精品解析：广东省惠州市仲恺高新区第七学校2025-2026学年八年级上学期期末模拟考数学试卷

仲恺高新区第七学校八年级第一学期期末模拟考数学卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，有稳定性的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 化简式子的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，利用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x应满足条件______． 12. 在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则__________°． 13. 计算：______． 14. 如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长为______． 15. 如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 因式分解 （1） （2） 17. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 18. 如图，在和中，D是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 当，时，原式 第四步 任务： （1）第一步运用到了乘法公式：____________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； （3）请你写出正确的解答过程． 20. 如图，已知∠AOB，点是边上一点，且∠ACD=∠AOB. （1）尺规作图：作∠AOB的平分线OE，交CD于点E.（保留作图痕迹，不写作法） （2）在(1)所作图形中,若∠AOB=30°,OC=4,求△OCE的面积. 21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第13题13分，第13题14分，共27分． 22. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 23. 已知，，满足：． （1）求和的值； （2）如图，点是A点左侧的轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，连接、，交于点． ①求证：； ②当时，求证：平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仲恺高新区第七学校八年级第一学期期末模拟考数学卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，故C符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 点关于轴对称点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“关于轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】关于轴对称点的坐标是 故选：B 【点睛】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误； B、，不能构成三角形，故B错误； C、，能构成三角形，故C正确； D、，不能构成三角形，故D错误． 故选：C． 4. 下列选项中，有稳定性的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性回答即可． 【详解】A项，四边形不具有稳定性．故A项不符合题意； B项，三角形具有稳定性．故B项符合题意； C项，多边形对角线下方是四边形，不具有稳定性．故C项不符合题意； D项，多边形由2个三角形和一个四边形组成，四边形不具有稳定性，故D项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的稳定性.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 5. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 【详解】解：． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意， ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键． 7. 化简式子的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．先把分式同分，再加减即可． 【详解】解： 原式 故选：B． 8. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，利用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 9. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式．由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：D． 10. 下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题； 其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题； 其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④． 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则x应满足条件______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义，据此求解即可． 【详解】解：由题可知，分母， 解得， 故答案为：． 12. 在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则__________°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，直接利用三角形的外角性质求解，即可解题． 【详解】解：由三角形的外角的性质可知，， 故答案为：120． 13. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据非零数的零次幂以及负整数次幂计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查非零数的零次幂和负整数次幂的计算，熟练掌握非零数的零次幂及负整数次幂是解决本题的关键． 14. 如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点D，若，，则的周长为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：11 15. 如图，点M在等边的边上，，射线垂足为点C，点P是射线上一动点，点N是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 _______． 【答案】11 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，，作点M关于的对称点G，作，交于点P，可推出当时，的值最小，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，据此即可求解． 【详解】是等边三角形， ，， 作点M关于直线的对称点G，过G作于N，交于P， 则此时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴． 18. 如图，在和中，D是边上一点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 阅读下面这位同学的解答过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中，． 解：原式 第一步 第二步 第三步 当，时，原式 第四步 任务： （1）第一步运用到了乘法公式：____________________________； （2）以上步骤从第_____步开始出现了错误，错误的原因是___________________________________； （3）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）完全平方公式 （2）一，去负括号时括号内的第二项没有变号 （3） ， 当，时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得第一步运用了完全平方公式； （2）第一步去负括号时括号内的第二项没有变号； （3）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，第一步运用了完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； 【小问2详解】 解：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，错误原因是去负括号时括号内的第二项没有变号； 故答案为：一，去负括号时括号内的第二项没有变号； 【小问3详解】 略 20. 如图，已知∠AOB，点是边上一点，且∠ACD=∠AOB. （1）尺规作图：作∠AOB的平分线OE，交CD于点E.（保留作图痕迹，不写作法） （2）在(1)所作图形中,若∠AOB=30°,OC=4,求△OCE的面积. 【答案】 (1)作图： (2)S△OCE=4. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得； （2）过点E作EF⊥OA于点F，根据角平分线的性质，平行的性质和直角三角形中30°所对的边是斜边的一半可以求得. 【详解】(1)略 （2）过点E做EF⊥OA于点F ∵OE平分∠AAOB ∴∠1=∠2 ∵∠ACD=∠AOB=30° ∴CD∥OB ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴EC=OC=4 在RT△CEF中，∠ACD=30° ∴EF=EC=2 ∴ 【点睛】角平分线的性质，平行的性质和直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识，适当作出辅助线可以帮助解答. 21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 【答案】（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架． 【解析】 【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解 答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得 解得 答：最多可购买10个种书架． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第13题13分，第13题14分，共27分． 22. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② ； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或， ∵，，，， ∴，，， ∴时，分式的值为整数． 23. 已知，，满足：． （1）求和的值； （2）如图，点是A点左侧的轴上一动点，连接，以为直角边作等腰直角，连接、，交于点． ①求证：； ②当时，求证：平分． 【答案】（1）， （2）①证明： 如图，过点作轴于点．则． ∵． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． 而． ∴． ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴． ②证明：如图，过点A作交于点，过点A作延长线交于点． ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，四边形内角和， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∴， 即平分． 【解析】 【分析】（1）根据绝对值和二次根式的非负性求解即可； （2）①过点作轴于点，首先根据同角的余角相等得到，然后证明，进而得到为等腰直角三角形，即可求解； ②过点A作交于点，过点A作延长线交于点，首先根据四边形内角和得到，然后证明，最后根据角平分线的性质定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、二次根式的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $