第23章 四边形 单元综合检测-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册

第23章 四边形 单元综合检测 一、单选题 1．如图，在 中，D，E分别是边 的中点．若 ，则 （   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明 是 的中位线是解题的关键． 先证明 是 的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在 中，D，E分别是边 的中点． ∴ 是 的中位线， ∴ ． 故选C． 2．已知一个多边形的内角和为 ，则这个多边形为  （    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形为 边形，根据多边形的内角和为 ，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个多边形为 边形，由题意，得： ， 解得： ； ∴这个多边形为八边形； 故选B． 3．在 中， 的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等即可判断选择哪一个． 【详解】解：由于平行四边形对角相等，所以对角的比值数应该相等， 其中A，B，C都不满足，只有D满足． 故选：D． 4．已知 是 的重心，如果 ， ，那么底边 的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心．也考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．连接 并延长交 于点D，由等腰三角形的性质可得出 ， ，由三角形重心的性质即可得出 的长，再根据勾股定理求出 的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示：连接 并延长交 于点D， ∵G是 的重心， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 5．下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法正确，符合题意； D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 6．如图，正方形 的边长为4， 为 上一点，连接 ， 于点 ，连接 ，若 ，则 的面积为（　　）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】作 于点 ，根据勾股定理求得 ，得 ，则 ，所以 ，即可求得 的面积为6． 【详解】解：作 于点 ，则 ，    于点 ， ， 四边形 是边长为4的正方形， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ， ， 的面积为6， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、勾股定理与三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得 是解题的关键． 二、填空题 7．在 中， ， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键是掌握平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等，由已知边求出未知边的长度． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ． 故答案为：30. 8．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线 ， 之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线的距离，熟连掌握平行线间的距离是解题的关键． 根据平行线的距离理解解答即可． 【详解】解：∵直线 向下平移 个单位可与 重合， ∴ 与 的距离为 ， 故答案为： ． 9．如果从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个 边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出 条对角线，据此可求出 ，再根据 边形的内角和是 进行求解即可． 【详解】解：∵从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线， ∴ ， ∴ ， ∴这个 边形的内角和是 ， 故答案为： ． 10．如图，四边形 是平行四边形，且对角线 、 相交于点O，请你添加一个条件使得四边形 成为矩形，这个条件可以是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定定理，从角或对角线的角度添加条件即可判定平行四边形 是矩形．本题主要考查矩形的判定定理，熟练掌握“对角线相等的平行四边形是矩形” “有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 【详解】解：可添加条件： ， 四边形 是平行四边形，且 平行四边形 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）， 故答案为： （答案不唯一） ． 11．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少 ，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是 ，与边数无关．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式 与外角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得 ， 解得 ． 故答案为：7． 12．如图，在 中，点 为边 的中点，点 为边 的中点．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 由三角形中位线定理推出 ， ， ，即可求解． 【详解】解：∵点 为边 的中点，点 为边 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：3 ． 13．如图，菱形的对角线 与 相交于点O，E是 的中点，且 ，则 的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质可得 ，由直角三角形的性质可得 ，故可求解． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∵点E是 的中点， ∴ ． 故答案为：6． 14．如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm． 【答案】10 【分析】连接AC、BD，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算周长． 【详解】解：连接AC、BD， 在Rt△ABD中，BD= =5， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=5， ∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴EH∥BD，EH= BD= ， 同理，FG∥BD，FG= ，EF∥AC，EF= AC= ， ∴四边形EHGF为菱形， ∴四边形EFGH的周长= ×4=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键． 15．如图，正方形 的边长是2厘米，点E为边BC延长线上一点，且 ， 交 于F，则 厘米    【答案】 / 【分析】根据正方形的性质求出 ，再利用面积法列出方程，即可求出 ． 【详解】解：∵四边形 是正方形，边长为2， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， 即 ， 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分母有理化，面积法，解题的关键是利用面积法建立关于 的方程． 16．如图，已知：G是 的重心， ，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形重心的性质，三角形的中线的性质，根据G是 的重心，得出 是 的中线，可得 ，根据重心的性质可得 ，即可得出 ． 【详解】解：∵G是 的重心， ∴ 是 的中线， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 17．如图，已知正方形 边长为1，如果将边 沿着过点A的直线翻折后，边 恰巧落在对角线 上，折痕交边 于点E，那么 的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，分母有理化．由折叠的性质知 ，利用等积法列式计算即可求解． 【详解】解：设点 的对应点为点 ，连接 ， ∵正方形 边长为1， ∴ ， 由折叠的性质知 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 18．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在 中， ， ，且 的面积为m，如果 存在“最优覆盖菱形”为菱形 ，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由 的面积为m可得 的高为 ，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可． 【详解】解：∵ 的面积为m ∴ 边BC上的高为 如图：当高取最小值时， 为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合， 如图：过A作AD⊥BC，垂足为D ∵等边三角形ABC,BC=4 ∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30° ∴BD=2, ∴AD= =2 ∴ ，即m=4 ； 如图：当高取最大值时，菱形为正方形， ∴A在 中点， ∴ ，即m=8 ∴ ． 故填： ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 三、解答题 19．如图， 在中，E，F分别是 ， 的中点．求证：四边形 是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．根据平行四边形的性质得出 ， ，根据中点定义得出 ， ，证明 ，即可证明结论． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 分别是 ， 的中点， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 20．如图，在菱形 中， ， 分别是 ， 的中点，连接 ，若 ，求菱形 的周长． 【答案】16 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得 ，再根据菱形的性质求解即可得． 【详解】解：∵ ， 分别是 ， 的中点，且 ， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴菱形 的周长为 ． 21．如图， 为矩形 的边 的中点， 于点 ．若 ， ，求 的长． 【答案】 ． 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接 ，求得 的面积为 ，再利用勾股定理求得 的长，再利用三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：连接 ， ∵四边形 是矩形， ， ， ∴矩形 的面积为 ， ∵ 为矩形 的边 的中点， ∴ 的面积为 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ． 22．如图，在矩形 中， 于点 ，点 是边 上一点，若 平分 ，交 于点G， 于点F． (1)求证： ； (2)求证：四边形 是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形性质和角平分线的性质证明； （2）证明 ，证明四边形 是平行四边形，再根据 即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， （2）证明：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形． 23．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为 与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线． (1)在图1中找格点C、D，使四边形 是菱形； (2)在图1中画点M关于直线 的对称点 ； (3)在图2中找格点C，使四边形 为矩形； (4)在图2中画 的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出 的长，将线段 向右平移5个单位长度的到线段 ，连接 ，即可得到菱形 ； （2）连接 交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，点 即为所求； （3）作以 ， 为边的正方形，再构造矩形 即可； （4）取正方形的边 和 的中点，连接两个中点形成的直线即为 的垂直平分线． 【详解】（1）解：由勾股定理得： ， 将线段 向右平移5个单位长度的到线段 ，连接 ，即可得到菱形 ，如图所示： （2）解：连接 交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ，点 即为所求，如图所示： ∵菱形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ， ∴ 垂直平分 ， 即：点M关于直线 的对称点为点 ； （3）解：作以 ， 为边的正方形 ，过点 作 ，交 于点 ，则矩形 ，即为所求，如图所示： （4）如图，取格点 ，连接 交 于点 ，取格点 ，连接 交 于点 ，则 为正方形的边 和 的中点，连接 形成的直线即为 的垂直平分线．如图所示： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为 的中点， 同法可得： 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设 与 交于点 ，则：四边形 为矩形， ∴ ， ∴ 是 的中垂线． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图．同时考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．如图，在正方形 中，P是 上一动点（不与A，B两点重合），对角线 ， 相交于点O，过点P分别作 的垂线，分别交 于点E与点F． (1)求证：四边形 是矩形． (2)若正方形 的边长是a，求四边形 的周长（用含a的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查出正方形的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质得 ，因为过点P分别作 的垂线，即 ，根据三个内角是90度的四边形是矩形，即可作答． （2）先根据四边形的性质得 ， ， ，进而得 和 是等腰直角三角形， ， ，即可计算四边形 的周长． 【详解】（1）解：∵四边形 是正方形， ∴ ， 即 ， ∵过点P分别作 的垂线， ∴ ， ∴四边形 是矩形 （2）解：∵四边形 是正方形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ∴ 正方形的边长是 ， ∴ ∴ ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 和 是等腰直角三角形， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 四边形 的周长 ． 25．如图1，在平行四边形 中， 的平分线交直线 于点E，交直线 于点F． (1)当 时，G是 的中点，联结 （如图2），请直接写出 的度数______． (2)当 时， ，且 ，分别联结 、 （如图3），求 的度数． 【答案】(1)45° (2)60° 【分析】（1）联结CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解； （2）延长AB、FG相交于H，联结DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF= ∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形 ， ， ∴四边形 为矩形， ∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD， ∴∠ECF=90°， 联结CG，BG，如图2， ∵G是EF的中点， ∴CG=EG=GF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴∠BAE=∠BEA=45°， ∴BE=AB， ∴BE=CD， ∴∠FEC=∠BEA=45°， ∴∠BEG=135°， ∴∠EFC=∠FEC=45°， ∴∠GCF=∠EFC=45°， ∴∠DCG=135°， ∴∠DCG=∠BEF， 在△DCG和△BEG中， ， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG=DG，∠CDG=∠EBG， ∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°， ∴∠BGD=90°， ∴△BGD是等腰直角三角形， ∴∠BDG=45°； 故答案为：45°； （2）解：延长AB、FG相交于H，联结DH，如图， ∵FG CE， ∴AD HF， ∵AH DF， ∴四边形ADFH是平行四边形， ∵∠ABC=120°， ∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF=∠DAF=30°， ∵AH DF， ∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°， ∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°， ∴平行四边形ADFH是菱形，CE=CF， ∴∠HDF= ∠ADF=60°， ∵FG=CE，CE=CF，CF=BH， ∴FG=HB， 在△DGF和△DBH中， ， ∴△DGF≌△DBH（SAS）， ∴∠GDF=∠BDH， ∴∠BDG=∠HDF=60°． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 26．已知正方形 ， ， 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 、 于点M、N， 于点H． （1）如图①，当 时，可以通过证明 ，得到 与 的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当 时，（1）中发现的 与 的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知 中， ， 于点H， ， ，求 的长． 【答案】（1） ；（2） 成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH； （2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH； （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， 在Rt△ABM和Rt△ADN中， ∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＋∠DAN＝45°， ∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°， ∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN， ∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°， ∴∠BAM＝∠MAH， 在Rt△ABM和Rt△AHM中， ∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS）， ∴AB＝AH， 故答案为：AB＝AH； （2）AB＝AH成立，理由如下： 延长CB至E，使BE＝DN，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°， 在Rt△AEB和Rt△AND中， ∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS）， ∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD， ∵∠DAN＋∠BAM＝45°， ∴∠EAB＋∠BAM＝45°， ∴∠EAM＝45°， ∴∠EAM＝∠NAM＝45°， 在△AEM和△ANM中， ∴△AEM≌△ANM（SAS）， ∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB＝AH． （3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图： ∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND， ∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7， 设AH＝AB＝BC＝CD＝x， 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 四边形 单元综合检测 一、单选题 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知一个多边形的内角和为，则这个多边形为  （    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 3．在中，的值可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知是的重心，如果，，那么底边的长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6．如图，正方形的边长为4，为上一点，连接，于点，连接，若，则的面积为（　　）    A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 7．在中，，则 ． 8．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，则两平行直线，之间的距离是 ． 9．如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ． 10．如图，四边形是平行四边形，且对角线、相交于点O，请你添加一个条件使得四边形成为矩形，这个条件可以是 ． 11．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是 ． 12．如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为 ． 13．如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是 ． 14．如图，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm． 15．如图，正方形的边长是2厘米，点E为边BC延长线上一点，且，交于F，则 厘米    16．如图，已知：G是的重心，，那么 ． 17．如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是 ． 18．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是 ． 三、解答题 19．如图，在中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 20．如图，在菱形中，，分别是，的中点，连接，若，求菱形的周长． 21．如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 22．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 23．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线． (1)在图1中找格点C、D，使四边形是菱形； (2)在图1中画点M关于直线的对称点； (3)在图2中找格点C，使四边形为矩形； (4)在图2中画的垂直平分线． 24．如图，在正方形中，P是上一动点（不与A，B两点重合），对角线，相交于点O，过点P分别作的垂线，分别交于点E与点F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若正方形的边长是a，求四边形的周长（用含a的式子表示）． 25．如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F． (1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______． (2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数． 26．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H． （1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________； （2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $