专题09 简单几何体的表面积与体积（思维导图+5大知识点+10大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版2019）

专题09 简单几何体的表面积与体积 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 4 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 5 知识点四、球的表面积和体积 6 知识点五、外接球、内切球与棱切球 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积求解方法 8 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算技巧 10 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积公式应用 12 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解问题 14 题型五：正方体、长方体外接球问题 17 题型六：正四面体外接球问题 19 题型七：直棱柱外接球问题 23 题型八：正棱锥外接球问题 25 题型九：内切球问题 28 题型十：棱切球问题 32 05 强化训练 36 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点诠释： 求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 知识点诠释： 求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点四、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 知识点五、外接球、内切球与棱切球 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积求解方法 【典例1-1】（2025·高一·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设分析，如下图，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为， 则斜边为，则，解得． 由几何关系得1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D. 【典例1-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为正四面体的表面积为，所以正四面体的其中一个正三角形面的面积是，设正四面体的棱长为， 则正三角形面的面积，所以 故选：C 【变式1-1】（2025·高一·北京房山·期末）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面， 则四棱柱为正四棱柱，其表面积为. 故选：A 【变式1-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正四棱锥的底面边长为，高为，正四棱锥侧面的高为， 正四棱锥的侧面积. 故选：B. 【变式1-3】（2025·高二·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 【答案】B 【解析】由题意，分别取上下底面的中心为，分别取的中点为，连接，如下图： 则，，， 易知， 根据题意可得正四棱台的斜高为， 所以正四棱台的表面积为， 所以该零部件的防腐处理费用是元. 故选：B. 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算技巧 【典例2-1】（2025·高一·广西北海·期末）以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，高，故其侧面积为. 故选：D. 【典例2-2】（2025·高一·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意的中点为可知，挖去的圆柱底面半径为，高为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去圆柱的侧面积，显然圆锥母线为， 易知圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B 【变式2-1】（2025·高一·重庆云阳·开学考试）若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B．15 C． D． 【答案】D 【解析】圆锥的母线长，高和底面半径构成直角三角形， 由勾股定理可知， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 【变式2-2】（2025·高一·湖南永州·期中）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥轴截面正三角形的边长是，因为正三角形的面积为， 所以，解得， 所以圆锥的底面半径，圆锥的母线， 这个圆锥的表面积是：. 故选：C． 【变式2-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，， ，，. 故选：D. 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积公式应用 【典例3-1】（2025·高一·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：棱柱的体积，表面积， ，，解得. 故答案为：C. 【典例3-2】（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为，连接，如下图： 易知三棱柱的体积是三棱柱的一半， 由图可知三棱锥与三棱柱同底等高， 则三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一， 即四棱锥的体积是三棱柱体积的三分之二， 综上可得四棱锥的体积是是三棱柱的三分之一， 即. 故选：A. 【变式3-1】（2025·高一·广东揭阳·期末）已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，几何体为正三棱柱，且所有棱长均为， 底面ABC为正三角形，侧面为正方形， 则 ． 故选:A． 【变式3-2】（2025·高一·黑龙江鸡西·期末）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【解析】设正四棱锥的底面边长为， 故正四棱锥的体积为，解得， 故该正四棱锥的底面边长为. 故选：B 【变式3-3】（2025·浙江台州·一模）小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为正四棱台的上口边长为，底部边长为，高为， 所以水杯的体积为， 因为，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7. 故选：C 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解问题 【典例4-1】（2025·高一·广西来宾·月考）某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 ． 【答案】/ 【解析】设圆锥的母线长为，圆锥的高为， 因为圆锥侧面展开图的圆心角为， 所以，所以，圆锥的高， 设圆柱的高为，则，解得， 所以该几何体的体积为． 故答案为： 【典例4-2】已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 . 【答案】 【解析】由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 故答案为：. 【变式4-1】（2025·高一·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为 ；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是 ． 【答案】 / 【解析】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 【变式4-2】（2025·高一·甘肃庆阳·期末）已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】 如图，设正四棱台的上底面中心为点，则点在上， 连接 ，则点在上，点在上，因， 由，可得， 因，， 在直角梯形中，， 又由可得. 故圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·北京通州·期末）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为 cm2；该陀螺的体积为 cm3. 【答案】 【解析】依题意，圆锥的高为3cm，圆锥、圆柱的底面圆半径为3cm， 所以圆柱的侧面积为（）； 该陀螺的体积为（）. 故答案为：； 题型五：正方体、长方体外接球问题 【典例5-1】（2025·高一·湖南衡阳·月考）往一个边长为2的正方体框架（6个面镂空只保留棱，棱的粗细忽略不计）内吹起一个气球（假设气球为球形），则该气球的最大体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】往一个边长为2的正方体框架内吹起一个气球，则该气球的最大直径为正方体的面对角线， 所以气球的最大半径为，则该气球的最大体积为. 故选：C. 【典例5-2】（2025·高一·贵州六盘水·月考）魔方，Rubik's Cube又叫魔术方块，也称鲁毕克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的.若正方体魔方的体积为，则该正方体魔方外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正方体魔方的体积为，得该正方体棱长为， 所以该正方体体对角线长为，故外接球直径为，半径， 所以该正方体魔方外接球的表面积为. 故选：B. 【变式5-1】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知长方体的对角线长为. 所以外接球半径为， 体积为. 故选：A. 【变式5-2】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 【变式5-3】（2025·高一·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得长方体的对角线长为，所以外接球半径为， 球的表面积为， 故选：A． 题型六：正四面体外接球问题 【典例6-1】（2025·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法一：如图，正四面体中， 作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为， 由正三角形的性质，， ； 由，得，解得， 该球的表面积为． 故选：A． 方法二：如下图 在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体， 可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为. 立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径， 外接球的表面积为. 故选：A. 【典例6-2】（2025·河南·模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体， 则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为， 正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径， 所以正四面体的外接球体积为． 故选：A 【变式6-1】（2025·高一·广东茂名·期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为， 所以该正四面体的表面积为， 所以，又正方体的面对角线可构成正四面体， 若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球， 所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为． 故选：C. 【变式6-2】（2025·高二·全国·期末）体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球、正四面体和正方体的体积都为， 若球的半径为，则，可得其表面积为 若正四面体的棱长为，则，可得， 所以其表面积为 若正方体的棱长为，可得，所以正方体的表面积为， 可得，即. 故选：B. 【变式6-3】（2025·高一·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 【答案】A 【解析】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形， 所以正四面体的表面积．故D选项正确； 如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心， 正四面体各棱长为，则，，， 四面体的体积为，故A选项错误； 正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r， 则有，即，解可得，C选项正确； 将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线， ∵正四面体的棱长为， 正方体的棱长为， 正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长， 所以正方体的对角线为，，．故B选项正确． 故选：A． 题型七：直棱柱外接球问题 【典例7-1】（2025·高一·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题直三棱柱底面三角形外接圆半径为， 内切圆半径为， 所以外接球半径满足，故； 内切球半径为，故， 因此. 故答案为： 【典例7-2】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，该直三棱柱可补形为长方体， 则长方体的外接球即是直三棱柱的外接球. 所以体对角线的长为球的直径，设球的半径为， 则，解得， 设侧棱长为，则，解得，即侧棱长为. 故选：C. 【变式7-1】（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，将直三棱柱补全成长方体， 则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径， 所以其半径为 球O的体积为， 故选：． 【变式7-2】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设外接圆半径为，圆心为，设外接球球心为，半径为， 因为，，在中由正弦定理有， 则，则有， 所以，所以球的体积为：    ， 故选：D. 【变式7-3】已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为 ， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 题型八：正棱锥外接球问题 【典例8-1】（2025·高一·河北·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 【典例8-2】（2025·高二·河北保定·月考）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【解析】如图设底面的中心为，连接，则球心在直线上， 由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形， 如图： 因为，由勾股定理可得，设球心为， 则在的延长线上，且，则， 由勾股定理可得，即， 解得，所以球体的表面积． 故答案为：． 【变式8-1】（2025·高一·江苏连云港·月考）已知正三棱锥的各个顶点都在同一个直径为10的球面上，底面边长为，则该正三棱锥的体积为 . 【答案】或 【解析】 如图：正三棱锥中，， ， ， 所以，或， 当时，. 当时，. 故答案为：或 【变式8-2】（2025·高一·四川成都·月考）半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 . 【答案】 【解析】如图所示，设的中点为，连接并延长交球于点，则， 在直角中，可得，所以， 所以， 所以， 则球的体积为， 正四棱锥的体积为， 所以该球与该内接正四棱锥体积之比为. 故答案为：. 【变式8-3】（2025·高三·云南·月考）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为1，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，如图， 则， 在中，， 由勾股定理：，得， 所以球的表面积, 故答案为：. 题型九：内切球问题 【典例9-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为 .（参考公式：.） 【答案】 【解析】如图，设两球半径分别为，球心在正方体体对角线上， 过分别作的垂线，垂足分别为， 由图可得， 即， 整理得，所以， 故两球体积之和为 ， 由二次函数性质可知：当且仅当时，有最小值， 即两球体积之和的最小值为． 故答案为：． 【典例9-2】（2025·高一·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【答案】64 【解析】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 【变式9-1】（2025·高一·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【变式9-2】（2025·高一·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 【变式9-3】（2025·高二·四川资阳·月考）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 【答案】 【解析】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 题型十：棱切球问题 【典例10-1】（2025·高一·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 【典例10-2】（2025·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】把正四面体放在正方体中，如图， 则正方体的内切球即为正四面体的棱切球， 即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径， 因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为， 所以正四面体的棱切球的体积为. 故选：C. 【变式10-1】（2025·广东珠海·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，连结与底面的中心，则平面， 由题意侧棱与底面所成角， 则， 又因， 所以， 因底面为正三角形，中心为， 所以，即， 所以正三棱锥为正四面体. 将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为． 表面积 故选：B 【变式10-2】（2025·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C 【变式10-3】（2025·河南开封·模拟预测）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，正方体中，棱长为， 所以，四面体是棱长为的正四面体， 当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为， 所以，该球的体积为， 因为正四面体的体积为， 所以，该球与此正四面体的体积之比为. 故选：A 1．（24-25高一下·贵州·月考）球面上有A，B，C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则球O的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取AC的中点，连接， 因为，，所以， 又点为AC的中点，则是直角三角形ABC外接圆的圆心， 所以面ABC， 所以球半径， 故球的体积. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 所以，则， 又圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r， 则 ，， 则圆锥的高为， 故该圆锥的体积为， 故选：C 3．（23-24高一下·湖北武汉·期末）若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，设球的半径为， 又圆柱的底面半径为2，母线长为2，则，所以该球的表面积为， 故选：D. 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，直角梯形绕直角边旋转一周得到圆台，其中： 上底面半径，下底面半径，母线长为边的长度. 在梯形中，， 则圆台的侧面积． 故选：A. 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直角中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：， 故选：A 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据正三棱锥的性质，可知外接球球心必在正三棱锥的高线上，连接， 由等边三角形，其边长，可知， 再由勾股定理得：， 设外接球半径为，结合勾股定理： 可得：，解得：， 由于，所以外接球球心在高线的延长线上，但仍然满足上述方程， 故该外接球的半径仍为， 所以该外接球的表面积为：， 故选：A 7．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥底面半径为， 由题意可得：圆锥底面圆周长等于侧面展开图的圆弧长，即，解得， 如图，作出图形的轴截面，其中E，B分别为圆台的上下底面圆的圆心， 其中，则， 由，可得， 则所得圆台的体积为． 故选：A． 8．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以圆锥的侧面积. 故选：C. 9．（多选题）（24-25高一下·湖南·期末）若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 【答案】AC 【解析】圆锥的体积为：，表面积为：， 所以， 圆柱的体积为：，表面积为：， 所以， 圆台的体积为：， 表面积为：， 所以， 球的体积为：， 表面积为：， 所以， 所以圆柱、球的体积与其表面积之比最大. 故选：AC 10．（多选题）（24-25高一下·云南楚雄·期末）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【解析】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 11．（多选题）（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【解析】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 12．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（   ） A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为 C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高， 设圆台的母线为，则， 故圆台的侧面积为，故A错误， 牛奶面所在的圆的半径为， 故水杯中牛奶的体积为，故B正确， 水杯的体积为, 故37个小球的体积为， 设小球的半径为，进而,解得，故C正确， 设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得， 故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确， 故选：BCD 13．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 【答案】 【解析】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 14．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 由题意， ，所以，，所以， 因此该圆锥的体积是. 故答案为：. 15．（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为． 故答案为： 16．（24-25高一下·浙江温州·期末）正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 【解析】（1）正四棱台由四个全等的等腰梯形和两个正方形组成， 因为正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为， 可得等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为， 所以正四棱台表面积为. （2）在正四棱台中，点，O分别为上、下底面的中心， 连接，，，则底面，且，， 过点作交AO于点，则底面， 可得四边形为矩形，且，所以， 因为，所以，即正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 17．（24-25高一下·湖北荆州·月考）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的体积； (2)圆台所在圆锥的表面积； 【解析】（1）圆锥的轴截面示意图如下图所示： 因为圆台的上底面面积为，所以上底面圆的半径， 因为圆台的下底面面积为，所以下底面圆的半径， 所以，所以圆台的高； 故圆台的体积为 （2）设圆锥的母线长为，圆台的母线长为， 由上图可知：，所以， 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为， 所以圆锥的表面积为. 18．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 【解析】（1）设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. （3）设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 19．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 【解析】（1）因为正三棱柱的高为，， 所以， ， 所以该正三棱柱的表面积为， 所以； （2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值，且最小值为， 此时因为，所以，所以，即，解得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 简单几何体的表面积与体积 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 4 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 5 知识点四、球的表面积和体积 6 知识点五、外接球、内切球与棱切球 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积求解方法 8 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算技巧 8 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积公式应用 9 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解问题 10 题型五：正方体、长方体外接球问题 11 题型六：正四面体外接球问题 12 题型七：直棱柱外接球问题 12 题型八：正棱锥外接球问题 13 题型九：内切球问题 13 题型十：棱切球问题 14 05 强化训练 16 知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表： 项目 名称 底面 侧面 棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高 棱锥 平面多边形 三角形 面积=·底·高 棱台 平面多边形 梯形 面积=·（上底+下底）·高 知识点诠释： 求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． 知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积． 1、圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr． （2）圆柱的表面积：． 2、圆锥的表面积 （1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是． （2）圆锥的表面积：S圆锥表． 3、圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 知识点诠释： 求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系． 知识点三、柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h． 综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 知识点四、球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数． 球的体积公式为． 知识点五、外接球、内切球与棱切球 1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． 2、球与正方体的各条棱相切 球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝，如图（2）． 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝，如图（3）． 4、正方体的外接球 正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题 常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积求解方法 【典例1-1】（2025·高一·辽宁大连·期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（   ）. A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）已知正四面体的表面积为，则它的棱长为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式1-1】（2025·高一·北京房山·期末）在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，则该四棱柱的表面积为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【变式1-2】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）已知正四棱锥的底面正方形的边长为，高为，则正四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·云南昆明·月考）如图，某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，现需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为0.5元，则该零部件的防腐处理费用是（    ）    A．160元 B．128元 C．97.5元 D．86.875元 题型二：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算技巧 【典例2-1】（2025·高一·广西北海·期末）以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高一·浙江宁波·期末）实心圆锥的底面直径为6，高为4，过中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·重庆云阳·开学考试）若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的侧面积为（   ） A． B．15 C． D． 【变式2-2】（2025·高一·湖南永州·期中）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 题型三：棱柱、棱锥、棱台的体积公式应用 【典例3-1】（2025·高一·云南昆明·期中）已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高一·辽宁葫芦岛·期末）如图，在三棱柱中，，分别是和的中点，记和的体积分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·广东揭阳·期末）已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·黑龙江鸡西·期末）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【变式3-3】（2025·浙江台州·一模）小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水.若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四：圆柱、圆锥、圆台的体积求解问题 【典例4-1】（2025·高一·广西来宾·月考）某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为 ． 【典例4-2】已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比 . 【变式4-1】（2025·高一·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为 ；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是 ． 【变式4-2】（2025·高一·甘肃庆阳·期末）已知正四棱台的上底面的四个顶点都在圆锥的侧面上，下底面的四个顶点都在圆锥的底面圆周上，且，则圆锥的体积为 . 【变式4-3】（2025·高一·北京通州·期末）陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm，则该圆柱的侧面积为 cm2；该陀螺的体积为 cm3. 题型五：正方体、长方体外接球问题 【典例5-1】（2025·高一·湖南衡阳·月考）往一个边长为2的正方体框架（6个面镂空只保留棱，棱的粗细忽略不计）内吹起一个气球（假设气球为球形），则该气球的最大体积为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·高一·贵州六盘水·月考）魔方，Rubik's Cube又叫魔术方块，也称鲁毕克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的.若正方体魔方的体积为，则该正方体魔方外接球的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·湖南·期中）若长方体的长、宽、高分别为1，1，2，则该长方体外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高二·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·四川成都·期中）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：正四面体外接球问题 【典例6-1】（2025·高三·广东潮州·期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·河南·模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·广东茂名·期末）已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·全国·期末）体积相等的球、正四面体和正方体，则它们的表面积的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高一·安徽·期中）棱长为的正四面体，下列说法错误的是（ ） A．正四面体的体积是 B．正四面体外接球半径是 C．正四面体内切球的半径是 D．正四面体表面积是 题型七：直棱柱外接球问题 【典例7-1】（2025·高一·湖南岳阳·期末）已知直三棱柱，，，，，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2025·高一·江苏无锡·期中）已知直三棱柱中，，，，其外接球的表面积为，则该三棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·四川绵阳·三模）已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知直三棱柱的各顶点都在以O为球心的球面上，且，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 题型八：正棱锥外接球问题 【典例8-1】（2025·高一·河北·期末）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为 . 【典例8-2】（2025·高二·河北保定·月考）已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 【变式8-1】（2025·高一·江苏连云港·月考）已知正三棱锥的各个顶点都在同一个直径为10的球面上，底面边长为，则该正三棱锥的体积为 . 【变式8-2】（2025·高一·四川成都·月考）半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 . 【变式8-3】（2025·高三·云南·月考）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为1，则该球的表面积为 . 题型九：内切球问题 【典例9-1】（2025·高一·黑龙江大庆·期末）如图，在棱长为的正方体内有两个球、相外切，两球又分别与正方体内切，则两球体积之和的最小值为 .（参考公式：.） 【典例9-2】（2025·高一·广东东莞·期中）已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【变式9-1】（2025·高一·四川乐山·期中）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【变式9-2】（2025·高一·河北邯郸·期中）已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为 ． 【变式9-3】（2025·高二·四川资阳·月考）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为 . 题型十：棱切球问题 【典例10-1】（2025·高一·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【典例10-2】（2025·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2025·广东珠海·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·浙江宁波·二模）在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（2025·河南开封·模拟预测）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·贵州·月考）球面上有A，B，C三点，，，球心O到平面ABC的距离是，则球O的体积是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北武汉·期末）若圆柱的底面半径为2，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·北京顺义·期末）在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，其母线长为，被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为的小圆锥，则所得圆台的体积为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一下·湖南·期末）若将4张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为1，高均为2的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为，高为2的一个密闭圆台及直径为2的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（    ） A．球 B．圆锥 C．圆柱 D．圆台 10．（多选题）（24-25高一下·云南楚雄·期末）在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（   ） A．该几何体为圆台 B．该几何体的母线长为5 C．该几何体的体积为93π D．该几何体的表面积为56π 11．（多选题）（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 12．（多选题）（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（   ） A．该水杯侧面积为 B．该水杯里牛奶的体积为 C．放入的椰果半径为 D．该水杯外接球的表面积为 13．（23-24高一下·湖南常德·期末）已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为 ． 14．（25-26高二上·上海·期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为 . 15．（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为 ． 16．（24-25高一下·浙江温州·期末）正四棱台的上下底面边长分别为和，侧棱长为. (1)求它的表面积； (2)求它的体积. 17．（24-25高一下·湖北荆州·月考）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： (1)圆台的体积； (2)圆台所在圆锥的表面积； 18．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 19．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，，是棱上的点． (1)求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积； (2)设E为棱的中点，F为棱上一点，求的最小值，此时的长度是多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $