广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期期末自编数学模拟卷（北师大版）

广东省深圳市2025-2026学年上学期期末自编模拟卷 九年级数学 (考试时间：120分 试卷总分：120分 ) 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（本题3分）用配方法解一元二次方程，得到，则p的值为（   ） A． B．5 C． D．21 3．（本题3分）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）布袋中装有大小、质感完全相同的红、黄小球各一个，从中随机摸出一个，记下颜色放回，摇动后再摸一个．第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C都在格点上，点B是线段与网格线的交点，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）“青杂”系列杂交油菜品种在青海广泛种植．某农业基地现有油菜种植面积为20公顷，计划两年后将油菜种植面积增至24.2公顷，设该农业基地油菜种植面积的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式 的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 8．（本题3分）如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 9．（本题3分）如图，平面直角坐标系中，点．若与是以坐标原点为位似中心的位似图形，是的对应边，且，则的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 10．（本题3分）如图，在正方形中，为的中点，于，交于点，交于点，连接、、有如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）实数分别满足且，则的值是 ． 12．（本题3分）如图，在四边形中，，若平行于的直线交四边形两边于点，且将四边形分割成面积相等的两部分，则长为 ． 13．（本题3分）若关于的方程与只有一个公共实数根，则方程的两根之和减去两根之积，结果为 ． 14．（本题3分）如图，在中，点D，E，F分别是各边的中点，连接DE，DF，随机向中掷一粒米，则这粒米落在阴影部分的概率为 ． 15．（本题3分）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数图象交于点B，则 ． 16．（本题3分）如图，矩形的两边、分别在平面直角坐标系的坐标轴上，点坐标为，点为中点，反比例函数（是常数，）的图像经过点，交于点，连接，则的长度为 ． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）用适当的方法解下面的方程： (1) (2) 18．（本题8分）如图，中，，边上有两点，满足是等边三角形． (1)求证：； (2)如果，求的长． 19．（本题8分）如图，四边形是矩形，点是的中点，将绕点旋转，分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 20．（本题9分）为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． (1)m=______%，这次共抽取了_____名学生进行调查；并补全条形图； (2)请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球； (3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 21．（本题9分）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离； (2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 22．（本题10分）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． (1)求和的值； (2)求一次函数的函数表达式； (3)求的面积． 23．（本题10分）我校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段，请根据图中信息解答下列问题： (1)第3分钟时消毒效果为________效力； (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 24．（本题12分）【问题探究】 （1）如图1，在中，，于点，试说明：； （2）如图2，在菱形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接交于点，若，，求的长； 【问题解决】 （3）某广告公司承接了一项业务，广告内容呈现在一块矩形板材上，如图3所示，点在边上，由于工作需要，需使与关于直线对称，且点在边上，为的中点，连接，交于点，．根据设计要求，要在段进行镀金装饰，已知米，为合理预算，需知道镀金装饰部分的长度．请你帮助设计师求出镀金装饰部分的长度． 第2页，共8页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 《广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期期末自编数学模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C A C C A D C C 1．B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此逐一判断即可解答． 【详解】解：A：，未知数x的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B：，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C：，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； D：，未知数x的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，即通过配方将方程转化为完全平方的形式，进而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 配方得， 即， ∴， 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到黄球的有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到黄球的概率为：， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定；由勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得， 由图可知， ， ， ， 故选：． 6．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用中的增长率问题．根据年平均增长率模型，两年后的面积等于初始面积乘以（增长率）的平方，列出方程即可． 【详解】解：设该农业基地油菜种植面积的年平均增长率为x，根据题意可列方程为； 故选C． 7．A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的交点坐标与不等式解集之间的关系，先求出反比例函数解析式，进而求出点M的横坐标，然后结合图象进行判断即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， 把代入得， 解得， ∴不等式 的解集为或， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 9．C 【分析】本题考查了位似变换；根据位似图形的性质，将点的横纵坐标乘以或即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，是的对应边，且， ∴相似比为，把缩小，点A的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或， 故选：C． 10．C 【分析】由正方形的性质可得，，，，再证明出，即可得出，从而判断①；证明出，即可判断②；证明出，再结合，且四边形为正方形，得出，即可判断③；连接，设，则，，，，即可判断④；延长与交于点，证明，得出，证明为直角三角形，得出，从而可得，即可判断⑤． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③∵， ∴，， ∴， ∵，且四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ④如图，连接， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤延长与交于点， ∵， ∴， 根据②的结论为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 于， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③④⑤，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由题意得和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，求出和的值，再代入的表达式求解即可． 【详解】解：∵和满足方程和，且， ∴和是方程的两个实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∴， 故答案为:． 12． 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，得到点的位置是解题的关键． 延长，交于点G，过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出长，进而计算，，再过点A作交于点M，求出判断点E在上，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：如图，延长，交于点G，过点C作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点A作交于点M， 则， ∴，即， ∴， ∴点E在上，且， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，设公共实数根为，则满足方程和，则，，得：，化简得，所以或，然后分或两种情况分析，最后由根与系数的关系进行计算即可，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设公共实数根为，则满足方程和， ∴，， 得：， 化简得： ， ∴或， 当时，代入得， 解得； 当时，两方程均为，有两个公共根，不符合题意， 故， ∴方程，即为， 根据根与系数的关系，两根之和为，两根之积为， ∴两根之和减去两根之积为， 故答案为：． 14． 【分析】利用阴影部分与三角形的面积比即可．本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的性质、几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键． 【详解】解：设三角形面积为1． ∵中，分别是各边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的对角线， ， 同理， ， ∴阴影部分的面积的面积的， ∴米粒落到阴影区域内的概率是． 故答案为：． 15．2 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确构造相似三角形是解题的关键．作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为， 则：， ∵点为反比例函数图象上的一点，点为反比例函数图象上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 故答案为：2． 16． 【分析】本题考查了矩形的性质、反比例函数的性质、勾股定理，由题意可得，点的纵坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，再计算得出，最后由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形，且点坐标为，点为中点， ∴，点的纵坐标为， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴，； （2）解： 或 ，. 18．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）根据两角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形和等边三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）是等边三角形， ． ． ， ． ， ． ． （2）， ． 是等边三角形， ． ． ∴ 19．(1)见解析； (2)37.5． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形性质和判定，菱形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握勾股定理及菱形的判定及性质定理是解本题的关键． （1）利用矩形性质证明，进而得到四边形为平行四边形，结合旋转的性质，以及对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可； （2）结合菱形性质设，则，由勾股定理可求的长，进而即可求出菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， 是中点， ， 在和中， （）， ， 四边形是平行四边形， ∵绕点旋转， ∴， 四边形是菱形； （2）解：， 由菱形性质可设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ， ． 20．(1)20，50，见解析 (2)360 (3) 【分析】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由题意分别列式计算即可； （2）由该校学生人数乘以喜爱打篮球的学生所占的百分数即可； （3）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：， 这次共抽取了学生人数为（名）， 喜欢打乒乓球的人数为， 补全条形统计图如下： ； （2）解：该校喜爱打篮球的人数：（名）； （3）解; 列表如下： 男 男 男 女 男 —— （男，男） （男，男） （男，女） 男 （男，男） —— （男，男） （男，女） 男 （男，男） （男，男） —— （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） —— 共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女学生的结果有6种， ∴抽到一男一女学生的概率． 21．(1)10米 (2)47米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过C作交延长线于H，利用30度角所对的直角三角形等于斜边一半求解即可； （2）过H作交于E，则四边形为平行四边形，在中，米，则米，再根据平行投影求解即可． 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，， （米）； 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作交于E， ，， ， 四边形为平行四边形， 米， 在中，（米）， （米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即， 解得， （米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米． 22．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A的坐标，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 23．(1) (2)深消毒阶段的函数解析式为；降消毒阶段的函数解析式为； (3)本次消毒有效 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了求一次函数及反比例函数解析式，求自变量值和函数值，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）设渐消毒阶段的函数解析式为，将点代入，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的函数值即可； （2）分别设深消毒阶段的函数解析式为，降消毒阶段的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分别求出深消毒阶段和降消毒阶段消毒效果达到4效力的时间，作差比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第3分钟处于段渐消毒阶段， 设渐消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 渐消毒阶段的函数解析式为， 当时，， 即第3分钟时消毒效果为效力， 故答案为： （2）解：设深消毒阶段的函数解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 深消毒阶段的函数解析式为； 设降消毒阶段的函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 降消毒阶段的函数解析式为； （3）解：当深消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：； 当降消毒阶段消毒效果达到4效力时，则， 解得：， ， 即本次消毒有效． 24．（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意得出即可得证； （2）根据菱形的性质得出，进一步得出，再设，根据相似比求出，即；通过建立平面直角坐标系，可得点与点的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求出答案； （3）先根据矩形的性质，轴对称的性质和平行线的性质，得出，进一步得，，同理（1）可得，进一步得，最后设，列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． ， ． 又， ， ， ． （2）解：四边形为菱形，， ，，，，． 点为的中点， ． ， ， ． 设， 则，， ， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． ， 以菱形对角线的交点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ，，， ，，． 点为的中点， ，即， ． 答：的长为． （3）解：四边形为矩形， ， ． 与关于直线对称， ， ，． ， ， ，， ，． 又， ， ． 为的中点， ． 同理（1）可得，， ， ． 设，则， ， 解得，，（不符合题意，舍去）， ． 答：的长为． 答案第2页，共20页 答案第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $