精品解析：浙江省台州市椒江区书生中学2025-2026学年上学期第三次月考八年级数学试卷

台州市椒江区书生中学初二第三次月考数学试卷 （分值：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列海报设计中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形，据此求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米，数字0.00000000014用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000 000 000 14用科学记数法可表示为1.4×10﹣10， 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 【详解】解：乙和△ABC全等；理由如下： 在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等； 在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等； 不能判定甲与△ABC全等； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项判定即可． 【详解】解：A. ，无法因式分解，不符合题意； B. ，符合题意； C. ，无法因式分解，不符合题意； D. ，无法因式分解，不符合题意； 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 5. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， . 故答案为D. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 7. 若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出、都扩大3倍后的分式，再化简与原式比较，即可选择． 【详解】当、都扩大3倍时， A、，故A错误． B、，故B错误． C、，故C错误． D、，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题关键是熟练化简分式． 8. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，则的度数是（ ）． A. 144° B. 142° C. 140° D. 138° 【答案】C 【解析】 【分析】根据和都是等腰直角三角形，得，，，从而通过推导证明，得；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案． 【详解】∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 9. 若实数，，满足，，则的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．由可得，将其代入中并整理后利用偶次幂的非负性求得的值，然后求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 整理得：， 则， 那么，， 因此， 则， 故选：A． 10. 如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，于点，根据的平分线性质及含30度直角三角形的性质可得；分三种情况考虑：当，分别在射线，射线上时；当，分别在射线的反向延长线上，射线上时；当，分别在射线上、射线反向延长线上时；通过证明，得CD=CE，OD、OC、OE间的关系，从而可用a、b表示OE，综合以上三种情况即可完成求解． 【详解】过点作于点，于点 ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴ON+OF=OC ①当，分别在射线，上时，此时OC≥OD，如图 ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴OE=OC−OD= a-b ②如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时 同理可得： ∴， ∴，OE=OC+OD=a+b ③如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OC≤OD 同理可得： ∴， ∴， 综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解.注意分类讨论，否则出现遗漏情况． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 12. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 13. 如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____． 【答案】AC=BC 【解析】 【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【详解】解：添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中 ， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解题的关键是注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14. 若，，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据同底数幂除法、幂的乘方的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵， ∴ 故答案为：20． 【点睛】本题考查了同底数幂除法、幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握同底数幂除法、幂的乘方的性质，从而完成求解． 15. 如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据阴影部分周长和面积的关系列出等式，，再利用平方差公式求出的值，进而得到的值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n， ∴，， 即，， ∴ 故答案为∶ 16. 如图，在中，，点为边上的一点，，，交于点，交于点．若，图中阴影部分的面积为4，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，结合题意得，，再根据交于点，交于点，从而得到；通过证明；得，从而得四边形面积；根据勾股定理，得，即可完成求解． 【详解】设， ∵， ∴， ∵交于点，交于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形面积 ∵阴影面积 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形、勾股定理、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、勾股定理、算术平方根的性质，从而完成求解． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂的性质计算，即可得到答案； （2）根据多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再从0，1两个数字中选取一个合适的数作为代入求值． 【答案】；﹣2 【解析】 【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，根据分式有意义的条件取舍的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当x＝0时，原式＝﹣2． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵， ∴BF+CF=CF+CE,即． 在与中， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据得到，由结合线段的和差可得，然后根据AAS证得，进一步可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法成为解答本题的关键． 20. 按要求作图并填空： （1）作出△ABC 关于x轴对称的； （2）作出过点（-1，0）且平行于y轴的直线l，则点P（a，b）关于直线l的对称点的坐标为______． （3）在x轴上画出点Q ，使QA+ QC最小． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）（-2-a，b） （3） 如图所示、点Q即为所求． 【解析】 【分析】（1）按照轴对称的性质，分别找出点A、B、C的对称点，连接即可； （2）先画出直线l，再结合轴对称的性质求出坐标即可； （3）结合（1），连接 ，与x轴的交点即为Q，此时QA+ QC最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点 的横坐标为 ，则 ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：（-2-a，b）； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了轴对称作图与坐标变换，熟练掌握轴对称作图的方法是解题的关键． 21. 某水果商两次去批发市场采购同一种水果，第一次用2000元购进了若干千克，很快卖完，第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，且每千克的进价比第一次提高了20%． （1）求第一次购买水果的进价； （2）求第二次购买水果的数量： （3）该水果商按以下方案卖出第二批的水果：先以元/千克的价格售出千克，再以8元/千克的价格售出剩余的全部水果，共获利1600元．若，均为整数，且不超过第二次进价的2倍，求和的值． 【答案】（1）第一次购买水果的进价为5元/千克 （2）第二次购买水果的数量为500千克 （3）当a的值为12时，m的值为150；当a的值为11时，m的值为200；当a的值为10时，m的值为300 【解析】 【分析】（1）设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次购买水果的进价为（1+20%）x元/千克，利用数量＝总价÷单价，结合第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量＝总价÷单价，即可求出第二次购买水果的数量； （3）利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于m，a的二元二次方程，化简后可得出a8，结合a不超过第二次进价的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合a，m均为正整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次购买水果的进价为（1+20%）x元/千克， 依题意得：100， 解得：x＝5， 经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意． 答：第一次购买水果的进价为5元/千克． 【小问2详解】 解：3000÷[（1+20%）×5] ＝3000÷[1.2×5] ＝3000÷6 ＝500（千克）． 答：第二次购买水果的数量为500千克． 【小问3详解】 解：依题意得：am+8（500﹣m）﹣3000＝1600， ∴a8． ∵a不超过第二次进价的2倍， ∴a≤2×（1+20%）×5，即8≤12， ∴m≥150． 又∵a，m均为正整数， ∴或或． 答：当a的值为12时，m的值为150；当a的值为11时，m的值为200；当a的值为10时，m的值为300． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用数量＝总价÷单价，求出第二次购买水果的数量；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： （1）计算：______； （2）猜想：______； （3）验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （4）拓展，如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有列的表格中，则______．（用含的式子表示） 【答案】（1）20 （2）20 （3） 解：由图可得， b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12） ＝a2+12a+20﹣a2﹣12a ＝20， ∴bc﹣ad＝20正确； （4）4n 【解析】 【分析】（1）先算乘法、再算减法即可； （2）根据题目中的结果和（1）中的结果可以写出相应的猜想； （3）根据表格中的数据，可以用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可； （4）根据表2用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可． 【小问1详解】 解： 3×11﹣1×13 ＝33﹣13 ＝20， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：猜想：bc﹣ad＝20， 故答案为：20； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由表2可得， b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2） ＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a ＝4n， 故答案为：4n． 【点睛】本题考查整式的混合运算、数字的变化类，详解本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 23. 在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：，，，都是二元对称式，其中，叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）若，，将用含，的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式； （3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2： 问题1：已知，求的最小值． 分析：因为条件中左边的式子和求解中的式子都可以看成以，为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，可取得最小值． 问题2，①已知，则的最大值是______； ②已知，则的最小值是______． 【答案】（1）②④（2），不是；（3）①；②4 【解析】 【分析】（1）根据题中二元对称式的定义进行判断即可； （2）将进行变形，然后将，，整体代入即可得到代数式，然后判断即可； （3）①根据问题1的解决方法，发现当两个代数式都为二元的对称式时，两个元相等时，另一个代数式取最值，然后即可得到答案；②令，将式子进行换元，得到两个二元对称式，即可解决问题． 【详解】（1），①不是二元对称式， ，②是二元对称式， ，③不是二元对称式， ，④是二元对称式， 故答案为：②④； （2）∵，． ∴， ∴． 当，交换位置时，代数式的值改变了， ∴不是二元对称式． （3）① 当时，即当时，有最大值，最大值为． ②令， 则，， ∴当时，取最小值，即取到最小值， ∴时，取到最小值， 所以最小值为4． 【点睛】本题考查了代数式的内容，正确理解题意，掌握换元法是解题的关键． 24. 如图1，已知，定点在射线上，动点在射线上，作凸四边形，使，且． （1）如图1，当为锐角时． ①若，试用含的式子表示； ②过点作于点，求证：． （2）如图2，当点运动到时，连接交于点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若点关于直线的对称点为点，连接，，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）； 证明：如图中，过点作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）， 理由：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用三角形内角和定理以及角的和差定义解决问题即可； 如图中，过点作于点，证明，推出，可得结论； （）结论：，如图，过点作交于点，证明，推出，，可得结论； （）分两种情形：当点在点的左侧时，首先证明，由（）可知，，过点作于点，则，利用三角形面积公式，可得结论；当点在点的右侧时，同法可得． 【小问1详解】 解：如图中， ∵， ∵， ∴； 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图中，当点在点的左侧时， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， 由（）可知，， 过点作于点，则， ∴； 如图中，当点在点的右侧时， 由，，得到， ∵，关于对称， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 延长交于点，则，， 设，则， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市椒江区书生中学初二第三次月考数学试卷 （分值：120分 时间：120分钟） 一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列海报设计中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中科院发现“绿色”光刻胶，精度可达0.00000000014米，数字0.00000000014用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 4. 下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（ ） A. B. C. D. 6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 7. 若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，则的度数是（ ）． A. 144° B. 142° C. 140° D. 138° 9. 若实数，，满足，，则的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 12. 因式分解：a3－a=______． 13. 如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是_____． 14. 若，，则______． 15. 如图，两个正方形放置于长方形内（正方形的两边在长方形的边上），长方形是两正方形的重叠部分，已知阴影部分①与阴影部分②的周长之差为m，面积之差为n，则________（用含m、n的代数式表示）． 16. 如图，在中，，点为边上的一点，，，交于点，交于点．若，图中阴影部分的面积为4，则的周长为______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再从0，1两个数字中选取一个合适的数作为代入求值． 19. 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 20. 按要求作图并填空： （1）作出△ABC 关于x轴对称的； （2）作出过点（-1，0）且平行于y轴的直线l，则点P（a，b）关于直线l的对称点的坐标为______． （3）在x轴上画出点Q ，使QA+ QC最小． 21. 某水果商两次去批发市场采购同一种水果，第一次用2000元购进了若干千克，很快卖完，第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，且每千克的进价比第一次提高了20%． （1）求第一次购买水果的进价； （2）求第二次购买水果的数量： （3）该水果商按以下方案卖出第二批的水果：先以元/千克的价格售出千克，再以8元/千克的价格售出剩余的全部水果，共获利1600元．若，均为整数，且不超过第二次进价的2倍，求和的值． 22. 把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： （1）计算：______； （2）猜想：______； （3）验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； （4）拓展，如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有列的表格中，则______．（用含的式子表示） 23. 在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：，，，都是二元对称式，其中，叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）若，，将用含，的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式； （3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2： 问题1：已知，求的最小值． 分析：因为条件中左边的式子和求解中的式子都可以看成以，为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，可取得最小值． 问题2，①已知，则的最大值是______； ②已知，则的最小值是______． 24. 如图1，已知，定点在射线上，动点在射线上，作凸四边形，使，且． （1）如图1，当为锐角时． ①若，试用含的式子表示； ②过点作于点，求证：． （2）如图2，当点运动到时，连接交于点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若点关于直线的对称点为点，连接，，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $