第07讲：导数的概念及其意义【六大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

本讲义聚焦“导数的概念及其意义”核心知识点，从瞬时速度的物理背景切入，系统梳理函数平均变化率、某点处导数的定义、导数的几何意义及导函数概念，构建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生逐步理解导数的本质。 该资料以“数学眼光”观察瞬时速度等现实问题，通过“题型归纳”设计从基础到综合的例题与跟踪训练，培养学生逻辑推理与运算能力的“数学思维”，并以切线方程等应用问题引导学生用“数学语言”表达规律。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习查漏补缺，强化知识应用。

第07讲：导数的概念及其意义 【考点梳理】 【知识梳理】 知识01：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 知识02二：函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识03：函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识04：导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识05：导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 【例1】．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【详解】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可. 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 【跟踪训练2】．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】C 【分析】分别计算平均变化率，利用作差法即可判断. 【详解】由题意有，，所以，即， 故选：C. 题型二：瞬时变化率理解 【例2】．（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】表示，计算，利用可计算出 时的瞬时速度. 【详解】∵， ∴， ∴在 时的瞬时速度为. 故选：B. 【跟踪训练1】．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可. 【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以. 故选：C 【跟踪训练2】．（22-23高二上·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】由瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以． 故选：D． 题型三：导数（导函数）的理解和计算 【例三】．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的定义可求极限值. 【详解】根据导数值的定义，. 故选：A. 【跟踪训练2】．（24-25高二下·福建福州·期中）函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的定义，变形后，即可求解. 【详解】，故， 由导数的定义可知，. 故选：B 题型四：利用导数几何意义求斜率 【例4】．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【详解】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 【跟踪训练1】．（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【详解】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D 【跟踪训练2】．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【详解】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 题型五：求某点初的导数值 【例五】．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】与极限的定义式比较，配凑出导数极限的形式：． 【详解】， 故选：A． 【跟踪训练1】．（23-24高二下·山东枣庄·期中）已知为的导数，且，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据导数的定义变形即可. 【详解】根据导数的定义，， 所以. 故选：B 【跟踪训练2】．（23-24高二下·广东江门·月考）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可得，结合导数的定义可知，即可求解. 【详解】由直线与曲线切于点， 知. 由导数的定义知，. 故选：C 题型六：导数意义的综合问题 【例6】．（25-26高二·全国·假期作业）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意. （2）由题意. （3）由题意. 【跟踪训练1】．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)2.1，2.001，2.00001． (3)2，几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”． (4) 【分析】（1）利用平均变化率的意义计算. （2）利用（1）的结论，代入计算即可. （3）利用极限的意义求出结果，并指出其几何意义. （4）利用直线的点斜式求出切线方程. 【详解】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 【跟踪训练2】．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解． 【详解】根据导数定义， 令，即，得， 故选：B． 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质求解. 【详解】 当时，， 所以， 故选：D． 5．（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 6．（24-25高二下·广东清远·期中）设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解. 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 7．（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 二、多选题 8．（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 【答案】AD 【详解】对于A，在内质点的平均速度为，故A正确； 对于B，时质点的瞬时速度为，故B错误； 对于C，质点运动的速度为，故C错误； 对于D，质点运动的加速度为，故D正确. 故选：AD. 9．（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】AB 【分析】根据曲线图直接判断A，结合题目数据根据平均变化率的概念判断BC，结合题目数据根据切线斜率判断D. 【详解】列表解析，直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由题图可知，甲地气温的日较差明显小于乙地气温的日较差，所以甲地的绿化好于乙地． B √ 由题图可知，当日6时到12时，甲、乙两地气温的平均变化率为正数，且乙地气温的变化量更大，所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率． C × 由题图可知，当日12时到18时，甲、乙两地气温的平均变化率为负数，且乙地气温的变化量的绝对值更大，所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率． D × 由题图可知，两曲线在当日12时处的切线斜率不相等，即当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率不相同． 故选：AB 10．（2025高二·全国·专题练习）（多选题）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法是（    ）. A．野生水葫芦每月的面积增长率为1 B．野生水葫芦的面积从蔓延到只需1.5个月 C．设野生水葫芦面积蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦的面积从第1个月到第3个月蔓延的平均速度等于其从第2个月到第4个月蔓延的平均速度 【答案】AC 【分析】根据函数图象过的点求得，然后求解增长率判断A；计算面积判断B；利用指对互化求出判断C；分别求出从第1个月到第3个月蔓延的平均速度和从第2个月到第4个月蔓延的平均速度，即可判断D. 【详解】设指数函数的解析式为， 由题图可知图象过点，代入可得，解得，即， 则，即野生水葫芦每月的面积增长率为1，故A正确. 当时，，当时，由，解得，故B不正确. 令，可得，解得， 同理可得，， 则， ，，故C正确. 由平均变化率的定义，可得从第1个月到第3个月的平均变化率为， 从第2个月到第4个月的平均变化率为，故D不正确. 故选：AC. 11．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据导数的定义可先计算两个变量的改变量，再求极限即可. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，解得，故B正确； 对于C：，解得，故C错误； 对于D： ，故D正确． 故选：ABD． 12．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 【答案】BCD 【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项. 【详解】前内，，， 此时球在垂直方向上的平均速度为，A错误；C正确； 在时间内，，，B正确； ，，则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为， D正确． 故选：BCD． 13．（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（    ） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 【答案】ACD 【分析】利用导数和极限的关系结合导数的定义求解即可. 【详解】易知函数在处可导，故， 显然此极限仅与有关而与无关，故B正确，ACD错误. 故选：ACD. 三、填空题 14．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 15．（24-25高二下·云南昭通·期中）有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为 ． 【答案】21 【分析】求出导函数，将代入导函数的解析式，化简即可得结果. 【详解】因为， 所以， 则， 所以机器人在时刻时的瞬时速度为21. 故答案为：21. 16．（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 17．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【分析】结合导数的定义求解即可. 【详解】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 18．（24-25高二下·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【答案】 大于 等于 【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢，即可得解. 【详解】在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大， 所以甲的心率变化大于乙的心率变化； 在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲的心率变化等于乙的心率变化. 故答案为：大于；等于 四、解答题 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知某病人服用他克莫司t h后血药浓度的一些对应数据如下表所示. t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 (1)当和时，都是增加的，哪个时间段的增加更快？ (2)当时，平均每小时的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？ 【答案】(1)变换更快 (2)；在这段时间内，任意1个小时血药浓度平均减少. 【分析】（1）根据平均变换率概念计算即可； （2）根据平均变换率概念计算，并结合题意即可得到其实际意义. 【详解】（1）当时，的平均变换率为， 当时，的平均变换率为， 因为，则 变换更快. （2）当时，平均每小时的变化量为， 实际意义为任意1个小时血药浓度平均减少. 20．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）当且时，求得，得到函数的增量为，再求得的值，即可得到答案. （2）根据题意，得到，结合直线斜率的概念，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当且时，可得，即函数的增量为， 则平均变化率. （2）解：由，可得， 且， 表示曲线上两点和所在的直线的斜率为. 21．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1)6.3，6.003，6.00003． (2) 【分析】（1）利用平均变化率公式求割线斜率即可； （2）利用瞬时变化率求切线斜率即可求切线方程. 【详解】（1）割线的斜率， 当，0.001，0.00001时，，6.003，6.00003． （2）因为切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为． 22．（2025高二·全国·专题练习）某山区外围有两条相互垂直的直线形公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线形公路．如图，记两条互相垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为2km和5km，点N到的距离分别为4km和2.5km，以所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，以1km为1个单位长度，假设曲线C为函数（其中a，b为常数）的图象的一部分． (1)求a，b的值． (2)如何设计公路l，从而使得公路l的长最短？写出你的设计，并求出公路的最短长度． 【答案】(1) (2)答案见解析， 【分析】（1）结合题意，把点M，N的坐标代入中，解方程组可得； （2）由导数的几何意义求出曲线在点P处的切线方程，再由基本不等式求公路的最短长度即可. 【详解】（1）由题意可知，把点M，N的坐标代入中， 得，解得； （2）设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t．由（1）知， 设由导数的定义知，曲线的导数为， 所以曲线在点P处的切线的斜率为， 所以曲线在点P处的切线方程为， 即． 令得，即切线l在y轴上的截距为，令得， 即切线l在x轴上的截距为2t， 设公路的长度为，则． 又由于，当且仅当，即时等号成立， 所以当时公路l的长度最短，为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1导数的概念及其意义 【考点梳理】 【知识梳理】 知识01：瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 知识02二：函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识03：函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识04：导数的几何意义 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识05：导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ . 规律总结： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是数值 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 【题型归纳】 题型一：函数的平均变化率 【例1】．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·河北石家庄·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（   ） A． B．（为自然数的底数） C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期中）函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 题型二：瞬时变化率理解 【例2】．（24-25高三上·四川眉山·期中）一物体的运动方程是，则在 时的瞬时速度是（  ） A． B． C．1 D．2 【跟踪训练1】．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（22-23高二上·福建南平·期末）如果某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，那么该质点在秒时的瞬时速度为（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 题型三：导数（导函数）的理解和计算 【例三】．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【跟踪训练1】．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高二下·福建福州·期中）函数在处可导，若，则（   ） A．1 B． C． D． 题型四：利用导数几何意义求斜率 【例4】．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【跟踪训练2】．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：求某点初的导数值 【例五】．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（    ） A．6 B．3 C． D． 【跟踪训练1】．（23-24高二下·山东枣庄·期中）已知为的导数，且，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【跟踪训练2】．（23-24高二下·广东江门·月考）已知直线l：，且与曲线切于点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型六：导数意义的综合问题 【例6】．（25-26高二·全国·假期作业）利用导数定义求下列各函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练1】．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【跟踪训练2】．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西·月考）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，则当其瞬时速度为时，（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处可导，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·山西运城·期中）已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东清远·期中）设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 7．（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 二、多选题 8．（25-26高二上·江苏连云港·月考）一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：），则（   ） A．在内质点的平均速度为 B．时质点的瞬时速度为 C．质点运动的速度为 D．质点运动的加速度为 9．（25-26高二上·全国·单元测试）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）．如图是甲、乙两地某一天的气温曲线图．假设除绿化外，其他可能影响甲、乙两地气温的因素均一致，则下列结论中正确的是（    ） A．甲地的绿化好于乙地 B．当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日12时，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 10．（2025高二·全国·专题练习）（多选题）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系如图所示.假设其关系为指数函数，并给出下列说法，其中正确的说法是（    ）. A．野生水葫芦每月的面积增长率为1 B．野生水葫芦的面积从蔓延到只需1.5个月 C．设野生水葫芦面积蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有 D．野生水葫芦的面积从第1个月到第3个月蔓延的平均速度等于其从第2个月到第4个月蔓延的平均速度 11．（2025高二·全国·专题练习）已知函数的定义域为，曲线上点，且存在，则下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 12．（23-24高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（    ） A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量 C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．第时刻在垂直方向上的瞬时速度为 13．（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（    ） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 三、填空题 14．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 15．（24-25高二下·云南昭通·期中）有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为 ． 16．（24-25高二下·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 17．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则 ． 18．（24-25高二下·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化 乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化 乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 四、解答题 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知某病人服用他克莫司t h后血药浓度的一些对应数据如下表所示. t 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 (1)当和时，都是增加的，哪个时间段的增加更快？ (2)当时，平均每小时的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？ 20．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 21．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 22．（2025高二·全国·专题练习）某山区外围有两条相互垂直的直线形公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线形公路．如图，记两条互相垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为2km和5km，点N到的距离分别为4km和2.5km，以所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，以1km为1个单位长度，假设曲线C为函数（其中a，b为常数）的图象的一部分． (1)求a，b的值． (2)如何设计公路l，从而使得公路l的长最短？写出你的设计，并求出公路的最短长度． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $