精品解析：云南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末模拟试卷六数学试题

期末模拟(六) 一、单项选择题 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【详解】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 2. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】利用下标和性质分别求出和即可得解. 【详解】设等差数列的首项为，等比数列的首项为， 则， 所以. 故选：D 3. 某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（ ） A. 98分钟 B. 90分钟 C. 88分钟 D. 85分钟 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样的性质可得抽取的男女生人数,进而可得样本中学生每天运动时间的平均值,即可得解. 【详解】由分层抽样的性质可得抽取男生人，女生人， 则样本中学生每天运动时间的平均值（分钟）， 故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟. 故选：C. 【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了总体平均数的估计，属于基础题. 4. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离. 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 6. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图像和性质即可解得. 【详解】因为图像经过， 所以. 即. 解得. 由图像可知，即， 解得，所以，. 所以的最小正周期为. 故选：C 7. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 【答案】B 【解析】 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 8. 若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数的零点是与图象交点的横坐标，函数的零点是与图象交点的横坐标，数形结合可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的取值范围. 【详解】函数的零点是与图象交点的横坐标， 函数的零点是与图象交点的横坐标， 由于与互为反函数，其图象关于直线对称， 直线与直线垂直， 故直线与直线的交点即是的中点， ，， 当且仅当时等号成立，故， 故所求的取值范围是． 故选：B． 二、多项选择题 9. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（ ） A. 在方向上的投影为0 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量投影、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】平行四边形中，， 所以， 所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以A正确； ，，．所以B正确； ，所以C不正确； 因为，所以，所以D不正确. 故选：AB 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ） A. 椭圆的离心率的取值范围是 B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A，根据离心率求出，则，即可判断B，设上顶点，得到，即可判断C，利用基本不等式判断D. 【详解】解：由题意得，又点在椭圆外，则，解得， 所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确； 当时，，，所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，，由于， 所以存在点使得，故C正确； ， 当且仅当时，等号成立， 又， 所以，故D正确． 故选：BCD 11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（　　） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知得数列满足递推关系，选项A：直接递推求解；选项B：观察数列每三项都是奇、奇、偶重复循环可得；选项C：假设正确，然后推出矛盾；选项D：利用递推式计算. 【详解】由已知得数列满足递推关系. 选项A： ，A正确； 选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022＝674×3，恰好能被3整除，且为偶数，所以也为偶数，故B错误； 选项C：若选项C正确，又，则， 同理，依次类推，可得，显然错误，故C错误； 选项D：， 所以，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12. 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率． 【详解】过且斜率为的直线，渐近线， 联立，得，由，得 而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率. 故答案为：． 13. 已知的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出斜边的长，再求出斜边上的高，从而可知该几何体为两个同底面的圆锥，底面半径为，两个圆锥的高之和为5，进而可求出其体积. 【详解】因为的两条直角边分别为3，4，所以由勾股定理知斜边为5，则斜边上的高为， 所以几何体为两个同底面的圆锥，底面半径为，两个圆锥的高之和为5， 所以该几何体体积为， 故答案为： 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 四、解答题 15. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 16. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，即，所以，同理可证， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，即可证得结论成立； （2）构造直棱柱，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，由二面角的定义可得，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 构造直棱柱如图所示，则，因为，则， 因为，，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为平面平面，，， 所以二面角的平面角为，则， 因为，，则， 又因为，所以， 所以、、、， 因为、分别为、的中点，所以、， 所以， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以， 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 记，为数列的前n项和，已知，． （1）求，并证明是等差数列； （2）求． 【答案】（1），证明如下： 因为①，所以②． ②－①得，，整理得，， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用与前n项和的关系，由可得的值，即可求得的值；根据相减法求得为常数，证明其为等差数列； （2）由（1）中数列为等差数列，对进行奇偶讨论，即可求得. 【小问1详解】 已知， 当时，，；当时，，，所以． 证明：略 【小问2详解】 由（1）知，，，． 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 综上所述，. 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 19. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、 的斜率之积为常数． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：当抛物线上处的切线斜率存在时,设其方程为，其中， 由得①， 由题意可得，可得， 即，所以，解得， 所以切线方程为，即， 即，即②； 即为上处的切线斜率存在时的方程； 当上处的切线斜率不存在时，即时处切线方程为，符合②式． 所以上处的切线方程为. （ⅱ）证明：设、， 由（ⅰ）知点处的切线方程为④， 点处的切线方程为⑤， 将分别代入上面两式得． 所以点、的坐标均满足方程， 所以直线方程为， 由④⑤知直线、斜率分别为，，则⑥， 由得，则，可得， 由韦达定理可得，则， 所以直线、斜率之积为常数． 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义、焦半径公式可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）（i）当抛物线上处的切线斜率存在时设其方程为，其中，将该直线方程与抛物线的方程联立，由可求出，代入切线方程可证得结论成立；当切线斜率不存在时，直接验证即可； （ii）设、、，根据（i）中的结论成立写出直线、的方程，将点的坐标分别代入两切线方程，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 抛物线的焦点，准线方程为， 设动点，动点到其准线的距离为， 由抛物线定义得，则， 当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末模拟(六) 一、单项选择题 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则的值为（ ） A. 58 B. 57 C. 56 D. 55 3. 某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（ ） A. 98分钟 B. 90分钟 C. 88分钟 D. 85分钟 4. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（ ） A. 120种 B. 150种 C. 180种 D. 300种 8. 若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（ ） A. 在方向上的投影为0 B. C. D. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ） A. 椭圆的离心率的取值范围是 B. 当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C. 存在点使得 D. 的最小值为1 11. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（　　） A. B. 是奇数 C. D. 三、填空题 12. 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 13. 已知的两条直角边分别为3，4，以斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体体积是______. 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 四、解答题 15. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 16. 如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. （1）证明：； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 记，为数列的前n项和，已知，． （1）求，并证明是等差数列； （2）求． 18. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题： （ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为； （ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、 的斜率之积为常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $