第四章 数列 寒假练习试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

2025-2026上学期高二年级《数列》练习试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．已知等差数列的前项和为，，，则（　　） A．0 B． C． D． 2．已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（　　） A．18 B．20 C．32 D．66 3．数列的第11项是（　　） A． B． C． D． 4．已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（　　） A．或 B． C． D． 5．设等差数列前n项和为，等差数列前n项和为，若．则（　　） A． B．11 C．12 D．13 6．记为等差数列的前项和，且，则取最大值时的值为（　　） A．12 B．12或11 C．11或10 D．10 7．已知数列满足，，则（　　） A．1002 B．1023 C．1024 D．1005 8．已知数列满足，则（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．记等差数列的公差为，前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 10．下列四个选项中，正确的是（　　） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 11．已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则下列说法正确的有（　　） A．是等差数列 B．是等比数列 C．为递增数列 D．数列的最大项是第3项 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12．记为等差数列的前n项和．若，则　 　． 13．记为数列的前项和，若，，则　 　 14．定义，那么以下说法正确的有（填序号）　 　． A． B．除了以外，都是奇数 C．对于任意的n， D．以，，为三边的三角形是直角三角形 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等比数列的前项和为，且. （1）求的通项公式；（2）若，求的前项和. 16．已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 17．已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 18．已知等差数列的前n项和为，且，（）． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 19．已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 2．【答案】B 【知识点】数列的通项公式 【解析】【解答】解：因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故答案为：B． 【分析】本题考查数列通项与整数因数的结合，核心思路是通过分析 64 的正因数，代入通项公式验证选项是否为数列的项。 3．【答案】A 【知识点】数列的概念及简单表示法 【解析】【解答】设该数列的第n项为， 由已知， 变形可得， 所以数列的一个通项公式可以是， 可得． 故答案为：A. 【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第11项. 4．【答案】C 【知识点】等比数列的前n项和 【解析】【解答】解：设等比数列的公比为， 由题意可得：，解得，则. 故答案为：C. 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列求和的基本量求解即可. 5．【答案】B 【知识点】等差数列的前n项和 6．【答案】B 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，由，得，即， 又，所以，所以，令，可得， 所以数列满足：当时，；当时，；当时，， 所以取得最大值时，的取值为11或12． 故答案为：B． 【分析】设等差数列的公差为d，代入通项公式可解出d值为，代入通项公式可知数列第12项为0，前11项为正；从第13项起，各项为负，故当n=11或12时取得最大值可确定． 7．【答案】B 【知识点】对数的性质与运算法则；数列的递推公式 8．【答案】C 【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式 【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，所以，故选项A错误； B、因为，，所以，所以当时，，故选项B错误； C、因为，所以， 所以，即， 所以当时，， 所以，所以，，故选项C正确； D、，而，故选项D错误. 故选：C. 【分析】根据给定的递推公式，变形可知，即可判断选项A；由和递推公式求得，进而即可判断选项B；裂项可得，结合累加法可得，进而计算即可判断选项CD. 9．【答案】A,D 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：由题意，可得：， 解得，故选项A正确； 因为，， 所以，故选项D正确； 又因为，，故选项B和选项C错误. 故答案为：AD. 【分析】根据和等差数列前n项和公式，从而列式求出的值，则可判断选项A；利用等差数列的通项公式、等差数列求前n项和公式，从而求出，则得出的值，则判断出选项D；再利用等差数列的通项公式和通项与数列前n项和的关系式，则判断出选项B和选项C，从而找出正确的选项. 10．【答案】B,D 【知识点】数列的概念及简单表示法 11．【答案】B,C 【知识点】数列的前n项和；等差数列的实际应用 【解析】【解答】解：令，， 设等差数列的公差为，又因为是等比数列，所以，即， 解得，于是. 当时，，得，即， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，显然也符合，于是，. A：是等比数列，故A错误 B：因为，所以是各项均为的常数列， 于是是公比为1的等比数列，故B正确； C：由指数函数的单调性可知，数列为递增数列，故C正确； D：，假设数列的第项最大， 则，即，解得，因为， 所以或，即数列的第3项和第4项相等且最大，故D错误. 故答案为：BC 【分析】本题考查等差等比数列的综合判定与通项求和，核心思路是利用“既是等差又是等比的数列为常数列”推导，进而求出与的通项，再结合数列的性质逐一分析选项。 12．【答案】 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：是等差数列，且，， 设等差数列的公差， 根据等差数列通项公式：， 可得， 则， 整理可得：， 解得：， 根据等差数列前项和公式，得：， 可得：， . 故答案为：. 【分析】利用数列是等差数列，再根据已知条件结合等差数列的通项公式，从而求出公差，再根据等差数列前项和得出的值. 13．【答案】243 【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；通项与前n项和的关系 【解析】【解答】解：数列，满足， 当时，， 当时，，则，即，， 因为，所以数列是公比为，首项为的等比数列， 则， 当时，. 故答案为：243. 【分析】根据数列中与的关系，结合等比数列的定义求出数列的通项公式，再求出即可. 14．【答案】BCD 【知识点】函数的奇偶性；数列的递推公式；数列的通项公式 【解析】【解答】解：A：计算可得：，，，．所以A错误 B：注意到显然都是整数，从而必然是偶数，从而必然是奇数，B正确 C：首先可以注意到，从而，， 从而，从而 ，C正确． D：，，从而命题D成立. 故答案为：BCD． 【分析】围绕数列的递推公式.A：通过递推计算前几项判断；B：利用整数性质分析奇偶性；C：通过裂项相消法求和判断；D：通过勾股定理逆定理验证三边是否构成直角三角形.紧扣递推公式，结合数列性质、代数运算、几何定理逐一判断. 15．【答案】（1）解：因为，所以当时，， 所以，即，所以数列的公比为3， 当时，，解得， 所以； （2）解：由（1）知，， 所以 . 【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；通项与前n项和的关系 【解析】【分析】（1）由题意，根据数列与的关系，结合等比数列的定义求解即可； （2）由（1）知：，利用等比数列、等差数列的求和公式求解即可. 16．【答案】（1）解： 因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式，故. （2）解：， 【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和 【解析】【分析】围绕数列通项公式求解与数列求和展开，需利用数列前项和与通项的关系求通项，再用裂项相消法求和.（1）求通项公式：利用（ ）推导，再验证时是否满足，确定完整通项.（2）求前项和：先对变形，拆分为可裂项的部分与常数，再用裂项相消法求和. （1）因为数列的前n项和为，且， 当时，， 当时，，适合上式， 故. （2）， 17．【答案】（1） （2） 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质 18．【答案】（1）解：由题意知：，（） 则， 化简得， 所以，数列的通项公式. （2）解：因为 所以①， 可得②， ①-②得：. ， 则. 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和 【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式与等差数列的通项公式，从而解出的值，进而写出等差数列的通项公式. （2）利用数列的通项公式和已知条件，从而得出数列的的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和. （1）由题意知：，（） 即：化简得. 所以数列的通项公式. （2）因为 所以①， 可得②， ①-②得：. 故. 19．【答案】（1）解：当时，，，解得， 当时，由，可得， 相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，数列的通项公式为. （2）解：， 则 两式相减可得： ， 整理可得， 若对任意的，恒成立，即为恒成立， 设，则， 当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式 【解析】【分析】（1）解决数列问题时，第一问通过 "通项与求和关系→递推关系→等比数列通项公式" 的流程求解； （2）采用 "裂项相消求和→参数分离→数列单调性分析→恒成立条件求解" 的思路，这是数列通项与求和综合问题的典型解法由数列的通项与求和的关系，以及等比数列的通项公式，可得所求. （1）当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. （2）， 则 两式相减可得： ， 整理可得， 若对任意的，恒成立，即为恒成立， 设，则，当时，即时，所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 可以看出在处取得最小值，所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 试题分析部分 1、试卷总体分布分析 总分：78分 分值分布 客观题（占比） 28.0(35.9%) 主观题（占比） 50.0(64.1%) 题量分布 客观题（占比） 14(73.7%) 主观题（占比） 5(26.3%) 2、试卷题量分布分析 大题题型 题目量（占比） 分值（占比） 选择题 8(42.1%) 16.0(20.5%) 填空题 3(15.8%) 6.0(7.7%) 解答题 5(26.3%) 50.0(64.1%) 多项选择题 3(15.8%) 6.0(7.7%) 3、试卷难度结构分析 序号 难易度 占比 1 普通 (52.6%) 2 容易 (36.8%) 3 困难 (10.5%) 4、试卷知识点分析 序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号 1 数列的通项公式 16.0(20.5%) 2,8,14,16 2 等比数列的前n项和 12.0(15.4%) 4,15 3 数列的递推公式 16.0(20.5%) 7,8,14,19 4 等差数列的性质 12.0(15.4%) 1,17 5 数列的前n项和 12.0(15.4%) 11,16 6 等比数列的通项公式 22.0(28.2%) 13,15,19 7 等差数列的通项公式 26.0(33.3%) 6,9,12,17,18 8 等差数列的实际应用 2.0(2.6%) 11 9 函数的奇偶性 2.0(2.6%) 14 10 等比数列概念与表示 2.0(2.6%) 13 11 数列的求和 20.0(25.6%) 18,19 12 数列的概念及简单表示法 4.0(5.1%) 3,10 13 对数的性质与运算法则 2.0(2.6%) 7 14 等差数列的前n项和 40.0(51.3%) 1,5,6,9,12,15,17,18 15 通项与前n项和的关系 12.0(15.4%) 13,15 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $