精品解析：陕西省榆林市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

榆林市2025～2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 等比数列的各项均为正数，且，则___________． 14. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 16 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度. 17. 已知圆方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 18. 如图，在三棱台中，底面，，，D为的中点，. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求的长； （3）在（2）的条件下，若的长小于的长，求直线与直线所成角的余弦值. 19. 已知数列的前项和为，且，． （1）求通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市2025～2026学年度第一学期期末考试 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义可得结果 【详解】因为直线即直线垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为， 故选:C. 2. 抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（ ） A. 88.5 B. 89 C. 91 D. 89.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，计算，得到答案. 【详解】甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,89,90,92. ，这10次成绩的80%分位数为：. 故选：D. 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数、对数函数值域化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】对数函数为增函数，当时，，则， 指数函数为减函数，当时，，则， 所以. 故选：B 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得点的坐标，再由投影点坐标的特征可直接得到结果. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为， 所以点在坐标平面内投影为点. 故选：D. 5. 已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程结合离心率列方程求参数值. 【详解】由双曲线，得， 所以， 则，解得. 故选：B 6. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即， 所以，整理得，解得或（舍去）. 故选：C. 7. 已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为. 故选：A 8. 已知圆，直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据切线的性质求出点的轨迹，然后根据直线与圆的位置关系求出的范围. 【详解】因为过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，， 所以，因为， 所以，那么. 所以是以为圆心，4为半径的圆. 因为直线上存在点满足条件，所以直线与点的轨迹圆有公共点， 所以圆心到直线的距离为. 解得 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值和的关系. 【详解】因为，所以，由题意可得， 所以，则． 故选：BC 10. 设等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程求等差数列基本量，写出通项公式及前项和公式即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， ． 故选：BD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 双曲线C的渐近线方程为 C. 过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线定义分析判断；对于B：根据双曲线方程求得，即可求解渐近线方程；对于C：根据直线与双曲线的位置关系以及渐近线的性质分析判断；对于D：可知在双曲线的渐近线上方，结合双曲线定义分析判断. 【详解】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果. 【详解】令，所以， 即函数的定义域为. 故答案为：. 13. 等比数列的各项均为正数，且，则___________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算性质计算即可. 【详解】解：由已知得数列是各项均为正数的等比数列， 则， 所以． 故答案为：15. 14. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点，点是的内心，延长交线段于点，若椭圆的离心率为，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可. 【详解】 在中，连接，因是的内心，则分别平分和， 由角平分线分线段成比例定理得：，则， 因为，所以， 又因为椭圆离心率，所以. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． （1）求角B； （2）若，，求的面积S． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 16. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程； （2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案. 【小问1详解】 过点，，解得， 抛物线，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为， 设直线，，， 由得，则， 则 17. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于M，N两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程用配方法化为标准方程，进而得到，解之即可； （2）利用弦长公式求得，进而得到，易得的值. 【小问1详解】 方程可化为， ∵此方程表示圆， ∴，即，即. 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 由弦长公式及，得，解得， ∴，得． 18. 如图，在三棱台中，底面，，，D为的中点，. （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求的长； （3）在（2）的条件下，若的长小于的长，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件可得为平行四边形，从而得，再由底面，可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）先建立空间坐标系，求出与平面的法向量，再利用向量的数量积求解即可； （3）求出的坐标，再利用向量的数量积求解即可. 【小问1详解】 因为，， 即且， 所以且， 又因为D为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以且， 又因为， 所以， 又因为底面，底面， 所以， 又因为平面， 且为直角梯形的两腰， 所以必相交， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直， 故以为原点，分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 则， 所以 设为平面的法向量， 则有，即， 取， 又因为， 由题意可得， 即， 整理得 解得或， 所以或， 即的长为或； 【小问3详解】 由（2）可知或， 又因为, 所以， 即， 所以， 所以 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 19. 已知数列前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若数列满足，记的前项和，判断是否存在正整数，使得成立？若存在，则求出所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）借助与的关系计算即可得数列为等比数列，结合等比数列性质即可得； （2）结合（1）中所得后分组求和，并利用等差数列与等比数列求和公式计算即可得； （3）借助错位相减法计算可得，再令，结合数列增减性计算可得该方程不存在正整数解. 【小问1详解】 因为，所以，又，所以； 当时，， 所以，所以， 又，所以，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ； 小问3详解】 因为，所以， 所以，， 两式相减得， 所以， 由，得，所以， 令，所以， 所以数列是递增数列， 又，， 所以不存在正整数，使得， 即不存在正整数，使得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $