精品解析：重庆市杨家坪中学2025-2026学年高一上学期第三次月考（1月）数学试题

重庆市杨家坪中学高2028届高一上第三次月考数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数单调性化简集合，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由， 所以. 故选：C 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词命题的否定形式可得结论. 【详解】易知命题“”的否定是“”. 故选：B 3. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 4. 密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求得圆心角，再根据密位制定义即可求解. 【详解】设扇形所对的圆心角为，所对的密位为， 则，解得， 由题意可得，解得， 因此该扇形圆心角用密位制表示为． 故选：B. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合对数函数与指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，. 故选：A. 6. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理得，再两边平方可求得，可求得的值． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故选：D． 7. 已知函数的最小正周期为，的图象经过点，则的单调递增区间是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的周期，求出，再代入点的坐标，结合的范围，即可得到函数解析式，然后利用正弦函数的单调性，即可求出结果. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，所以， 又的图象经过点， 所以，则或， 又，所以， 所以， 令， 则， 所以的单调递增区间是. 故选：D 8. 已知函数，若且，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得为奇函数且在上都是增函数，由，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为， 又由， 可得 ， 即，所以函数为奇函数， 因为且，， 可得， 令， 可得， 所以为奇函数， 令，任取，且， 则 所以在递增函数，所以在递增函数， 因为为奇函数，所以在递增函数， 又因为，所以在递增函数， 因为，可得函数在上都是增函数， 由，可得，即， 又由，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以，解得，所以的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则角的集合是 B. 若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则此扇形的半径是4cm C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和特殊角的三角函数，可判定A正确；根据扇形的弧长公式，列出方程，可判定B错误；根据三角函数的基本关系式，化为齐次式计算求值，可判定C正确；根据三角函数的诱导公式，化简求值，可判定D正确. 【详解】对于A，由角的终边过点，可得角的终边在第一象限，且， 可得，所以角的集合是，所以A正确； 对于B，设扇形所在圆的半径为，因为扇形的周长为8cm，圆心角为2rad， 可得，解得，即此扇形的半径是cm，所以B错误； 对于C，由， 则，所以C正确； 对于D，由，则，所以D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的周期可以是 B. 函数的对称中心是， C. 函数与的图像交点是， D. 函数，当有实数解，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用周期定义即可判断选项A，利用正切函数的对称性即可判断选项B，根据方程的解与函数图像交点以及函数零点之间的转化关系即可判断选项CD. 【详解】对于A，因， 所以函数的周期可以是，A正确； 对于B，函数的对称中心是，，B错误； 对于C，在内，使的的值有和， 所以函数与的图像交点是或，C错误； 对于D，，令， 则有实数解转化为在内有解， 又，可得， 由于函数在内的范围为， 所以，所以，D正确. 故选：AD 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图像，结合图象，可得判定A正确；结合图象得出，可得判定C正确；由二次函数的性质，得到，求得，再由，可判定B错误；令，令，得到，求得方程的根据，结合函数的图像，得到函数零点的个数，可判定D错误. 【详解】作出函数 的图像，如图所示， 对于A，方程有四个不同的根，即与的图像有4个交点， 结合函数的图像，可得，所以A正确； 对于C，由函数的图像，可得，即，解得，所以C正确； 对于B，由函数的图像，可得，所以，且， 又由，可得，即，所以， 因为， 所以，所以B不正确； 对于D，由函数，令，则， 令，即，解得， 当时，由函数的图像，可得有0个根； 当时，由函数的图像，可得有2个根； 当时，由函数的图像，可得有3个根； 当时，由函数的图像，可得有3个根， 所以函数有8个零点，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，化简 = __________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则即可计算. 【详解】. 故答案为： 13. 已知幂函数则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为偶函数且函数在单调递增，在单调递增，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数， 不等式，即为， 平方整理得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 我们知道，函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，其中，则图像的对称中心是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得中心对称的性质，然后利用中心对称的性质，即可求解. 【详解】由题知，若为奇函数， 可得， 即， 所以的图像关于点成中心对称可得， 又， 且， 所以图像的对称中心是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出,即可求得的值； (2)把要求的式子利用诱导公式化为,进而而求得结果. 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴ （2）若， 则. 16. 已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为和． （1）求的解析式； （2）当时，若恒成立，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，由的最小值为，得到，求得，即可求得函数的解析式； （2）由（1）得到，令，得到，求得，转化为恒成立，即恒成立，即可求解. 【小问1详解】 因为函数为二次函数，且的两根为和，可设， 已知的最小值为，可得，解得， 所以， 即函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，可得 当，令，可得， 因为函数的图象开口向上，且对称轴为， 所以，即在区间上的最小值为， 因为恒成立，即恒成立，即， 即，解得，所以实数的值为. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，其它成本投入（如肥料成本，培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果单株利润最大，最大利润为1140元 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用销售额减去成本投入可得出利润的解析式； （2）分段讨论，利用函数的单调性计算最值即可得解. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 由二次函数的性质可知； ∵当时，均为减函数， ∴当时，是减函数，则， 综上，当施用肥料为3千克时，该水果单株利润最大，最大利润为1140元. 18. 已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题： （1）证明函数为偶函数； （2）判定函数的单调性并加以证明； （3）若，解不等式． 【答案】（1） 由于对定义域内任意，都有， 取，则， 取，则， 取，则，所以是偶函数 （2）在上单调递增，在上单调递减， 令，则，由时得， ∵， ∴在上单调递减；由为偶函数，所以在上单调递增； （3）. 【解析】 【分析】（1）由分别令、求出，即可令按定义证得偶函数； （2）根据定义证单调性，区别是由说明符号； （3）由得，再进一步求得，由函数单调性，结合的符号分类讨论去绝对值，即可结合及单调性求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，. 由且在上单调递减； 当时，原不等式可化为：，则得； 当时，原不等式可化为：，即，得； 当时，由是偶函数可得或. 故原不等式的解集是：． 19. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断的单调性（不需要证明）： （2）若对任意正实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围. 【答案】（1），在上单调递增. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由函数解析式直接求定义域，然后利用复合函数单调性判定； （2）把恒成立转化为求函数的最值问题，然后根据单调性求出最值即可； （3）根据完美区间的定义结合题设条件可得 与 在上至少存在两个不同的交点，然后利用基本不等式求出最值即可 【小问1详解】 由 ∴ 定义域为 ∵， 因为是单调递增，所以单调递减，所以单调递增， 又单调递增，所以单调递增， ∴在上单调递增. 【小问2详解】 由题意，对任意，都有恒成立， 由得， ∴恒成立， 而 在上单调递增.， ∴， ∴ ， 令，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即， 则恒成立， 令在上单调递增， ∴，则， 综上：的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知在在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，， 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即 在上至少存在两个不同的实数解， 所以与 在上至少存在两个不同的交点． 令，则， ∴， 由可得， 所以，直线与函数在时的图象有两个交点， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，当且仅当时，即当时，等号成立， 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数在时的图象有两个交点， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学高2028届高一上第三次月考数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. 4. 密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，的图象经过点，则的单调递增区间是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 8. 已知函数，若且，，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若角的终边过点，则角的集合是 B. 若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则此扇形的半径是4cm C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的周期可以是 B. 函数的对称中心是， C. 函数与的图像交点是， D. 函数，当有实数解，则的取值范围是 11. 已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 函数有8个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，化简 = __________ 13. 已知幂函数则不等式的解集为______． 14. 我们知道，函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，其中，则图像的对称中心是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知函数为二次函数，的最小值为，的两根为和． （1）求的解析式； （2）当时，若恒成立，求实数的值． 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，其它成本投入（如肥料成本，培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题： （1）证明函数为偶函数； （2）判定函数的单调性并加以证明； （3）若，解不等式． 19. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断的单调性（不需要证明）： （2）若对任意正实数，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”.若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $