海南省保亭黎族苗族自治县保亭中学2025-2026学年高二上学期数学寒假巩固测试卷

2025-2026上学期高二年级数学寒假巩固测试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（　　） A． B． C． D． 2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（　　） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上都有可能 4．已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（　　） A． B． C．或 D．或 5．设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 6．若数列满足，其前项和为，若，则（　　） A．0 B．1 C．5 D．11 7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，点在直线上运动.若的最大值为，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．下列说法正确的是（　　） A．经过点，倾斜角为的直线方程为 B．“”是“直线与直线平行”的充要条件 C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 D．以，为直径端点的圆的方程为 10．已知点是圆上任意一点，直线：分别与轴、轴相交于点，则（　　） A．直线与圆相离 B．面积的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．记双曲线的左､右焦点分别为.若，以为圆心､4为半径的圆与的右支交于两点，点为上一点，满足，则（　　） A．离心率 B．的面积为 C． D． 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为　 　． 13．已知为等差数列的前项和，若，则　 　. 14．已知圆和定点，若点P、Q分别为圆O外和圆O上两点，且满足，，则的最小值为　 　． 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 16．如图，矩形所在的平面，点是的中点，点是线段上的一个动点，且. （1）若点是线段的中点，证明：； （2）当三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍时， 求平面和平面夹角的余弦值. 17．已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 18．已知椭圆的焦点是，且，离心率为． （1）求椭圆的方程 （2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围． 19．已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点． （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）证明：线段的中点为定点． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故答案为：C． 【分析】先算 “甲乙都不能破译” 的概率（独立事件，概率相乘 ）；再根据 “成功破译” 与 “都未破译” 是对立事件，用 1 减去 “都未破译” 概率，得到成功破译概率. 2．【答案】C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究直线与平面的位置关系 【解析】【解答】解：若，则需，即. A、，该选项错误，不合题意； B、，该选项错误，不合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不合题意. 故答案为：C. 【分析】由向量线面垂直关系得，可判断A；类比A方法代入可判断BCD. 3．【答案】C 【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆无公共点，则，所以，， 因此，点在圆内. 故答案为：C. 【分析】直线与圆无公共点，说明圆心到直线的距离大于圆的半径；再通过点与圆的位置关系判定条件（点到圆心的距离与半径的大小关系），判断点P(a，b)的位置。 4．【答案】D 【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；与直线有关的动点轨迹方程 【解析】【解答】解：， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故答案为：D． 【分析】先利用三角形的面积确定点到直线上的距离为4，再设平行直线方程为，利用平行直线间的距离公式即可求解. 5．【答案】C 【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示 【解析】【解答】解：因为，所以，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 则， 所以. 故答案为：C. 【分析】由空间向量平行和垂直的坐标表示，从而求出的值，再由向量的模的坐标表示，从而得出的值． 6．【答案】D 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项 【解析】【解答】解：因为，所以数列为等差数列. 设首项为，公差为， 则. 所以. 故答案为：D 【分析】先利用等差中项可得数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式可得，最后利用求和公式即可求解. 7．【答案】D 【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；恒过定点的直线 【解析】【解答】解：由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故答案为：D. 【分析】将直线写成直线系形式，可得恒过定点，代入斜率公式即可求解. 8．【答案】C 【知识点】两角和与差的正切公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由题意知，，，直线为， 设直线，的倾斜角分别为，， 由椭圆的对称性，不妨设为第一象限的点，即，， 则，. ， ，当且仅当，即时取等号，又得最大值为， ，即，整理得，故椭圆的离心率是. 故答案为：C. 【分析】设出直线，的倾斜角，，利用差角正切公式，再基本不等式求，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率. 9．【答案】B,D 【知识点】直线的点斜式方程；直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系；圆的标准方程 【解析】【解答】解：A、若倾斜角，该直线斜率不存在，直线的点斜式方程不适用，故A错误； B、当时，两直线分别为和，此时两直线平行，即充分性成立； 当两直线平行时可知，解得， 但当时，两直线方程均为， 此时两直线重合，因此，即必要性成立；故B正确； C、若直线在两坐标轴上的截距都为零时，直线方程为， 若直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为，代入点可得； 因此满足题意的直线方程为或；故C错误； D、设圆上任一点的坐标为， 则，易知， 所以， 因此圆的方程为，故D正确. 故答案为：BD 【分析】为时不能用点斜式方程表示直线即可判断A；利用两直线平行且即可判断B；易知若在坐标轴上的截距都为零时，直线方程为，即可判断C；设圆上点坐标为，利用向量垂直的坐标表示即可判断D. 10．【答案】A,C,D 【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：A、易知圆的圆心，半径， 圆心到的距离，则直线与圆相离，故A正确； B、易知，，由A知，圆心到直线距离为， 则圆上点到直线距离的最小值为，面积最小值为，故B错误； C、令，则，因为为圆上的点，所以与圆有交点， 故，解得，故C正确； D、结合图象可知当与圆这种相切时，最小， 设斜率为，直线方程为：，由相切可得：，解得， 即的倾斜角为，，易知，则，故D正确. 故答案为：ACD. 【分析】易知圆心和半经，根据圆心到直线距离与半径大小关系即可判断A；易知，，由A知，圆心到直线距离为，确定圆上的点到直线的最小距离，再求面积的最小值即可判断B；设，通过直线与圆恒有交点即可判断C；由与圆相切求解即可判断D. 11．【答案】A,C,D 【知识点】双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】解： 双曲线 ，，则，解得， 即双曲线的方程为， A、易知，则双曲线的离心率为，故A正确； B、由双曲线定义可知：不妨令，， 因为，所以，即， 整理得到，所以的面积，故B错误； C、易知圆的方程为，联立， 消得，解得（舍去）或， 代入，可得， 不妨令在第一象限，则，，显然. 由B可知与不重合，而在中，，故C正确； D、，在中， 由余弦定理可得，故D正确. 故答案为：ACD. 【分析】由题意求得双曲线的方程为，求离心率即可判断A；根据双曲线的定义，令，，结合条件可得，再求出的面积即可判断B；联立圆与双曲线的方程，直接求出的坐标，再利用三角形的性质求解即可判断C； ，在中，利用余弦定理求解即可判断D. 12．【答案】0.9 【知识点】互斥事件的概率加法公式；并（和）事件与交（积）事件 【解析】【解答】解：设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为， 则. 故答案为： 【分析】直接代入和事件的概率计算公式，进行数值运算即可求解 13．【答案】590 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：设公差为， 由可得解得， 故， 故答案为：590 【分析】根据等差数列通项公式列方程组，可得公差，即可由求和公式求解. 14．【答案】 【知识点】平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质 【解析】【解答】解：因为，，设， 则， 设，因为， 所以，即点在直线上运动， 设，点在直线上，如图所示： 所以，等号成立当且仅当重合. 故答案为：. 【分析】先利用题意得，由得点在直线上运动，再利用点到直线的距离公式即可求解. 15．【答案】（1）解：联立两直线和， 解得， 则交点坐标为， 所以直线的斜率为， ​​​​​​​则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时， 设直线方程为：，即， 根据题意，得圆心到直线的距离， 解得， 所以直线的方程为：， 综上所述：直线的方程为或. 【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标；圆的切线方程 【解析】【分析】（1）联立两直线方程求出两直线的交点坐标，再根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线的斜率，进而得出直线的点斜式方程. （2）先分类讨论，再分直线斜率不存在和存在两种情况，再利用圆心到直线的距离，从而列式计算得出直线的方程． （1）联立两直线和，解得，即交点坐标为， 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 根据题意得：圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为：. 综上：直线的方程为或. 16．【答案】（1）证明 ：取的中点，连接、， 因为点是线段的中点，所以， 又因为四边形是矩形，所以①， 又因为平面，所以， 又因为，，所以平面， 所以，②， 由①②及，得平面， 故； （2）解：因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直， 以A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： ​​ 则，，，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则三棱锥的体积， 三棱锥的体积， 由已知可得，即， 得，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，取，得，可得， 易得平面的一个法向量为， 则， 故平面和平面夹角的余弦值为. 【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用 【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，由矩形所在的平面可证明平面，再由点是线段的中点，则可证明平面，根据线面垂直的性质可证明； （2）以A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，设点到平面的距离为，点到平面的距离为，由体积关系得，利用向量法求二面角的余弦值即可. （1）证明：取的中点，连接、， 点是线段的中点， 四边形是矩形，①. 平面，， 又，，平面， ，② 由①②及得平面， （2）因为矩形所在的平面，所以，，两两垂直. 分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， 设点到平面的距离为，点到平面的距离为， 则三棱锥的体积， 三棱锥的体积 由已知可得，即 得，，， 设平面的法向量为， 则，即， 得，取，得，所以， 易得平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 17．【答案】（1）解：正项数列的前n项和为，且， 当时，，解得； 当时，，， 两式相减得：， 整理得到：， 因为，所以，即数列是首项为1，公差为2的等差数列， 则； （2）解：由（1）得， 则 . 【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系 【解析】【分析】（1）由题意，根据数列与的关系，结合等差数列的概念求其通项公式即可； （2）由（1）得，利用裂项相消法求其前项和即可. （1）当时，，解得. 当时，，. 两式相减得：. 整理得到：. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . （2）由（1）得. 则 . 18．【答案】（1）解：由题意，可知， 解得，， 所以，椭圆的方程为. （2）解：由椭圆的定义，可知， 则， 当直线的斜率不存在时，则； 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，两点的坐标分别为和， 由， 消得， 则，，， 所以 同理可得， 则， 所以 ， 设，则，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上所述，的取值范围是. 【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）利用焦距和离心率为，再利用椭圆中，三者联立解方程可得a，b，c的值，从而得出椭圆的方程. （2）先利用椭圆的定义，将转化为，当直线斜率不存在时，则求出的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，从而得到韦达定理和，再利用斜率表示出的值，从而得出的取值范围. （1）由题意可知，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由椭圆的定义可知，则， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，两点的坐标分别为和， 由消得， ， 则，， 即 同理， 则， ， 设 ，当且仅当时等号成立， 所以，， 综上所述的取值范围是. 19．【答案】（1）解：因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为①． （2）解：显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设， 则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③④式，则直线的方程为． （3）证明：设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点． 【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）解决双曲线方程求解问题时，以 “顶点到渐近线的距离” 这一已知条件为突破口，通过距离公式建立参数方程，解出参数后即可确定双曲线方程； （2）处理直线方程求解问题时，先设出直线方程并与双曲线联立，借助韦达定理梳理交点坐标的关系，再结合三角形面积条件构建参数方程，最终解出参数得到直线方程，这是解析几何中 “设方程→联立→用定理→建方程→求解” 的典型思路。 （3）设坐标，表示出直线方程，联立方程组消元得一元二次方程，再用韦达定理得到点坐标，点坐标同理可得.写出，三点共线建立等式，得，即可得证. （1）因为的一条渐近线方程为， 到渐近线的距离为， 过得， 解得：， 所以的方程为①． （2）显然直线的斜率存在，设的方程为②， ①②联立得：． 则有③，④， 设， 则⑤，⑥， 把⑤⑥代入：， 所以， 得：，解得：． 满足③④式，则直线的方程为． （3）设，不妨设．则直线⑦， 联立①⑦得：， 则， 则； 同理：． 而，， 又三点共线，则有， 则， 得：， 所以的中点为定点． 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：87分 分值分布 客观题（占比） 28.0(32.2%) 主观题（占比） 59.0(67.8%) 题量分布 客观题（占比） 14(66.7%) 主观题（占比） 7(33.3%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 9(42.9%) 18.0(20.7%) 填空题 3(14.3%) 6.0(6.9%) 解答题 5(23.8%) 55.0(63.2%) 多项选择题 4(19.0%) 8.0(9.2%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (57.1%) 2 容易 (19.0%) 3 困难 (23.8%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 直线与平面垂直的性质 10.0(11.5%) 18 2 空间向量基本定理 4.0(4.6%) 8,15 3 椭圆的简单性质 12.0(13.8%) 11,20 4 用空间向量研究二面角 10.0(11.5%) 18 5 直线与圆的位置关系 4.0(4.6%) 6,14 6 用空间向量求直线间的夹角、距离 2.0(2.3%) 15 7 等差中项 2.0(2.3%) 12 8 等差数列的通项公式 14.0(16.1%) 2,12,19 9 直线与圆锥曲线的综合问题 27.0(31.0%) 16,20,21 10 相互独立事件的概率乘法公式 2.0(2.3%) 4 11 互斥事件的概率加法公式 2.0(2.3%) 1 12 双曲线的简单性质 15.0(17.2%) 21 13 空间向量的数乘运算 2.0(2.3%) 8 14 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 2.0(2.3%) 10 15 直线的一般式方程与直线的垂直关系 10.0(11.5%) 17 16 用空间向量研究直线与平面的位置关系 2.0(2.3%) 5 17 与直线有关的动点轨迹方程 2.0(2.3%) 7 18 恒过定点的直线 2.0(2.3%) 10 19 空间向量平行的坐标表示 2.0(2.3%) 9 20 点、线、面间的距离计算 2.0(2.3%) 15 21 直线的点斜式方程 2.0(2.3%) 13 22 双曲线的定义 17.0(19.5%) 16,21 23 空间向量垂直的坐标表示 4.0(4.6%) 5,9 24 锥体的体积公式及应用 10.0(11.5%) 18 25 等差数列的前n项和 4.0(4.6%) 2,12 26 通项与前n项和的关系 10.0(11.5%) 19 27 直线的截距式方程 2.0(2.3%) 13 28 两条直线的交点坐标 10.0(11.5%) 17 29 数列的前n项和 10.0(11.5%) 19 30 平面向量的数量积运算 2.0(2.3%) 3 31 直线与圆相交的性质 2.0(2.3%) 3 32 直线与平面垂直的判定 10.0(11.5%) 18 33 平面内点到直线的距离公式 4.0(4.6%) 3,14 34 圆的切线方程 10.0(11.5%) 17 35 直线的一般式方程与直线的平行关系 4.0(4.6%) 7,13 36 互斥事件与对立事件 2.0(2.3%) 4 37 圆的标准方程 4.0(4.6%) 13,14 38 点与圆的位置关系 2.0(2.3%) 6 39 椭圆的标准方程 12.0(13.8%) 11,20 40 两角和与差的正切公式 2.0(2.3%) 11 41 等差数列概念与表示 10.0(11.5%) 19 42 空间向量的数量积运算的坐标表示 2.0(2.3%) 9 43 并（和）事件与交（积）事件 2.0(2.3%) 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $