上海市风华中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

上海市风华中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷2026.01 (满分100分, 时间90分钟) 学校:__________班级：___________姓名：_________学号：___________ 一、填空题(本大题共有10题，每题4分，满分40分) 1．已知集合，，则 ． 2.若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为，则扇形的面积为 ． 3．已知，试用表示 ． 4．设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 则实数 ． 5．已知角的终边经过点，则 . 6．已知实数 满足则的取值范围是 ． 7．在中，若，，，则的面积是 ． 8．用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为 ． 9．△ABC中，，C=，D是BC上一点且与B、C点重合，△ABD、△ADC的外接圆半径分别为R1、R2，则的值为 ． 10．设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 二.选择题(本大题共有3题, 每题4分, 满分12分) 11．如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （    ） A． B． C． D． 12．“sintan＜0”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．对于函数，若存在使得成立，则称函数是“准奇函数”， 为“准奇值”；已知函数，现有如下两个命题： ①当时，不是“准奇函数”； ②当时，存在实数b ，使得f(x)有无数个“准奇值”.下列判断正确的是（　　 ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题、②是假命题 D．①是假命题、②是真命题 三.解答题(本题共5道题，8+8+10+10+12，满分48分) 14．（8分）已知函数=的定义域为=的定义域为. （1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围． 15．（8分）已知函数（为常数）是奇函数.（1）求的值与函数的定义域； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 16．（10分）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和的值；（2）若，，分别求和的值． 17．（10分）某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：y=. （1）设求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； （2）该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 18．（12分）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”． 设．（1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （2）试判断函数在区间上是否存在“Γ区间”，若存在，求出满足条件的“Γ区间”， 若不存在，请说明理由；（3）求函数在区间上的所有“Γ区间”. 上海市风华中学2025-2026学年高一上学期期末数学试卷解析2026.01 (满分100分, 时间90分钟) 学校:__________班级：___________姓名：_________学号：___________ 一、填空题(本大题共有10题，每题4分，满分40分) 1．已知集合，，则 ． 2.若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为，则扇形的面积为 9 ． 【解析】设扇形的弧长为，由题得，所以扇形的面积为. 3．已知，试用表示 ． 3．【解析】由，∵，∴， ∴=，故答案为：. 4．设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 则实数 ． 4．【解析】，若幂函数的图像关于轴对称，则， 又幂函数在区间上是严格增函数，则；故答案为：. 5．已知角的终边经过点，则 . 5．【解析】由任意角的三角函数的定义可知所以； 故答案为：. 6．已知实数 满足则的取值范围是 ． 6．【解析】注意到 当且仅当，即时，上式等号成立． 7．在中，若，，，则的面积是 ． 7．【解析】因为， 所以（负值舍去） 因此的面积是，故答案为. 8．用函数的观点解关于x的不等式，可得解集为 ． 8．【解析】设函数，定义域为，根据幂函数单调性可得，和 都是上的增函数，所以函数是上的增函数，又， 则不等式的解集为；故答案为：. 9．△ABC中，，C=，D是BC上一点且与B、C点重合，△ABD、△ADC的外接圆半径分别为R1、R2，则的值为 ． 9．【解析】已知 ， 则C，对于 设其外接圆半径为 根据正弦定理可得 则；对于设其外接圆半径为根据正弦定理可得 则 ； 将 代入得，. 10．设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 . 10．【解析】由是偶函数可得，即 ，所以，设，任取， 则， 所以在上单调递增，也即在上单调递增，又因为是偶函数， 所以在上单调递减，所以的最小值在对称轴处取得，即；故答案为：. 二.选择题(本大题共有3题, 每题4分, 满分12分) 11．如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （    ） A． B． C． D． 11．B【解析】，则，=，A正确；则，，B错误； 由得，C正确；，则，D正确；故选：B． 12．“sintan＜0”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．B【解析】当sintan＜0时，sin＞0，tan＜0或sin＜0，tan＞0， 则为第二象限角或为第三象限角，当角为第二象限角时，sin＞0，cos＜0，则sintan＜0； 所以“sintan＜0”是“角为第二象限角”的必要不充分条件；故选：B． 13．对于函数，若存在使得成立，则称函数是“准奇函数”， 为“准奇值”；已知函数，现有如下两个命题： ①当时，不是“准奇函数”； ②当时，存在实数b ，使得f(x)有无数个“准奇值”.下列判断正确的是（　　 ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题、②是假命题 D．①是假命题、②是真命题 13．A【解析】对于命题①：当时，；当x<0时，若f(x)是“准奇函数”， 需存在 使得分两种情况讨论： ，则，，，代入得： 即显然无解； ⅱ.，则， 代入得： 即左边右边故无解； 因此，不存在满足条件， f(x)不是“准奇函数”，命题①为真命题； 对于命题②：当时，当x<0时， 若f(x)是“准奇函数”，需存在 使得 ，则， 代入 得： 化简得： 因此存在实数b=1,使得f(x)有无数个“准奇值”(所有 均为准奇值)，命题②为真命题. 三.解答题(本题共5道题，8+8+10+10+12，满分48分) 14．（8分）已知函数=的定义域为=的定义域为. （1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围． 14．（1）（2）. 【解析】（1）要使函数有意义，则 即，等价于 解得x-1或所以=； 要使函数有意义，则>0，即解得a-3<x<a+3，所以=； 当时，B=，所以 （2）由（1）可知，因为所以a+3≤-1或解得或 所以实数a的取值范围是 15．（8分）已知函数（为常数）是奇函数.（1）求的值与函数的定义域； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 15．（1），定义域为或；（2）. 【解析】（1）因为函数是奇函数，所以，所以， 即，所以，令，解得或，所以函数的定义域为或； （2）由（1）可知，，当时，所以，所以. 因为，恒成立，所以，所以的取值范围是. 16．（10分）设常数，，关于的方程的两个实数根是，． （1）若，，分别求和的值；（2）若，，分别求和的值． 16．（1）；（2），. 【解析】（1）因为，，所以， 又方程的两个实数根是，，所以， 得到，； （2）由题知，又，所以，又，解得， 因为，又，所以， 又，所以. 17．（10分）某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为：y=. （1）设求月处理量x的取值范围，使得月处理成本不超过30000元； （2）该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 17．（1）[140，300]；（2）当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【解析】（1）由题意可得月处理成本不超过30000元，即为 解得100≤x≤300，可得月处理量x的取值范围为[140，300]； （2）由题意可得每吨的平均处理成本为=, 当 时， 当x=110时，取得最小值80； 当 时， 当且仅当 即x=300时， 取得最小值100；因为80综上可得，当月处理量为110吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 18．（12分）若函数在区间上的函数值的集合恰为，则称区间为的一个“区间”． 设．（1）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （2）试判断函数在区间上是否存在“Γ区间”，若存在，求出满足条件的“Γ区间”， 若不存在，请说明理由；（3）求函数在区间上的所有“Γ区间”. 18．（1）不是函数的一个“区间”，理由见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）结合题意可得：，当时，， 所以在单调递增，在单调递减，所以当时，， 当或时，，故此时函数的值域为， 而此时，所以区间不是函数的一个“区间”； （2）因为在单调递增，所以，设的 “区间”为， 则在区间的值域为，当时，而， 此时则，显然无解，所以y=在上不存在这样的“Γ区间”； （3）由（2）知，y=在上不存在这样的“Γ区间”，要找函数在区间上的 所有“Γ区间”，只可能在上存在 “区间”，设函数y=f(x)在内的“Γ区间”为[a，b]，a≥1，b>a， 因为函数y=f(x)在上单调递减，所以，函数y=f(x)在区间[a，b]上的值域为[，] 所以即故a，b 为方程 的两根， 又，所以因为a≥1，b>a， 所以 即“Γ区间”为 综上，函数在区间上的所有“Γ区间”为. 成功不必自我，功力必不唐捐！ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $