2026年高一数学人教A版寒假作业02 弧度制及弧度制下的弧长公式、扇形面积公式

高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 02测试范围：弧度制及弧度制下的弧长公式、扇形面积公式 知识梳理 1．弧度制的相关概念 （1）1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. ②记法：弧度单位用符号表示，读作弧度. 如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角. （3）角度制和弧度制的互化： rad， . （4）扇形的弧长公式： 扇形的面积公式： .其中是半径，（）为弧所对圆心角. 【答案】 02 弧度制及弧度制下的弧长公式、扇形面积公式的寒假作业 一、单选题 1、将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 2．化为弧度是（    ） A． B． C． D． 3、已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 4、已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 5．一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 6、已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（    ） A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 7、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 8．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 10．下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 11．以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 三、填空题 12．已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接） 13．某扇形的面积为，周长为，则该扇形的半径为 . 14．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为 四、解答题 15．已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 16．已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 17．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 18．已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 19．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——三角函数篇 02测试范围：弧度制及弧度制下的弧长公式、扇形面积公式 知识梳理 1．弧度制的相关概念 （1）1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. （2）弧度制： ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. ②记法：弧度单位用符号表示，读作弧度. 如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角. （3）角度制和弧度制的互化： rad， . （4）扇形的弧长公式： 扇形的面积公式： .其中是半径，（）为弧所对圆心角. 【答案】 02 弧度制及弧度制下的弧长公式、扇形面积公式的寒假作业 一、单选题 1、将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 2．化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由弧度制和角度制的运算公式可得. 【详解】根据换算公式，计算弧度，故选：B 3、已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为.故选：A. 4、已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得， ∴ ，当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8.故选：D. 5．一个扇形的弧长与面积都等于3，这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据弧长公式和扇形面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，中心角的弧度数为，根据弧长公式可得，根据扇形面积公式可得，将代入可得，，所以.故选：C. 6、已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为（    ） A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 【答案】A 【解析】设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S，易得弧长，周长等于，，两式联立解得或,因,即,故.故选：A. 7、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为，大齿轮的齿数为，小齿轮的齿数为，故有，解得，大轮的转速为（转/分），则小轮的转速为，即小轮的转速为，故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为. 故选：B. 8．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径，再结合的长度得到小扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为，代入弧长公式可得，解得.所以.由扇形面积公式可得，，，所以此扇面的面积．故选：B 二、多选题 9．关于弧度制说法正确的是（    ） A．角的度数和弧度数是一一对应的 B．用角度制度量角，与其所在的圆的半径无关；用弧度制度量角，与其所在的圆的半径有关 C．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 D．用弧度制度量角，该角必为正角 【答案】AC 【分析】根据弧度制的概念逐项判断即可. 【详解】角的度数和弧度数是一一对应的，A说法正确；无论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小均与其所在的圆的半径无关，B说法错误；1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，C说法正确； 用弧度制度量角，该角可为正角，可为负角，也可为零角，D说法错误，故选：AC 10．下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【分析】根据弧度与角度的互化即可判断ABC，根据终边相同的角的概念即可判断D． 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误；对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确；故选：ABD． 11．以下说法正确的有（   ） A．化成弧度为 B．与的终边相同的角的集合是 C．将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D．已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据角的性质和弧度制逐一判断各个选项即可得到结论． 【详解】对于A，，故A正确；对于B，，所以与的终边相同的角的集合是，故B正确；对于C，将表的分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，故分针转过的角的弧度是，故C不正确；对于D，设扇形的弧长，半径为，由于扇形的周长为，圆心角为，则，解得，则该扇形的面积为，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 12．已知，弧度，，则，，间的大小关系为 .（用“<”符号连接） 【答案】 【分析】将三个角统一转换为角度进行比较即可. 【详解】由题意可得，，所以． 13．某扇形的面积为，周长为，则该扇形的半径为 . 【答案】1或 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式列式求解即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则由题意可得，解得或，故答案为：1或 14．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为 【答案】 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【详解】设为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径，由扇形面积公式可得， 扇环面积. 四、解答题 15．已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)； (2)； (3),. 【分析】（1）利用扇形的面积公式直接计算即可； （2）利用扇形的弧长公式及面积公式建立方程组计算即可； （3）利用扇形的弧长公式、面积公式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为，则该扇形的面积为； （2） 设扇形圆心角的弧度为，则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或，所以扇形圆心角的弧度数为； （3） 设扇形圆心角的弧度为，则，则， 扇形的周长为，当且仅当时，周长可取得最小值， 此时，故此时扇形的圆心角. 16．已知某扇形的周长是8． (1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小； (2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．） 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小； （2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积. 【详解】（1）设该扇形的半径为，弧长为，则， 当且仅当时，等号成立，此时该扇形的面积，， 其圆心角，故所求圆心角． （2）由（1）知，．又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积，所以所求弓形的面积， 故所求弓形的面积是． 17．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的周长和面积公式，可得，再结合二次函数的图像性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意，扇形的圆心角，半径为， 所以扇形的弧长； （2）因为扇形的周长为，即，所以， 又，所以， 所以当时，面积取得最大值，为，此时，所以. 所以若扇形周长为，当扇形的圆心角为弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是. 18．已知一个扇形的周长是40， (1)若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； (2)求扇形面积S的最大值. 【答案】(1)扇形的圆心角为或；(2) 【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以，所以， 所以，所以，解得或. 当时，，扇形的圆心角为； 当时，，扇形的圆心角为；综上所述：扇形的圆心角为或； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以扇形面积S的最大值为. 19．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）设半径为，由弧长公式及周长得，利用垂径定理结合解直角三角形可得； （2）根据扇形面积公式结合基本不等式可求得扇环面积的最大值即可． 【详解】（1）设内圆弧半径为，则，所以，所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，，当时，，所以， 所以，即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得，则， ，当且仅当，即，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $