（寒假预习讲义）第3课：圆柱的体积（讲义）-2025～2026学年六年级上册数学北师大版

第3课时：圆柱的体积 教学目标 1. 知识与技能 （1）.理解圆柱体积的概念，掌握圆柱体积计算公式V=Sh（V=πr²h），能清晰阐述公式的推导逻辑。 （2）. 能根据圆柱的底面半径、直径、周长结合高，正确计算圆柱的体积，会运用公式解决生活中简单的圆柱体积实际问题。 （3）. 能联系长方体、正方体体积公式，归纳出直柱体体积“底面积×高”的通用规律。 2. 过程与方法 （1）. 经历“猜想—操作—推导—验证”的圆柱体积公式探索过程，通过把圆柱切割拼合转化为近似长方体的操作，体会转化、类比的数学思想。 （2）. 在动手操作、小组交流中，培养观察分析、逻辑推理和空间想象能力，初步感知极限思想。 （3）. 学会从不同条件（如已知底面周长求体积）出发，设计圆柱体积的计算方案，提升数学运算和问题解决能力。 3. 情感态度与价值观 （1）. 通过实物操作、生活实例分析，感受数学与生活的密切联系，体会圆柱体积知识的实际应用价值，激发数学学习兴趣。 （2）. 在公式推导和合作探究中，养成严谨求实、认真思考、乐于交流的学习习惯。 （3） 在解决实际问题的过程中，体验数学探索的乐趣，增强运用数学知识解决实际问题 4.重点与难点 （1） 推导圆柱体积计算公式：通过转化思想（将圆柱切拼成长方体），理解长方体底面积=圆柱底面积、长方体高=圆柱高，推导得出 V=Sh = πr²h。 （2）掌握圆柱体积的计算方法：能根据已知条件（底面积/半径/直径/周长、高），正确代入公式计算圆柱体积。 （3） 运用公式解决实际问题：解决圆柱容器容积、不规则圆柱体积（排水法）等常见实际问题。 新课导入 【知识总结】 1、圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。 2、圆柱的体积＝底面积×高。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高， 那么V＝Sh。 3、圆柱体积公式的应用： （1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。 （2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝πr2h； （3）已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝π(d÷2)2h； （4）已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝π(C÷π÷2)2h； 4、圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。 5、圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。 考点讲解 随堂演练 1. 如图，把一个圆柱切成若干等份，拼接成一个近似的长方体。这个长方体的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ），高等于圆柱的（ ），长方体的表面积与圆柱相比，（ ）（填 “增加了”“减小了” 或 “不变”）。圆柱的体积用字母表示是V=（ ）。 2、 （1）圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的 2 倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 （2）（易错题）将一根长 4 m 的圆柱形木料锯成三段小圆柱后，表面积增加了25.12 dm2，原来这根圆柱形木料的底面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3。 3.根据图中信息，下列方程正确的是（ ）。 A. π×(28​)2×x=π×(26​)2×(x−5) B. π×(28​)2×x=π×(26​)2×(x+5) C. π×82×x=π×62×(x+5) D. π×82×x=π×62×5 4.计算下面各圆柱的体积。（单位：cm） 5. 佛山是中国武术之乡，咏春拳等拳种深受人民热捧。如图，阳阳在练习木人桩，木人桩的桩身是一根底面半径为10 cm、高为1.6 m的圆木，这根圆木的体积是多少立方分米？ 6.（清远期末真题）很多人习惯口渴了才喝水，其实当大家感到口干时，已经是身体缺水的信号，这种习惯不利于身体健康。医生建议：每日喝水应不少于1500 mL。笑笑每天用内部底面直径为6cm、高为10cm的圆柱形水杯喝满6杯水，她每天的饮水量达到要求了吗？ 7、李老师请同学们想办法得出一个鸡蛋的体积，乐乐进行了操作与测量，并填写了如下实验报告单。请你算一算，这个鸡蛋的体积约是多少立方厘米？ 8.如图，冰冰在植物园游览时发现了一个圆形苗圃。 （1）冰冰想知道这个苗圃里土壤的体积，需要选择的信息是（ ）。（填序号） ① 苗圃高度是 1.2 m；② 苗圃里面土壤的厚度是 0.4 m； ③ 苗圃周长是 12.56 m；④ 每立方米土壤的质量约是 1.5 t。 （2）根据上面的信息，计算出苗圃里土壤的质量。 9. [新趋势・思维探究]在学习梯形面积时，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积公式。请你用这样的思路，求出下图中立体图形的体积。 （图中信息：该立体图形底面直径为8dm，两侧高度分别为10dm和15dm） 课堂巩固 1、 填空。 （1） 把圆柱切开后拼成一个近似的长方体，长方体的长等于圆柱底面周长的（ ），宽等于圆柱的（ ），高等于圆柱的（ ）。 （2）一个圆柱的底面半径是 4 分米，侧面展开图是正方形，这个圆柱的体积是（）立方分米 。 （3）一个圆柱，它的底面周长是25.12cm，它的底面积是（ ）cm2。 （4）长方体、正方体的体积 =（ ）×（ ），一个棱长是15dm的正方体水箱，它的体积是（ ）dm3。 2. 预防溺水！为了让学生学会游泳的技能，学校建了一个圆柱形游泳池，聪明的你知道如何求出游泳池里能装多少升水吗？ （1）想一想。 （2） 剪一剪，拼一拼，填一填。 （3）学校建的圆柱形游泳池，底面内半径是2m，高是1.5m，池子里能装多少升水？ 答：池子里能装（ ）L水。 3. 分别算出下面各图形的体积，你发现了什么？（单位：cm） 4、一盒牛奶的净含量是 245 毫升，如果杯子里装满了牛奶（杯子的厚度忽略不计），那么哪个容器里的牛奶多？（图：左边是一盒牛奶，右边是一个底面直径 6 cm、高 10 cm 的圆柱形杯子） 5、（真题链接・东城区）一个圆柱形粮仓，从里面量得它的数据如下图所示，如果每立方米小麦重 730 千克，那么这个粮仓大约能装多少吨小麦？（得数保留整数） 6、工人叔叔把一根高是 1 米的圆柱形木料，沿与底面平行的方向锯成两段，这时表面积比原来增加了 25.12平方分米 。求这根圆柱形木料的体积。 7、求下面这根钢管的体积。（单位：厘米） 8、一根长 4 米的钢管，底面内直径是 6 厘米，管壁厚 1 厘米，如果每立方厘米钢管重 7.8 克，那么这根钢管的质量大约是多少千克？（得数保留整数） 9、新花公园新建了一个圆柱形水池，它的容积是169.56立方米，底面积是28.26平方米，现在水池里的水量为水池容积的，水深多少米？ 10.（真题链接・东城区）阳光小学六年级学生调查发现，学校自来水水管的内直径是0.2分米，水管内水流速度是每秒0.8分米。如果一位同学课间忘记关水龙头，那么 1 分钟浪费多少升水？40 分钟呢？ 11、如下图所示，一个内直径是 6 厘米的瓶子里，水的高度是 10 厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分呈圆柱形，高度是 8 厘米，这个瓶子的容积是多少？（图①：瓶子正放，水高 10 cm；图②：瓶子倒置，无水部分高 8 cm） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时：圆柱的体积 教学目标 1. 知识与技能 （1）.理解圆柱体积的概念，掌握圆柱体积计算公式V=Sh（V=πr²h），能清晰阐述公式的推导逻辑。 （2）. 能根据圆柱的底面半径、直径、周长结合高，正确计算圆柱的体积，会运用公式解决生活中简单的圆柱体积实际问题。 （3）. 能联系长方体、正方体体积公式，归纳出直柱体体积“底面积×高”的通用规律。 2. 过程与方法 （1）. 经历“猜想—操作—推导—验证”的圆柱体积公式探索过程，通过把圆柱切割拼合转化为近似长方体的操作，体会转化、类比的数学思想。 （2）. 在动手操作、小组交流中，培养观察分析、逻辑推理和空间想象能力，初步感知极限思想。 （3）. 学会从不同条件（如已知底面周长求体积）出发，设计圆柱体积的计算方案，提升数学运算和问题解决能力。 3. 情感态度与价值观 （1）. 通过实物操作、生活实例分析，感受数学与生活的密切联系，体会圆柱体积知识的实际应用价值，激发数学学习兴趣。 （2）. 在公式推导和合作探究中，养成严谨求实、认真思考、乐于交流的学习习惯。 （3） 在解决实际问题的过程中，体验数学探索的乐趣，增强运用数学知识解决实际问题 4.重点与难点 （1） 推导圆柱体积计算公式：通过转化思想（将圆柱切拼成长方体），理解长方体底面积=圆柱底面积、长方体高=圆柱高，推导得出 V=Sh = πr²h。 （2）掌握圆柱体积的计算方法：能根据已知条件（底面积/半径/直径/周长、高），正确代入公式计算圆柱体积。 （3） 运用公式解决实际问题：解决圆柱容器容积、不规则圆柱体积（排水法）等常见实际问题。 新课导入 答案：V=2.512 m3 解析：已知圆柱体积公式 V=πr2h，其中底面半径 r=0.4 m，高 h=5m。 代入数据计算：V=3.14×0.42×5=3.14×0.16×5=2.512 m3。 答案：V=452.16 mL 解析：水杯容积即圆柱体积，先求底面半径 r=6÷2=3 cm， 再用公式 V=πr2h。代入数据：V=3.14×32×16=3.14×9×16=452.16cm3， 因 1 cm3=1 mL，故容积为 452.16 mL。 答案：V=2512cm3 解析：先由底面周长求半径：C=2πr，得 r=12.56÷(2×3.14)=2 cm； 再用体积公式 V=πr2h，代入 h=200cm：V=3.14×22×200=3.14×4×200=2512cm3。 【知识总结】 1、圆柱的体积：一个圆柱所占空间的大小。 2、圆柱的体积＝底面积×高。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高， 那么V＝Sh。 3、圆柱体积公式的应用： （1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。 （2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝πr2h； （3）已知圆柱的底面直径和高，求体积，可用公式：V＝π(d÷2)2h； （4）已知圆柱的底面周长和高，求体积，可用公式：V＝π(C÷π÷2)2h； 4、圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。 5、圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。 考点讲解 答案：正方体体积：5×5×5=125 cm3 长方体体积：10×2×2=40 cm3 圆柱体积：3.14×(4÷2)2×6=75.36 cm3 答案：V=300 cm3解析：直接用 V=Sh=60×5=300cm3。 答案：V=113.04cm3解析：V=πr2h=3.14×32×4=113.04cm3。 答案：V=282.6dm3解析：半径 r=6÷2=3dm，V=3.14×32×10=282.6dm3。 答案：r=14÷2=7cm，V=3.14×72×20=3077.2cm3=3077.2mL； 因 3077.2 mL>3000 mL，故能装下。 答案：r=3.14÷(2×3.14)=0.5m；V=3.14×0.52×4=3.14 m3。 答案：高 80 cm=0.8 m； 粮囤容积（稻谷体积）：V=Sh=2×0.8=1.6m3； 稻谷重量：1.6×600=960kg。 答案：长方体体积：4×2×9=72 dm3； 圆柱体积：3.14×(4÷2)2×9=113.04 dm3； 比较得：圆柱体积大（具体结果需结合图中实际尺寸） 答案：铁块体积等于水面上升的圆柱体积， 半径 r=10÷2=5cm，上升高度 1cm；V=3.14×52×1=78.5cm3。 随堂演练 1. 如图，把一个圆柱切成若干等份，拼接成一个近似的长方体。这个长方体的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ），高等于圆柱的（ ），长方体的表面积与圆柱相比，（ ）（填 “增加了”“减小了” 或 “不变”）。圆柱的体积用字母表示是V=（ ）。 答案：底面周长的一半；底面半径；高；增加了；Sh（或πr2h） 2、 （1）圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的 2 倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 答案：4 倍 （2）（易错题）将一根长 4 m 的圆柱形木料锯成三段小圆柱后，表面积增加了25.12 dm2，原来这根圆柱形木料的底面积是（ ）dm2，体积是（ ）dm3。 答案：底面积6.28 dm2；体积251.2 dm3 3.根据图中信息，下列方程正确的是（ ）。 A. π×(28​)2×x=π×(26​)2×(x−5) B. π×(28​)2×x=π×(26​)2×(x+5) C. π×82×x=π×62×(x+5) D. π×82×x=π×62×5 答案：B 4.计算下面各圆柱的体积。（单位：cm） （1）S=12 cm2，高 5cm：60 cm3 （2）底面半径 3cm，高 4cm：113.04 cm3 （3）底面直径 2cm，高 3.5cm：10.99 cm3 5. 佛山是中国武术之乡，咏春拳等拳种深受人民热捧。如图，阳阳在练习木人桩，木人桩的桩身是一根底面半径为10 cm、高为1.6 m的圆木，这根圆木的体积是多少立方分米？ 答案：10cm=1dm，1.6m=16dm； 3.14×12×16=50.24 dm3。 6. （清远期末真题）很多人习惯口渴了才喝水，其实当大家感到口干时，已经是身体缺水的信号，这种习惯不利于身体健康。医生建议：每日喝水应不少于1500 mL。笑笑每天用内部底面直径为6cm、高为10 cm的圆柱形水杯喝满6杯水，她每天的饮水量达到要求了吗？ 答案：r=3cm，V=3.14×32×10=282.6cm3=282.6mL； 282.6×6=1695.6 mL， 因1695.6>1500，故达标。 7、李老师请同学们想办法得出一个鸡蛋的体积，乐乐进行了操作与测量，并填写了如下实验报告单。请你算一算，这个鸡蛋的体积约是多少立方厘米？ 答案：鸡蛋体积 = 水面上升体积，r=4 cm，上升高度 1cm；V=3.14×42×1=50.24 cm3。 8.如图，冰冰在植物园游览时发现了一个圆形苗圃。 （1）冰冰想知道这个苗圃里土壤的体积，需要选择的信息是（ ）。（填序号） ① 苗圃高度是 1.2 m；② 苗圃里面土壤的厚度是 0.4 m； ③ 苗圃周长是 12.56 m；④ 每立方米土壤的质量约是 1.5 t。 （2）根据上面的信息，计算出苗圃里土壤的质量。 答案：（1）②③ （2）计算土壤质量（假设选②③，补充④每立方米土壤重 1.5t） 答案：7.536 t r=12.56÷(2×3.14)=2 m； V=3.14×22×0.4=5.024 m3； 5.024×1.5=7.536 t。 9. [新趋势・思维探究]在学习梯形面积时，我们用两个完全相同的梯形拼成平行四边形，推导出了梯形的面积公式。请你用这样的思路，求出下图中立体图形的体积。 （图中信息：该立体图形底面直径为8 dm，两侧高度分别为10 dm和15 dm） 答案：628 dm3 解析：两个相同立体可拼成一个高为10+15=25 dm的圆柱， 半径r=4 dm； 圆柱体积：3.14×42×25=1256 dm3； 原立体体积：1256÷2=628 dm3。 课堂巩固 1、 填空。 （1） 把圆柱切开后拼成一个近似的长方体，长方体的长等于圆柱底面周长的（ ），宽等于圆柱的（ ），高等于圆柱的（ ）。 答案：一半；底面半径；高 （2） 一个圆柱的底面半径是 4 分米，侧面展开图是正方形，这个圆柱的体积是（）立方分米 。 答案：1262.03 dm3 （3） 一个圆柱，它的底面周长是25.12cm，它的底面积是（ ）cm2。 答案：50.24 cm2 （4） 长方体、正方体的体积 =（ ）×（ ），一个棱长是15 dm的正方体水箱，它的体积是（ ）dm3。 答案：底面积；高；3375dm3 2. 预防溺水！为了让学生学会游泳的技能，学校建了一个圆柱形游泳池，聪明的你知道如何求出游泳池里能装多少升水吗？ （1）想一想。 答案：容积；体积 （5） 剪一剪，拼一拼，填一填。 答案：底面积；高；底面积；高；底面积；高；V=Sh （3）学校建的圆柱形游泳池，底面内半径是2 m，高是1.5 m，池子里能装多少升水？ 答案：18840L 体积：3.14×22×1.5=18.84 m3； 单位换算：1 m3=1000 L， 故18.84×1000=18840 L。 3. 分别算出下面各图形的体积，你发现了什么？（单位：cm） 答案：“底面积 × 高” 4、一盒牛奶的净含量是 245 毫升，如果杯子里装满了牛奶（杯子的厚度忽略不计），那么哪个容器里的牛奶多？（图：左边是一盒牛奶，右边是一个底面直径 6 cm、高 10 cm 的圆柱形杯子） 答案：杯子里的牛奶多 解析：杯子容积：3.14×32×10=282.6mL， 因282.6>245，故杯子牛奶多。 5、（真题链接・东城区）一个圆柱形粮仓，从里面量得它的数据如下图所示，如果每立方米小麦重 730 千克，那么这个粮仓大约能装多少吨小麦？（得数保留整数） 答案：18 吨（保留整数） 解析：体积：3.14×(4÷2)2×2=25.12 m3；小麦重量：25.12×730=18337.6 kg≈18 吨。 6、工人叔叔把一根高是 1 米的圆柱形木料，沿与底面平行的方向锯成两段，这时表面积比原来增加了 25.12 分米 ²。求这根圆柱形木料的体积。 答案：125.6 dm3 解析：锯成两段增加 2 个底面， 底面积：25.12÷2=12.56 dm2； 高1 米=10 dm， 体积：12.56×10=125.6 dm3。 7、求下面这根钢管的体积。（单位：厘米） 答案：1695.6 cm3 解析：钢管体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积；外半径2cm，内半径1cm； V=3.14×(22−12)×60=3.14×3×60=1695.6 cm3。 8、一根长 4 米的钢管，底面内直径是 6 厘米，管壁厚 1 厘米，如果每立方厘米钢管重 7.8 克，那么这根钢管的质量大约是多少千克？（得数保留整数） 答案：68 千克（保留整数） 解析：统一单位：4 米=400 cm；内半径3 cm，外半径3+1=4 cm； 钢管体积：3.14×(42−32)×400=3.14×7×400=8792 cm3；质量：8792×7.8=68577.6 克≈68 千克。 9、新花公园新建了一个圆柱形水池，它的容积是169.56 米3，底面积是28.26平方米，现在水池里的水量为水池容积的，水深多少米？ 答案：2.5 米 解析：水的体积：169.56×125​=70.65m3； 水深：70.65÷28.26=2.5米。 10.（真题链接・东城区）阳光小学六年级学生调查发现，学校自来水水管的内直径是0.2分米，水管内水流速度是每秒0.8分米。如果一位同学课间忘记关水龙头，那么 1 分钟浪费多少升水？40 分钟呢？ 答案：1.5072 升；60.288 升 解析：1 分钟 = 60 秒，水流体积为圆柱体积，半径0.1分米； 体积：3.14×0.12×0.8×60=1.5072立方分米，因1立方分米=1升， 故为1.5072 升。 1.5072×40=60.288升。 11、如下图所示，一个内直径是 6 厘米的瓶子里，水的高度是 10 厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分呈圆柱形，高度是 8 厘米，这个瓶子的容积是多少？（图①：瓶子正放，水高 10 cm；图②：瓶子倒置，无水部分高 8 cm） 答案：423.9 cm3（或423.9 mL） 解析：瓶子容积 = 正放水的体积 + 倒置无水部分体积，半径3cm； 总高度：10+8=18 cm； 容积：3.14×32×18=423.9 cm3。 学科网（北京）股份有限公司 $