江苏省扬州市2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·扬州） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（    ） A． B． C．任意实数 D． 2．已知△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点D是⊙O上一点，则下列命题正确的是（　　） A．若CD平分AB，则CD⊥AB B．若CD⊥AB，则CD平分∠ACB C．若CD平分∠ACB，则AC+BC＝ D．若AC+BC＝，则点D在劣弧AC上 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D．1 4．某班级在开学初进行了寒假“诵冰雪，阅好书”活动总结，班级准备了电影《哪吒2》中的角色玩偶作为奖品，老师把5张形状大小相同的奖品兑换卡放在盒子中，其中有3张哪吒玩偶兑换卡、2张敖丙玩偶兑换卡，小华和小颖在此次活动中表现突出获得优先抽取的机会，每人从盒子中随机抽取一张兑换卡，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率是（     ） A． B． C． D． 5．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正确的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①③ B．①②③ C．④⑤⑥ D．①③⑤ 7．如图，在小正方形网格中，则的值是（   ）． A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． 下列结论：①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 棵． 10．若方程的一个根是m，则的值为 ． 11．一个不透明的袋子里面装有10个红球和若干白球，若随机在袋子里摸一个球，摸到红球的概率是，则袋子里面有 个白球． 12．如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，，，各部分长度满足，若小提琴的总长度为，则琴身的长为 ．    13．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是 m． 14．D、E分别为中边上的点，交于点O，且，，设、、和四边形的面积分别为． （1）          （2）若 15．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为 ．（结果保留根号） 16．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝ s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 17．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内、两点之间有障碍物，现将、两点放置于平面直角坐标系中（如图），已知点，的坐标分别为，，机器人沿抛物线运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则的取值范围是 ．    18．如图，是的直径，点D为弦上一点，连接并延长交于点E，连接、，以、为邻边作平行四边形，其中的延长线交于点G，连接，若，，，则 ， ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2， 且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，求实数m的值． 21．如图，在每个小正方形边长为个单位长的网格中，建立直角坐标系，点，，均在格点上．    (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为：； (2)直接写出（1）点的坐标为______． 22．某校的科技节比赛设置了如下项目：A-船模；B-航模；C-汽模．如图为该校参加科技比赛的学生人数统计图． (1)该校报名参加B项目学生人数是 人； (2)该校报名参加C项目学生人数所在扇形的圆心角的度数是 °； (3)为确定参加区科技节的学生人选，该校在集训后进行了校内选拔赛，最后一轮复赛，决定在甲、乙2名候选人中选出1人代表学校参加区科技节B项目的比赛，每人进行了4次试飞，对照一定的标准，判分如下：甲：80，70，100，50；乙：75，80，75，70．如果你是教练，你打算安排谁代表学校参赛？请说明理由． 23．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 24．如图，小亮晚上在路灯下散步，已知灯杆OA=6．4m，他从灯杆底部的点O处沿直线前进9m到点D时，其影长DF=3m，当他继续前进到达点F时，其影子是变长还是变短？变化量为多少？ 25．如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A． (1)如图1，求直线的函数解析式； (2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值； (3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由． 26．某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折． (1)求线下A，B两种奖品的单价； (2)学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？ (3)若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？ 27．若关于x的二次方程 的两根α、β满足，求实数p的取值范围． 28．【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·扬州） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（    ） A． B． C．任意实数 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，点D是⊙O上一点，则下列命题正确的是（　　） A．若CD平分AB，则CD⊥AB B．若CD⊥AB，则CD平分∠ACB C．若CD平分∠ACB，则AC+BC＝ D．若AC+BC＝，则点D在劣弧AC上 【答案】C 【分析】根据垂径定理的推论即可判定选项A；画出图形即可判定选项B；选项C，过点D作DMAC交AC于点M，DNBC交CB的延长线于点N，连接AD、BD，证明四边形CMDN为正方形，即可得CM=CN，再证明Rt△ADM≌Rt△BDN，可得AM=BN，由此可得AC+BC=2CM，由勾股定理可得，即可得AC+BC=2CM=．所以选项C正确；根据选项C的结果即可判定选项D． 【详解】选项A，CD平分AB，当CD为直径时，CD与AB不一定垂直，选项A不正确； 选项B，如图，CD⊥AB时，无法证明CD平分∠ACB，选项B不正确； 选项C，如图，过点D作DMAC交AC于点M，DNBC交CB的延长线于点N，连接AD、BD， ∵CD平分∠ACB， ∴DM=DN，∠ACD=∠DCB=45°， ∴， ∴AD=BD， ∵∠ACB＝90°，DMAC，DNBC， ∴四边形CMDN为矩形， ∵DM=DN， ∴四边形CMDN为正方形， ∴CM=CN， 在Rt△ADM和Rt△BDN中， ， ∴Rt△ADM≌Rt△BDN， ∴AM=BN， ∴AC+BC＝CM+AM+BC＝CM+BN+BC＝CM+NC=2CM， ∵∠ACD=45°，DMAC， ∴， ∴AC+BC=2CM=． 综上，选项C正确； 选项D，若AC+BC＝，由选项C可得点D在优弧AC上，选项D错误． 故选C． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的各点都在格点（网格线的交点）上，D，E分别是边的中点，连接，则的长为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，三角形中位线定理．先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：根据勾股定理得：， ∵D，E分别是边的中点， ， 故选：C． 4．某班级在开学初进行了寒假“诵冰雪，阅好书”活动总结，班级准备了电影《哪吒2》中的角色玩偶作为奖品，老师把5张形状大小相同的奖品兑换卡放在盒子中，其中有3张哪吒玩偶兑换卡、2张敖丙玩偶兑换卡，小华和小颖在此次活动中表现突出获得优先抽取的机会，每人从盒子中随机抽取一张兑换卡，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶将3张哪吒玩偶兑换卡分别记为A，B，C，2张敖丙玩偶兑换卡分别记为D，E， 列表如下∶ 共有种等可能的结果，其中她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的结果有，，，，，，共6种， ∴她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率为． 故选：B． 5．如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形对角互补”求出即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B． 6．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，在下面的比例式中，正确的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①③ B．①②③ C．④⑤⑥ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】∵DE∥BC,EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF，BD=EF； ∵DE∥BC， ∴ , 正确的有：①③⑤ 故选：D. 7．如图，在小正方形网格中，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在中，求出AB即可解决问题． 【详解】解：如图， 在中，∵，，∴，∴， 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点，，都是“方形点”． 下列结论：①直线上存在“方形点”； ②抛物线上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数的取值范围是：其中，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】把代入求解，得到“方形点”坐标，即可判定①；把代入抛物线求解，得到“方形点”坐标，再根据两点间距离公式求出“方形点”间的距离即可判定②；先根据二次函数的图象上有且只有一个“方形点”，求出a、c值，从而得出二次函数解析式，然后根据二次函数的最值求出m的取值范围，即可判定③． 【详解】解：①把代入，得 解得：， ∴直线上存在“方形点” 故①正确； ②把代入抛物线，得 解得：，， ∴抛物线上的2个“方形点”为和， ∴这2个“方形点”之间的距离是， 故②正确； ③把代入抛物线，得 ， 整理，得， ∵二次函数的图象上有且只有一个“方形点” ∴，解得：， ∴抛物线， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，解得：， 故③错误， ∴正确的有①②，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是 棵． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平均数、众数与中位数的意义，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键； 先根据题意确定出这组数据的众数和平均数都相等，分类讨论，进而得出x的数值，再据判断． 【详解】当众数是10时， 众数与平均数相等， ， 解得：， 将这组数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，10，12， 中位数为10， 当众数是12时， 众数与平均数相等， ， 解得：，不符合题意舍去 当众数是8时， 众数与平均数相等， ， 解得：，不符合题意舍去 故这组数据的中位数为10． 故答案为：10． 10．若方程的一个根是m，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，易得，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴； 故答案为：． 11．一个不透明的袋子里面装有10个红球和若干白球，若随机在袋子里摸一个球，摸到红球的概率是，则袋子里面有 个白球． 【答案】20 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，设袋子中有x个白球，根据摸出红球的概率等于红球的个数除以球的总数建立方程求解即可． 【详解】解；设袋子中有x个白球， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴袋子里面有20个白球， 故答案为：20． 12．如图，在小提琴的设计中蕴含着数学知识，，，各部分长度满足，若小提琴的总长度为，则琴身的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了比例线段，黄金分割，依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】∵ ∴ ， 故答案为：． 13．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是 m． 【答案】 【详解】分析：首先连接AO，求出AB的长度是多少；然后求出扇形的弧长弧BC 为多少，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径是多少；最后应用勾股定理，求出圆锥的高是多少即可． 详解：如图1，连接AO， ∵AB=AC，点O是BC的中点， ∴AO⊥BC， 又∵ ∴ ∴ ∴弧BC的长为：(m)， ∴将剪下的扇形围成的圆锥的半径是： (m)， ∴圆锥的高是： 故答案为. 14．D、E分别为中边上的点，交于点O，且，，设、、和四边形的面积分别为． （1）          （2）若 【答案】 7 【分析】本题主要考查了三角形面积之间的相互转换，解答此题的关键是熟悉“高相等的三角形的面积之比等于底边之比”．此外，求给定几何图形面积，有三种考虑方式：（1）各部分面积和等于该图形面积；（2）该图形面积减去部分面积等于剩余部分面积；（3）不规则图形通过辅助线分割成已学过的特殊几何图形来求面积． （1）根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比即可求出答案； （2）连接，由（1）可知、，设，则，观察图形中面积之间的关系，即可解答此题． 【详解】解：（1）根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）∵， ， 连接， 设，则， ， ， 解得， ， ， 故答案为：7． 15．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间和运动员距离水面的高度之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，关键是读懂题意，将距离水面的最大值代入函数关系式，就可以求出时间的最大值．注意负值舍去． 【详解】解：根据题意：，即， 解得：（舍去）， 故答案为：． 16．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；t＝ s，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 【答案】s或 【分析】先用t表示出AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到当时，△BPQ∽△BAC或当时，△BPQ∽△BCA，然后利用比例线段得到关于t的方程，再解方程求出t即可． 【详解】解：如图，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝6﹣2t， ∵∠PBC＝∠ABC， ∴当时，△BPQ∽△BAC， 即，解得t＝， 当时，△BPQ∽△BCA， 即，解得t＝， 即当t＝s或s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似． 故答案为∶s或． 17．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内、两点之间有障碍物，现将、两点放置于平面直角坐标系中（如图），已知点，的坐标分别为，，机器人沿抛物线运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则的取值范围是 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是理解抛物线运动过程中与只有一个交点．根据题意可以知道抛物线与线段有一个交点，根据抛物线对称轴及其与轴的交点即可求解． 【详解】解：由题意可知： 点，的坐标分别为，， 线段所在直线的解析式为， 机器人沿抛物线运动， 抛物线对称轴方程为， 机器人在运动过程中只触发一次报警， 抛物线与线段只有一个交点， 即：，解得， 抛物线与线段有唯一公共点， ， ， ， 解得（不符合题意，舍去），； 当抛物线恰好经过点时， 即当，时， ， 解得， 综上：的取值范围是或或． 故答案为：或或． 18．如图，是的直径，点D为弦上一点，连接并延长交于点E，连接、，以、为邻边作平行四边形，其中的延长线交于点G，连接，若，，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用以上知识点进行分析是解题的关键．设，运用勾股定理，通过建立方程，解方程，再求得的长；设交于点K，先求，，再证，，最后运用，求得的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴在中， ， 同理，在中， ， ∴， ∵平行四边形，， ∴， 设， ∵， ∴， ∵，，，， 又∵， ∴， 解得， ∴， 在中， ， ∴； 如图，设交于点K， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设， 则， ， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． （1）用因式分解法解方程； （2）用公式法解方程． 【详解】（1）解：， 整理得， 因式分解得， ∴，； （2）解：， ∵，，， ， ∴， 即，． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为x1、x2， 且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，求实数m的值． 【答案】（1）m＜ ；（2）所求m的值为﹣1． 【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，继而求得实数m的取值范围； （2）由方程的两个实数根为x1、x2，且x1+x2+x1•x2=m2﹣1，可得方程1+m=m2﹣1，继而求得答案． 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=1﹣4m＞0， 解得m＜； （2）由根与系数的关系可知：x1+x2=1，x1•x2=m， ∴1+m=m2﹣1， 整理得：m2﹣m﹣2=0， 解得：m=﹣1或m=2， ∵m＜， ∴所求m的值为﹣1． 21．如图，在每个小正方形边长为个单位长的网格中，建立直角坐标系，点，，均在格点上．    (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为：； (2)直接写出（1）点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-位似变换； （1）利用位似变换的性质分别作出A，C的对应点即可； （2）根据点的位置写出坐标即可． 【详解】（1）如图所示，为所求三角形；    （2）中点的坐标为， 故答案为：． 22．某校的科技节比赛设置了如下项目：A-船模；B-航模；C-汽模．如图为该校参加科技比赛的学生人数统计图． (1)该校报名参加B项目学生人数是 人； (2)该校报名参加C项目学生人数所在扇形的圆心角的度数是 °； (3)为确定参加区科技节的学生人选，该校在集训后进行了校内选拔赛，最后一轮复赛，决定在甲、乙2名候选人中选出1人代表学校参加区科技节B项目的比赛，每人进行了4次试飞，对照一定的标准，判分如下：甲：80，70，100，50；乙：75，80，75，70．如果你是教练，你打算安排谁代表学校参赛？请说明理由． 【答案】(1)10 (2)120 (3)乙，理由见解析 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得该校报名参加B项目学生人数； （2）根据统计图中的数据可以求得该校报名参加C项目学生人数所在扇形的圆心角的度数； （3）根据题目中的数据可以求得甲乙的平均数和方差，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：该校参加科技比赛的学生有：6÷25%=24（人）， 该校报名参加B项目学生人数是：24-6-8=10， 故答案为：10； （2）该校报名参加C项目学生人数所在扇形的圆心角的度数是：． 答案为：120； （3）选择乙参加比赛． 理由：∵， ， ∴， ， ∵， ∴选择乙参加比赛． 23．如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，．进而得出，再根据相似三角形的判定方法即可得出． 【详解】证明， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 24．如图，小亮晚上在路灯下散步，已知灯杆OA=6．4m，他从灯杆底部的点O处沿直线前进9m到点D时，其影长DF=3m，当他继续前进到达点F时，其影子是变长还是变短？变化量为多少？ 【答案】CD=1．6米,影长4米,影子变长了，增长了1米． 【详解】试题分析：首先根据相似三角形求得小亮的身高，然后利用相似三角形求得线段FG的长后与线段DF比较即可． 试题解析：∵CD∥AO， ∴△DCF∽△OAF ∴ ∵OA=6．4，OD=9，DF=3 ∴ 解得：CD=EF=1．6米， ∵EF∥OA ∴ ∴ 解得：GF=4米， ∴影子变长了，增长了1米． 25．如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A． (1)如图1，求直线的函数解析式； (2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值； (3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)可以，点D坐标为或 【分析】（1）将代入可求出，化成顶点式求出，由待定系数法，即可求解； （2）过作交于，过作交于，由勾股定理得可求出的长，由正弦函数得， 求出及三角函数值，设，由勾股定理得，由三角形面积可求出的坐标，从而可求的坐标，而，当、、三点共线时取得最小值，即可求解； （3）设，由勾股定理求得，即，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得：， ， ， 设直线的函数解析式为， 则有， 解得：， 故直线的函数解析式为； （2）解：如图，过作交于，过作交于， 当时，， ， ， ， ， ∴， 设， ， ∵， ∴ 整理得：， 解得：，(舍去)， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时，如图， ； 故的最小值为； （3）解：可以，理由如下： 顶点由A平移到，点B在直线上， ， ， 四边形是菱形， ， 设， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ，， 当时， ， 当时， ， D点坐标或． 26．某校为奖励期末考试成绩优秀的学生，计划购买A，B两种奖品．已知在线下商店购买A种奖品20个，B种奖品15个共需1150元；在线下购买A种奖品11个，B种奖品12个共需745元．经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店A种奖品的单价和线下商店一样，但线上商店B种奖品有优惠活动，线上B种奖品的单价是线下B种奖品的单价的八折． (1)求线下A，B两种奖品的单价； (2)学校要求购买奖品总数是100个，购买A种奖品50个，学校在线上商店需要支付多少元？若购买A种奖品70个，学校在线上商店需要支付多少元？ (3)若学校要求购买奖品总数是100个，A种奖品的个数不得少于B种奖品个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的A种奖品和B种奖品才能使得所花费用最少？ 【答案】(1)种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元 (2)当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用为元； 当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用为元 (3)学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据总费用等于单价乘以数量，列出算式计算即可； （3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元．根据题意，列出不等式，求出的取值范围，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种奖品在线下购买的单价为元，种奖品在线下购买的单价为元， 由题意得，，解得 答：种奖品在线下购买的单价为35元，种奖品在线下购买的单价为30元． （2）当种奖品线上购买50个，种奖品线上购买50个时所需费用：（元）；   当种奖品线上购买70个，种奖品线上购买30个时所需费用：（元）． （3）设学校在线上购买种奖品个，线上购买种奖品个，总共需要支付费用为元． 由题可知，，解得：． ∵，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， （元）． 答：学校在线上购买67个种奖品和33个种奖品才能使得所花费用最少，该费用的最小值为3137元． 27．若关于x的二次方程 的两根α、β满足，求实数p的取值范围． 【答案】或 【分析】设函数，其图象是一条开口向上的抛物线，由“关于x的二次方程 的两根α、β满足”可得，即，然后利用图象法解一元二次不等式即可得出答案． 【详解】解：设函数，其图象是一条开口向上的抛物线， 关于x的二次方程 的两根α、β满足， 当时，，即：， 当时，，即：， 当时，，即：， ， 解得：， 实数p的取值范围是：或． 28．【问题情境】 在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】 同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】 （1）请你推理出小红的结论； （2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】 李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【分析】（1）对称的性质得到，，，，，推出，设，等边对等角，三角形外角的性质，推出即可； （2）采用小明的方法：连接，易得是等边三角形，证明是等边三角形，推出，即可得出结论． （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，垂直平分线的性质，角平分线平分角，推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，取得最小值为的长，进一步求出结果即可． 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵， ∴， 设，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上 ∴． ∴ ∵BD平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴ ∴的最小值是3． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $