第七章 复数单元测试卷-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版）

第七章 复数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 2．若复数满足，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．3 3．若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 4．若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（   ） A．复数的模为5 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 7．已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 8．若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 10．对任意的复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C． D．若是纯虚数，则 11．若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，则 ． 13．已知复数且，若满足，则的取值范围为 . 14．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第 象限. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 16．（15分） 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 17．（15分） 已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 18．（17分） 已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 19．（17分） 欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足（是虚数单位），则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题意可知， ∴. 故选：B 2．若复数满足，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【解析】根据题意，， 则. 故选：C 3．若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即，故， 所以复数的虚部为. 故选：B. 4．若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的虚部为， ，解得，所以， 故在复平面对应的点的坐标为， 故选：A. 5．已知，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】方法一：由得， 所以. 方法二：由得，所以. 方法三：由得， 所以，即，所以. 故选：A. 6．已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（   ） A．复数的模为5 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】A：因为，所以本选项说法不正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：因为复数的虚部为，所以本选项说法不正确； D：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，它位于第四象限， 所以本选项说法正确， 故选：D 7．已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 8．若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【解析】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】BCD 【解析】复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数为，故B正确； 复数的模为，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10．对任意的复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C． D．若是纯虚数，则 【答案】BD 【解析】对于A，，，故A错误， 对于B，，对应坐标为，在第四象限，故B正确, 对于C，设 ，则 ，， 当时，，故C错误， 对于D，若是纯虚数， 则实数部分应该为0，即，解得 当时，复数为纯虚数，故D正确. 故选：BD. 11．若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，则 ． 【答案】2 【解析】根据共轭复数的定义可知，. 所以. 故答案为：2. 13．已知复数且，若满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以. 因为. 故答案为： 14．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的.利用欧拉公式可知在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】四 【解析】由题意得， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故答案为：四. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【解析】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. 16．（15分） 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【解析】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 17．（15分） 已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 解得，则， 故. （2）因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． （3）因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 18．（17分） 已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【解析】（1）由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. （2）因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 19．（17分） 欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. (1)证明：若，则与互为共轭复数； (2)已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； (3)若，令，证明：. 【解析】（1）证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. （2）代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： （3）代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 第2页，共10页 第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $