精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 已知数列 满足，则下列各数中属于数列中的项的是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列满足，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列满足， 对于A中，令，解得，所以A不符合题意； 对于B中，令，解得，所以B不符合题意； 对于C中，令，解得，所以C不符合题意； 对于D中，令，解得，所以D符合题意. 故选：D. 2. 已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点（）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面积关系可得，即可由双曲线定义得，进而可求解. 【详解】解：设内切圆的半径为r，则有， 所以，由双曲线的定义可知，继而， E的渐近线为，化简为， 故选：A． 3. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】曲线的方程可化为，表示以为圆心，1为半径的上半圆，曲线表示两条直线与，而直线与有两个交点，则直线与半圆有2个除外的交点，利用数形结合及斜率公式、直线与圆相切的结论即可求解. 【详解】由得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的上半圆， 曲线表示两条直线与， 显然直线过圆心，则其与有两个交点， ∴直线与半圆有2个除外的交点， 由得， 则直线过定点，， 当直线与半圆相切时， 圆心到直线的距离，即， 解得或（舍）， 所以时，直线与半圆有2个除外的交点， 此时曲线与曲线有四个不同的交点. 故选：C. 4. 在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ） A. 32 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可. 【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类： 第一类，A场地安排1人，共种安排方法， 第二类，A场地安排2人，共种安排方法， 由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法. 故选：B 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限的点在抛物线上，延长，交抛物线于点，点在上，且．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由P、F、Q共线且知，，三点共线，根据OF长度求出RP长度，可知P的坐标，即可求 【详解】如下图 ∵，故，，三点共线； 有 ∴，则第一象限的点的横坐标为 代入中，解得 故， 故选：B 【点睛】本题考查了抛物线的概念及定义，由焦点及抛物线定义求点坐标，进而求角的正切值 6. 已知的展开式各项系数和为768，则其展开式中含项的系数为（ ） A. 70 B. 140 C. 280 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】首先令得到展开式的所有项系数，再根据已知条件得出，结合二项式展开式求特定项系数即可求解. 【详解】因为根据二项展开式可知 当时，即为展开式中各项系数和， 所以，解得或 因为，所以．即， 由得，， 令，得（舍）， 令2，得， 所以的展开式含的项为． 所以的展开式中含项的系数为. 故选：B． 7. 已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意得，，，再根据等比中项求解即可. 【详解】解：因为等比数列的前项和为，且， 所以，，， 所以，即，解得. 故选：B 8. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案 【详解】由椭圆可得， 所以，，所以， 所以在中，， 因为，且， 所以， 设的坐标为，且， 所以， 所以点P到y轴的距离为， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，，判断出，得到等差数列为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证. 【详解】因为，所以，， 所以.故A错误，B正确； 因为，所以等差数列为递增数列. 因为，所以，， 所以.故C正确； 因为，所以.故D正确. 故选：BCD 10. 对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线方程求定点坐标判断A项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断B项；根据直线所过定点在圆内判断C项；当直线l与过定点和圆心的直线垂直时，直线l被C截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断D项． 【详解】对于A，可变形为， 由，得，所以直线l过定点，故A正确： 对于B，圆C：化为标准方程为， 所以圆C的圆心，半径为，故B正确； 对于C，因为，所以点)在圆C内部， 所以直线l与C不可能相切，故C错误； 对于D，设直线l所过定点为，则当直线时，直线l被C截得的弦长最小． 因为圆心，所以， 所以直线l的斜率，解得，此时直线． 因为圆心到直线l的距离， 所以弦长为，故D正确． 故选：ABD． 11. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的展开式中，的系数是60 B. 若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理和二项式系数及其性质判断选项A、B，用排列数知识判断选项C，用二项分布知识判断选项D. 【详解】的展开式的通项为：.令，可得的展开式中的系数为:，故选项A正确； 选项B：由题意得的展开式至少有四项，所以. 在的展开式中，第二、三、四项的二项式系数分别为，，. 由题意，得所以,所以，故选项B错误； 选项C：由题意，若四位数为偶数，则其个位数字为或 当个位数字为0时，四位数有个； 当个位数字为2或4时，四位数分别有个． 由分类加法计数原理，得偶数的个数为，故选项C正确； 选项D：因为每次投球相互独立，所以投球4次，恰好投进3个球的概率为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意分析可知，，可得，，结合等比数列的性质分析求解. 【详解】因为递增的等比数列中，，，且， 可知和是一元二次方程的两个根， 且，解得，， 可得，所以 故答案为：2. 13. 已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设与相切与点Q，求得切线方程，再利用两直线间的距离求解. 【详解】因为，所以， 设与相切与点Q， 则，令，解得，则切点为， 代入，得，即直线方程为， 所以直线与直线间的距离， 即为到直线的最小距离. 故答案为：. 14. 在的展开式中，含项的系数是______.（用组合数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式得出系数结合组合数的性质计算求解. 【详解】根据的展开式中含项的系数为； 的展开式中含项的系数为； 的展开式中含项的系数为； …… 的展开式中含项的系数为； 故含的项的系数是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的知识求得. （2）利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 由，得，所以是公差为的等差数列， 因为，所以．所以． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 16. 数列满足 （1）求数列的通项公式 （2）设，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，两式相减即可求解. （2）代入可得，运用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 依题意， 当时，由已知得，得， 当时，由，① 得，② 由①②得， 所以， 当时，也适合上式， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 两式相减，整理得： ， 所以. 17. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在x轴的上方，圆． （1）若，求点A的坐标； （2）若直线l与圆C相切，求弦的长； （3）若直线l与圆C交于M、N两点，，的面积分别记为、，求的取值范围． 【答案】（1），（2）16，（3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义直接求解即可； （2）设直线为，然后由直线与圆相切可求出直线方程，再将直线方程与抛物线方程联立，消去，再利用根与通信数的关系可得，从而可得，再利用弦长公式可得答案； （3）设直线为，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，且此距离小于半径1，可求出，再利用圆的性质可求出，再将直线方程与抛物线方程联立，消元后利用根与系数的关系，结合弦长公式可求出，从而可求出，的面积，进而可表示出，从而可求出其范围 【详解】解：（1）由题意得，准线方程为，设点（）， 则，得，所以， 所以点A的坐标为， （2）由题意设直线为，圆的圆心为，半径为1， 因为直线l与圆C相切， 所以，解得或， 所以直线为或， 设， 由，得， 所以， 所以， 所以， 由抛物线的对称性可知直线与抛物线相交所得弦长也为16， 故弦的长为16， （3）由题意设直线为，圆的圆心为，半径为1， 设， 因为圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相交，所以，得 所以， 所以, 由，得，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以，即， 所以的取值范围为 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式的应用，考查点到直线的距离公式，解题的关键是利用圆的几何性质求出，利用弦长公式求出，从而可表示，考查计算能力，属于中档题 18. 公比为正数的等比数列 中，首项 ，. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出方程求出公比即可得解； （2）根据等比数列的求和公式计算即可. 【小问1详解】 设公比为， 则，即， 解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 由， 所以. 19. 已知双曲线的离心率为，过点． （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上． 【答案】（1） （2）由题意直线斜率存在，设直线方程为，， 联立方程，消整理得， 显然，则， 可得， ， 由题意可得：，解得， 不妨设， 因为，即， 可得，解得， 所以在直线上. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合双曲线的性质列式求即可； （2）设直线方程为，，联立方程可得韦达定理，不妨设，由，整理得，结合韦达定理即可得结果. 【小问1详解】 由题中条件可知，解得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山市第一中学2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分. 1. 已知数列 满足，则下列各数中属于数列中的项的是（ ） A. 3 B. C. D. 4 2. 已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点（）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为（ ） A. B. C. D. 3. 若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ） A. 32 B. 24 C. 18 D. 12 5. 已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限的点在抛物线上，延长，交抛物线于点，点在上，且．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式各项系数和为768，则其展开式中含项的系数为（ ） A. 70 B. 140 C. 280 D. 112 7. 已知等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分. 9. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于直线l：与圆C：，下列说法正确的是（ ） A. l过定点 B. C的半径为3 C. l与C可能相切 D. l被C截得的弦长最小值为 11. 下列说法中，正确的有（ ） A. 的展开式中，的系数是60 B. 若的展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则 C. 用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数中，偶数的个数为60 D. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，相互独立，则恰好投进3个球的概率为. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知等比数列为递增数列，且，，则__________． 13. 已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为___________． 14. 在的展开式中，含项的系数是______.（用组合数表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 数列满足 （1）求数列的通项公式 （2）设，求数列的前项和 17. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在x轴的上方，圆． （1）若，求点A的坐标； （2）若直线l与圆C相切，求弦的长； （3）若直线l与圆C交于M、N两点，，的面积分别记为、，求的取值范围． 18. 公比为正数的等比数列 中，首项 ，. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 19. 已知双曲线的离心率为，过点． （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $