精品解析：湖南省长沙市2026届高三上学期1月联考数学考前猜想卷试题

2026年1月“长沙市联考”考前猜想卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合中，与集合表示同一个集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 2. 已知，则的虚部为（    ） A. B. i C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】将通过分子分母都乘以分母的共轭复数，整理成的形式，求出，继而得到的虚部. 【详解】由题意可得，故，其虚部为． 故选:C． 3. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果. 【详解】设至少过滤的次数为， 则依题意可得，即， 即，所以， 可得， 所以至少过滤3次才能满足要求. 故选：B 4. 已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式计算可得结果. 【详解】在等腰三角形中，是的中点， 所以，所以， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，所以，， 则. 故选：D. 5. 已知数列是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C 6. 如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析直线移动过程中随的长的变化情况，通过求出一些特殊点的函数值，结合函数的单调性以及直线的位置关系判断函数图像. 【详解】由题意可知，随着从平行移动到单调递增，故可排除选项B．由题意可得等边三角形的边长为． 当时，，此时最小； 当时，，此时最大； 当时，如答图1，则，为等边三角形， 此时， 在等边中，， ； 又当时，图中的； 故当时，对应的点在图中两点连接线段的下方，结合选项可得选项D正确． 故选：D. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知. 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 8. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，利用导数判断函数的单调性，令， 利用导数判断的单调性，从而可得，进而可得函数值的大小． 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即，而， 所以， ∴． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据方差公式即可判断A；由残差图与回归效果间的关系判断B；由对数的运算性质及回归思想判断C；根据平均数的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据的平均数为， 则， 所以，故A正确； 对于B，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确； 对于C，由题意，因此，，，C错误； 对于D，样本数据的平均数， 则样本数据的平均数为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式判断A；求出的值判断B；利用平移变换求解判断C；作出图形判断D. 【详解】观察函数的图象，得，最小正周期，解得， 由，得，而，则， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得， 则或， 解得或， 又，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 如图，作出符合题意的图形， 观察图象得，两个函数图象有4个交点，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若为的中点，则平面 D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式、线面平行的判定、线面垂直等知识逐项计算即可. 【详解】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确； 若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变， 又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误； 如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则. 易证，所以，又平面，所以平面，所以， 同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为， 易求，所以的面积为，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中的系数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式求指定项的系数即可. 【详解】的展开式的通项为： 则的系数为，解得，所以. 故答案为：. 13. 如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得，，当直线与轴垂直时，，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立方程组，借助基本不等式求最值. 【详解】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为． 由抛物线的定义得， 又，所以． 同理． ①当直线与轴垂直时，则有， ∴． ②当直线与轴不垂直时，设直线方程为， 由消去y整理得， ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． 综上可得． 故答案为：． 14. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 【答案】 【解析】 【分析】由得，再利用裂项求和的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知分别为三个内角的对边，若且. （1）求角以及边的大小； （2）若分别是的中点，且交于点，求. 【答案】（1），6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简可求出，再由余弦定理计算可求出； （2）方法一：由结合平面向量线性运算计算求解；方法二：由余弦定理进行求解． 【小问1详解】 （为外接圆半径）， ， ，，， ， ， ，即. ， ， ，. 【小问2详解】 方法一：由题意知，， ， ， ， . 方法二：由已知及余弦定理，得， ， ， 是的重心， ， . 16. 如图，在四棱锥中，平面，在梯形中，，，，点C在平面的投影恰好是的重心G. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）设是的中点，连接， 因为，所以， 又 ，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以⊥平面， 所以⊥平面， 又 平面，所以平面⊥平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，并证明出⊥平面，进而推出⊥平面，从而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，则，，根据线线垂直得到数量积为0，从而得到方程，求出，从而求出平面的法向量，利用线面角的正弦向量公式求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 又⊥，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 设，则，因为为的重心， 故，即，故， 又C在平面的投影恰好是 的重心G. 所以⊥平面，即⊥，又， 所以，解得，负值舍去， 故，，， 设平面 的一个法向量为， 其中， 则， 解得 ，令，则，故， 设直线与平面 所成角大小为， 则， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. 17. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. （1）先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关； 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 （2）求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率； （3）为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：. 参考公式与数据：，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 ，根据小概率值的独立性检验，可以认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. （2）. （3）由题意知， 所以， 因为，所以， 所以， 整理得， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即 【解析】 【分析】（1）根据题意先完成列联表，根据表格中的数据计算即可进行独立性检验. （2）综合条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式求解. （3）根据条件概率公式与对立事件的概率公式化简求证. 【小问1详解】 根据题意完善列联表如下： 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 35 25 60 短跑成绩不合格 10 30 40 合计 45 55 100 根据列联表中的数据，计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关. 【小问2详解】 由（1）中的列联表知，短跑成绩不合格的学生有40人，其中每周自主锻炼时间超过5小时的有10人，每周自主锻炼时间不超过5小时的有30人. 记事件 “甲在培训后短跑成绩合格”，事件 “甲每周自主锻炼时间超过5小时”，则事件 “甲每周自主锻炼时间不超过5小时”， 用频率估计概率知 ，， 由题意知，， 由全概率公式知. 由贝叶斯公式知，即学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率为. 【小问3详解】 略 18. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线（，）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值． ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ；②直线过定点 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解； （2）①设直线的方程，与椭圆方程联立，化简即可； ②联立方程组求出，结合条件化简即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，， 则椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设，， ①当直线的斜率存在，且不为时，设直线的方程为， 由，得，则， 因为，所以，则直线OB的方程为， 同理可得，则． 故； 当直线，中的一条直线斜率不存在时，另一条直线的斜率为， 此时， 综上，． ②联立，得， 则，即， 则， 所以，， 即点D的坐标为， 所以， 因为，所以直线OD的方程为． 由，得，则， 则， 由，得，即点H的坐标为， 则． 因为， 所以，得，满足， 所以直线l的方程为，则直线l过定点． 19. 已知函数，． （1）若为增函数，求的取值范围； （2）若，求最大值的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为为增函数，故，参变量分离后即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值，再利用，消去，得到,，再利用导数研究该函数的单调性，即可求解； （3）由，得．设，，求导数后分类讨论研究该函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为为增函数，故，即， 又因为，所以， 所以 【小问2详解】 若时，因为在单调递减， 所以存在唯一使得，即 又因为，故，． 当，，单调递增； 当，，单调递减； 所以最大值为． 令， 则， 所以在单调递增， 故的取值范围为， 故最大值的取值范围 【小问3详解】 由，得． 设，，则， ， 设，则， 所以当时，；当时，， 所以， 又， ①当，即时，， 在上单调递减，则，不满足题意； ②当，即时， （ⅰ）若，，即时，，使得， 且时，， 在上单调递减，，不满足题意； （ⅱ）若，，即时，，使得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以成立，满足题意； （ⅲ）若，，即时，，在上单调递增， 则，满足题意． 综上可得，即实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月“长沙市联考”考前猜想卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列集合中，与集合表示同一个集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（    ） A. B. i C. D. i 3. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知在等腰三角形中，，，是的中点，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知数列是等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间，与半圆相交于两点，与三角形两边相交于两点，设，弧的长为，若从平行移动到，则的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的方差，则所有的都相等 B. 在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是4和0.3 D. 样本数据的平均数，则样本数据的平均数为 10. 已知函数（）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数 D. 当时，曲线与有4个交点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形 B. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 C. 若为的中点，则平面 D. 若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中的系数为，则__________. 13. 如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____. 14. 已知数列的通项公式为，函数，求________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知分别为三个内角的对边，若且. （1）求角以及边的大小； （2）若分别是的中点，且交于点，求. 16. 如图，在四棱锥中，平面，在梯形中，，，，点C在平面的投影恰好是的重心G. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60 名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周自主锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周自主锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周自主锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周自主锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率估计概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训.依据小概率值的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间相互独立. （1）先填写列联表，再依据小概率值的独立性检验，判断是否能认为学生短跑成绩合格与每周自主锻炼时间超过5小时有关； 每周自主锻炼时间超过5小时 每周自主锻炼时间不超过5小时 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 合计 100 （2）求学生甲在培训后短跑成绩合格的情况下，每周自主锻炼时间不超过5小时的概率； （3）为提高学生锻炼的积极性，学校偶尔会在田径运动场举办锻炼有奖活动，记表示事件“田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，表示事件“小明去田径运动场锻炼”，.已知小明在田径运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去运动场锻炼的概率大.证明：. 参考公式与数据：，其中，. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程． （2）直线（，）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H． ①若，求的值． ②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）若为增函数，求的取值范围； （2）若，求最大值的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $