3详解】 略 20. 某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，紧急通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的管道的截面图如图所示（阴影部分为管道中有水部分，且圆心在水面 上方）． （1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽 ，水的最大深度为，请求出这个圆形管道截面的半径 及有水部分的截面（阴影部分）面积 ． 【答案】（1）见解析 （2）这个圆形管道截面的半径为 ，有水部分的截面面积为 【解析】 【分析】（1）作 的垂直平分线，交于 ，交 于 ，作 的垂直平分线，交 于，以点为圆心，为半径画圆，即可得答案； （2）根据垂径定理可得出 的长，在中利用勾股定理列方程即可求出 值，解直角三角形可求得，然后根据即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 下方的圆于点 ． ∵ ，， ∴． ∵水的最大深度为，即， ∴． 在 中，， 即， 解得， ∴这个圆形管道截面的半径为 ． 设所对圆心角为，则， 在 中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴有水部分的截面面积为． 【点睛】本题考查尺规作图、垂径定理、勾股定理及锐角三角函数，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 21. 学生会进行学生餐厅满意度调查活动，随机抽取40名同学做满意度评分（共0，1，2，3，4，5六个分值，分值越高满意度越高），他们将收集到的数据整理成如图所示的统计图． （1）直接写出这40名同学满意度分数的众数、中位数． （2）学校规定：满意度分数的平均数低于3.5分，则需对服务质量进行整改．请通过计算，判断学校餐厅是否需要整改． （3）为提升餐厅的服务质量，学校准备从给0分和1分的四名同学中随机选两名同学作为代表，用列表或画树状图的方法，求两人都是给1分同学的概率． 【答案】（1）众数为4分，中位数为4分 （2）需要整改 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、求平均数、求随机事件概率，体会数学在解决实际问题中的作用．核心素养表现为数据观念和运算能力． （1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的计算方法得到满意度分数，再进行判定即可； （3）用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：0分的人数有1人，1分的人数有3人，2分的人数有6人，3分的人数有9人，4分的人数有11人，5分的人数有10人， ∴满意度分数的众数为4分，中位数为第20，21位的平均数，即分． 【小问2详解】 解：满意度的平均数 ． ， 学校餐厅需要整改． 【小问3详解】 解：设给0分的同学为，给1分的同学为．列表如下： - - - - 共12种等可能的结果，两人都是给1分的同学有6种结果， 两人都是给1分的同学）． 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂 绕点 旋转过程中长度保持不变，遮阳棚 可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角 的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角 的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂 ，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于 ，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于 ，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于 ， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为 ． 【小问2详解】 解：过作于，过作于 ， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角 的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 23. 如图， 为的直径， 为上一点，连接 ， ，过点 的切线与直径 的延长线交于点 ． （1）求证：． （2）点在直径 下方的半圆上运动（不与点，重合），连接 ， ．已知的半径为，． ①点在运动的过程中，的面积也随之变化，求出的面积的最大值； ②当时，直接写出 的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，涉及到圆周角定理、垂径定理、相似三角形、锐角三角函数、勾股定理等，解题关键是善于发现相似基础图形，进而求出相关线段长． （1）连接 ，由 为的直径及 是的切线得到，由 得到 ，从而得到，即，从而得到相似； （2）①当点位于 的垂直平分线上时，的面积取得最大值，作 的垂直平分线交 于点 ，设，则，在 中，利用勾股定理即可得到， ，再由计算即可； ②连接 ，过点作于点，得到，进而可得，，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，连接 ． ∵ 为的直径， ∴， ∴． ∵ 是的切线， ∴ ， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 又∵ ， ∴． 【小问2详解】 解：①如图2，当点位于 的垂直平分线上时，的面积取得最大值． 作 的垂直平分线交 于点 ，交直径 下方的半圆于点，易得点在 上． ∵的半径为， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，在 中，， ∴，即， ． ∵， ∴． ∵的半径为， ∴， ∴． ②由①得，． 如图3，连接 ． ∵， ∴ ． 又∵ ，， ∴，． 过点作于点． ∵， ∴， ∴根据勾股定理可得，，． ∵， ∴， ∴． 24. 嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球 看成点 以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． （1）求出点P及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； （4）在x轴上的线段 处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是 ，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】（1）点P的坐标为，最高点的坐标为 （2）①；② （3） （4）2个或3个 【解析】 【分析】由点P在抛物线上，且在y轴上，得到当 时，，求得点P的坐标为，得到抛物线最高点的坐标为； ①解方程得到，，求得，当时，，于是得到乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为，设抛物线的解析式为，把，代入得到，于是得到抛物线的解析式为； 根据的顶点为，的顶点为，得到可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，于是得到平移的最短路程为； 由，，得到 ，设竖直摆放的回收箱有m个，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解： 点P在抛物线上，且在y轴上， 当 时，， 即点P的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线最高点的坐标为； 【小问2详解】 ①由题意，令， 整理得， 解得，， ， ， 当时，， 乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 的顶点为，的顶点为， 可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 平移的最短路程为； 【小问4详解】 ，， ， 对于， 当时，， 当 时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ， ， 答：竖直摆放的回收箱的个数为2个或3个． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学（弥教版C） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、考号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，须用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 2. 在一次数学测试中，小明成绩110分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 3. 某堤的横断面如图，堤高 是，斜坡 的坡度是，那么斜坡 的长为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—液体洲际战略核导弹作为压轴方队首次公开亮相，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象．如图为东风—液体洲际核导弹的部分示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都不相同 5. 已知，如图，四边形 内接于，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程中， ，则该方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个同号的实数根 C. 两根之和为2 D. 两根之积为1 7. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚硬币，正面朝下，属于不可能事件 B. 某彩票的中奖机会是，如果买100张彩票一定会有3张中奖 C. 在单词“”中随机选择一个字母，选到字母“e”的概率是 D. 甲、乙两人跳绳成绩的平均数相等，则甲的成绩比乙稳定 8. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴、 轴都在格线上，其中反比例函数（， ）的图像被撕掉了一部分，已知点， 在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广、竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等，问：门高、宽、对角线长分别是多少？下列说法错误的是（ ） A. 若设门宽为尺，则可列方程为 B. 若设门高为 尺，则可列方程为 C. 门宽6尺 D. 门对角线长8尺 10. 兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为 米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长 为2米， ，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（ ）米． A. 8 B. 12 C. D. 11. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（　　） A. 6 B. 2+1 C. 9 D. 7 12. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一组数据 ，2，4，1，6的平均数是3，则______． 14. 在一个不透明的口袋中装有白球和红球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______个． 15. 如图，圆锥底面圆直径 长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥侧面从点爬到的中点 ，最短路径长是______． 16. 一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为，，，…，．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，连接并延长，交于点，，且该夹角位于点 的右侧，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 嘉嘉在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 解：原方程可变形为，……………… 第一步 方程两边同时除以，得 ，…………………… 第二步 ∴原方程的根是 ．…………………………………… 第三步 （1）上述解答过程是从第______步开始出错的； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如图，在正方形的网格中，已知 ． （1）①以点 为位似中心，在网格区域内画出，使得与 位似，且位似比为2； ②若 的面积为6，则的面积为______； （2）若建立如图所示的平面直角坐标系．点，，，则 的外心的坐标为______． 19. 如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点 的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点 的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）观察表格， 与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） （2）当托盘中砝码的质量为 时，求托盘与点 的距离． （3）当托盘向左移动（不能移动到点 ）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 20. 某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，紧急通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的管道的截面图如图所示（阴影部分为管道中有水部分，且圆心 在水面 上方）． （1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽 ，水的最大深度为，请求出这个圆形管道截面的半径 及有水部分的截面（阴影部分）面积 ． 21. 学生会进行学生餐厅满意度调查活动，随机抽取40名同学做满意度评分（共0，1，2，3，4，5六个分值，分值越高满意度越高），他们将收集到的数据整理成如图所示的统计图． （1）直接写出这40名同学满意度分数的众数、中位数． （2）学校规定：满意度分数的平均数低于3.5分，则需对服务质量进行整改．请通过计算，判断学校餐厅是否需要整改． （3）为提升餐厅的服务质量，学校准备从给0分和1分的四名同学中随机选两名同学作为代表，用列表或画树状图的方法，求两人都是给1分同学的概率． 22. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂 绕点 旋转过程中长度保持不变，遮阳棚 可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂 ，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 23. 如图， 为的直径， 为上一点，连接， ，过点 的切线与直径 的延长线交于点 ． （1）求证：． （2）点在直径 下方的半圆上运动（不与点，重合），连接 ， ．已知的半径为，． ①点在运动的过程中，的面积也随之变化，求出的面积的最大值； ②当时，直接写出 的长． 24. 嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球 看成点 以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． （1）求出点P及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； （4）在x轴上的线段 处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是 ，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $