精品解析：四川省广安市岳池县第一中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋期岳池一中七年级数学学科期末试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列选项中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解： A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．不符合题意； D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；符合题意； 故选：D． 2. 已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 设第三根小棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根小棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， ， 第三根小棒的最大整数值是． 故选：C． 3. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等，对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：由边长为的边是角的对应边，再根据全等三角形的性质可得 故选：D． 4. 将0.000035用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.000035用科学记数法表示为． 故选：A． 5. 下列各式中从左到右变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的约分，利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 无法约分，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，单项式的除法． 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 8. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 三个角分别相等的两个三角形全等 C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 两边及一角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质、全等三角形判定及角平分线性质．结合平行线性质、全等三角形判定及角平分线性质进行判断即可． 【详解】解：A． 错误．两直线平行时，同旁内角互补（和为180度），而非相等． B． 错误．三个角对应相等的两个三角形不一定全等． C． 正确．角平分线性质定理：角平分线上任意一点到角两边的距离相等． D． 错误．两边及一角对应相等时，若该角不为两边的夹角（即），则无法保证全等． 故选：C 10. 如图，在中，，，，、、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为，其中所有正确的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，即可判断①，证明，，得出即可判断③，进而求得，即可判断②，过作于，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据平行四边形的面积公式，计算即可判断④ 【详解】解：，，， ， 是直角三角形， ， ， 故正确； ，都是等边三角形， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证： ， 四边形是平行四边形， 故正确； ， 故错误； 过作于， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故错误． 正确的结论是， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题（共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 点在二，四象限的角平分线上，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握二、四象限的角平分线上的点横纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵点在二、四象限的角平分线上， ∴点P的横纵坐标互为相反数，即， 解得：， 故答案为：； 13. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，首先提取公因数2，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，结合同高的三角形面积比等于底边的比，解题关键结合图形正确写出对应线段． 设，则可得出，的面积之比，由平行线分线段成比例定理可得，进而得出，再将的值代入，即可得出答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，又，， ∴， ∴解方程并检验得：，（舍）， ∴． 15. 如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作点E关于的对称点，连接交于，连接，由对称可得，所以，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H，利用等面积法和勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于，连接， 由对称可得， ∴，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式以及多项式除以单项式的运算法则，熟练掌握这些公式和运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开并化简括号内的式子，再进行多项式除以单项式的运算，最后代入的值求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解和约分得到最简形式，最后代入给定的x值计算结果即可． 【详解】解：原式 ， 当时，． 19. 计算：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据FB=CE得出BC=EF，根据平行得出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，从而得出三角形全等. 【详解】∵FB=CE ∴BC=EF ∵ AB∥ED ∴∠B=∠E ∵ AC∥EF ∴∠ACB=∠DFE ∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF 【点睛】三角形全等的判定及性质 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P，使最小（在坐标轴上表示出来），P点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接交x轴于点P，则点P即为所求． 小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交x轴于点P，连接， 由轴对称的性质可得，则， 故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故即为所求． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． （1）求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ （2）调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 【答案】（1）购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元 （2）甲种头盔的售价应上涨10元/个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元，根据乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个建立方程，解方程即可得； （2）设甲种头盔的售价应上涨元/个，根据月销售利润（售价进价）月销售量建立方程，解方程可得的值，再根据尽可能让顾客得到实惠解答即可得． 【小问1详解】 解：设购进甲种头盔的单价是元，则购进乙种头盔的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：购进甲种头盔的单价是30元，乙种头盔的单价是36元． 【小问2详解】 解：设甲种头盔的售价应上涨元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：甲种头盔的售价应上涨10元/个． 22. 如图是一景区观光台侧面示意图，直达观光台顶A的斜梯长为15米，其坡度．由于游客量的增加，此斜梯存在一定的安全隐患，当地政府决定对其改建，在与B处同一水平面的C处起修建斜梯和缓冲平台，其中米，米，且在A处看E处的俯角为，在C处看D处的仰角为． （1）求观光台顶A到地面的距离； （2）求B、C两处的距离． 【答案】（1）观光台顶A到地面的距离为12米 （2）B、C两处的距离为米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点F，根据题意可设，在中，运用勾股定理列出方程，求出x的值，进行计算即可解答； （2）过点D作于点H，延长交于点G．则四边形是矩形，可得，再通过解和，进一步可得出结论 【小问1详解】 过点A作于点F． ∵的坡度为， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去） ∴ 即观光台顶A到地面的距离为12米． 【小问2详解】 过点D作于点H，延长交于点G．则四边形是矩形， ∴ 在中，（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米），米， 在中，， ∴（米） ∴米， ∴B、C两处的距离为米 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用----仰角和俯角问题，坡度和坡角问题，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识；根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 23. [阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． （1）理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． （2）拓展升华：利用上面等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】（1）理解应用：； （2）拓展升华：①；②2 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题关键． 理解应用：图中阴影部分面积大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积两个正方形的面积的和，即可得到等式； 拓展升华：①根据拓展升华中的公式，将，，代入即可；②根据拓展升华中的公式，将，且代入即可． 【小问1详解】 理解应用：图b中阴影部分的面积= 图b中阴影部分的面积， ∴等式为； 【小问2详解】 拓展升华：①由理解应用可得 当，，时，， 解得； ②∵，且， 根据拓展升华中的等式可得， ∴． 24. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 25. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 【答案】（1）不是，是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 本题考查了新定义，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，，则分式方程的解为无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； 若，，分式方程的解为，符合“关联数对”的定义， ∴是关于分式方程的“关联数对”； 【小问2详解】 解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数 ∴m为整数 ∴为整数 ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，分式方程的解，解分式方程，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 26. 如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． （1）当t= s时，四边形的面积为； （2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】（1）2 （2）t的值是2 （3）t=或 【解析】 【分析】（1）用t表示出，然后利用梯形的面积公式列式进行计算即可得解； （2）分点P未到达点C时，点P到达点C返回时两种情况，用t表示出，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可； （3）分①时，过P作于E，根据等腰三角形三线合一的性质用t表示出，然后表示出，再根据列出方程求解； ②，过Q作于F，用t表示出，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 ∵，点Q的速度是，点P的速度是， ∴， ∴四边形的面积， 解得； 所以时，四边形的面积为； 故答案：2； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， 解得； 以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值是2； 【小问3详解】 ①如图①，若，过P作于E， 则，，， ∵， ∴， 解得； ②如图②，若，过Q作于F， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了梯形的性质，平行四边形的对边相等的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期岳池一中七年级数学学科期末试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共30分） 1. 下列选项中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知两根小棒的长分别是，，若第三根小棒的长度是整数，且与两根小棒首尾顺次相接能构成三角形，则第三根小棒的最大长度是（ ） A. B. C. D. 3. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（　　） A. B. C. D. 4. 将0.000035用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中从左到右变形正确是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工需90天完成．甲队先单独施工30天，然后增加了乙队，两队又合做了15天，总工程刚好全部完成，设乙队单独施工需x天完成，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 两直线平行，同旁内角相等 B. 三个角分别相等的两个三角形全等 C. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D. 两边及一角分别相等两个三角形全等 10. 如图，在中，，，，、、都是等边三角形，下列结论中；；；四边形是平行四边形；四边形的面积为，其中所有正确的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 点在二，四象限的角平分线上，则的值为________． 13. 分解因式：_____． 14. 如图，点、分别在的边、上，，且，，则______________． 15. 如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为_____． 16. 如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上动点，则的最小值等于______． 三、解答题（共72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 先化简再求值：，其中． 19. 计算：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在x轴上找一点P，使最小（在坐标轴上表示出来），P点的坐标为 ． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某商场准备购进甲，乙两种头盔进行销售，用元购进甲种头盔，用元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.2倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少40个． （1）求购进甲，乙两种头盔的单价分别是多少元？ （2）调查甲种头盔销售情况后发现，当售价为元/个时，月销售量为个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 22. 如图是一景区观光台侧面示意图，直达观光台顶A的斜梯长为15米，其坡度．由于游客量的增加，此斜梯存在一定的安全隐患，当地政府决定对其改建，在与B处同一水平面的C处起修建斜梯和缓冲平台，其中米，米，且在A处看E处的俯角为，在C处看D处的仰角为． （1）求观光台顶A到地面的距离； （2）求B、C两处的距离． 23. [阅读材料]我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，内种纸片两张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． （1）理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． （2）拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 24. 如图，D是的边上一点，，交于点E，． （1）求证：． （2）若，求的长． 25. 如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”，如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”．（直接判断是否即可，无需书写过程） ； ； （2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； （3）若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数的值． 26. 如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动． （1）当t= s时，四边形的面积为； （2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当时，若，当t为何值时，是等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $