精品解析：辽宁省大连市王府高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学试题 命题人：李洪岩 校对人：张德芳 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线和直线互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 0 4. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 5. 一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 6. 点在直线上移动，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 8 7. 椭圆：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为椭圆上一动点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上不存在点P，使得 D. 的最小值为 8. 如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知圆锥顶点为S，O为底面圆心，轴截面是边长为2的等边三角形，C为底面圆周上一点，且，则下面选项中正确的是（ ） A. 圆锥体积等于 B. 圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1 C. 平面 D. 二面角的正切值为 10. 已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）（多选题） A. 若，则O为线段中点 B. 存在直线，使得 C. 若，则 D. 面积的最小值为2 11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 直线与底面所成角为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中项的系数为__________ 13. 已知抛物线的焦点为F，圆.如图，过点F的直线与抛物线和圆的交点依次为A，B，C，D，则的最小值为_____. 14. 三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角余弦值的取值范围为_____. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，二项式系数的和为64. （1）求展开式中的含有项的系数； （2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 16. 已知圆C：关于直线对称. （1）求常数m； （2）已知直线：与圆交于P、Q两点，若，为坐标原点，求实数t的值. 17. 如图，已知直三棱柱的体积为2，侧面是边长为2的正方形，点D为棱的中点，点E在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. （1）求双曲线C的方程； （2）记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直. ①若，求折叠后异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后点A与B之间距离为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 命题人：李洪岩 校对人：张德芳 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2. 在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等可得球心为的中点，从而可得体积. 【详解】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故选：B. 3. 若直线和直线互相垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. 或0 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的充要条件是，列方程求解即可，避免讨论斜率是否存在的情况. 【详解】因为直线和直线互相垂直， 所以，即， 解得或. 故选：C. 4. 四个同学排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排法总数是（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合，结合分类加法计算原理即可求解. 【详解】若甲在第二位，则乙可以站在第一位和第三位，此时有, 若甲在第三位，则乙可以站在第一位和第二位，此时有, 若甲在第四位，则乙可以随意站，此时有, 故总的方法有， 故选：B 5. 一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设动圆圆心，与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，列出几何关系式，化简，再根据圆锥曲线的定义，可得到动圆圆心轨迹. 【详解】设动圆圆心，半径为，圆x2+y2＝1的圆心为，半径为， 圆x2+y2﹣8x+12＝0，得，则圆心，半径为， 根据圆与圆相切，则，，两式相减得， 根据定义可得动圆圆心轨迹为双曲线的一支. 故选：C 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，圆锥曲线的定义，属于基础题. 6. 点在直线上移动，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，再利用基本不等式求解. 【详解】由题意可知，， 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：A 7. 椭圆：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为椭圆上一动点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上不存在点P，使得 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】选项A，利用均值不等式求最大值.选项B，直接求离心率.选项C，设，求出和的坐标，代入椭圆方程化简，令，解出答案.选项D，设，距离公式表示，然后联立椭圆方程，用二次函数求最小值. 【详解】由题意知，，，因此，，， 焦点为，. 选项 A，由椭圆定义：，根据均值不等式： 当且仅当 时取等号，选项A 错误. 选项 B，离心率 ，选项B 错误. 选项 C，设，则 ，. 由椭圆方程得，代入得 令，即 ，解得，满足， 故存在点使得 ，选项C错误. 选项 D，设，则 ，， 代入 ： 定义域，对称轴 ， 代入得最小值.选项D正确. 故选：D 8. 如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 二、多选题选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知圆锥顶点为S，O为底面圆心，轴截面是边长为2的等边三角形，C为底面圆周上一点，且，则下面选项中正确的是（ ） A. 圆锥体积等于 B. 圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1 C. 平面 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用圆锥体积公式求体积判断A；圆锥的轴截面为，易知圆锥外接球和内切球的半径分别是外接圆和内切圆的半径，判断B；利用线面垂直的判断、性质推出矛盾判断C；取的中点，连接，，根据二面角的定义有二面角的平面角为，进而求其正切值判断D. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，圆锥的高， 所以圆锥的体积，故A正确； 如图，圆锥的轴截面为， 圆锥外接球和内切球的半径分别是外接圆和内切圆的半径， 依次为，， 所以圆锥的外接球与内切球的半径比为2:1，故B正确； 若平面，平面，则， 又，且与交于点，所以平面， 又平面，则，显然不成立，故C错误； 取的中点，连接，， 因为，为的中点，则， 由垂径定理得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 在中，，则， 所以，即二面角的正切值为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知抛物线的焦点为F，过原点O的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）（多选题） A. 若，则O为线段中点 B. 存在直线，使得 C. 若，则 D. 面积的最小值为2 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质可以确定其焦点和准线方程，设动直线方程为，将其与抛物线联立即可求出交点坐标，对于，根据抛物线第一定义可求出动直线和抛物线交点坐标，根据交点到原点距离即可判断；对于，根据交点坐标即可求出，再根据向量垂直即可判断；对于，根据两点之间的距离公式可表达出，即可求出动直线的斜率，代入即可判断；对于，根据，再根据不等式性质即可判断. 【详解】根据题意可知抛物线的焦点，准线为， 设动直线方程为，则和抛物线联立可得，可得点， 将动直线方程为与准线方程联立可得点， 对于，根据抛物线第一定义可知，解之可得， 所以点，点，可求得, ，所以O为线段中点，故正确； 对于，假设存在直线，使得，则可知， ，将代入化简可得， 解之可得，故正确； 对于，根据，化简可得 之可得或（舍），由，故正确； 对于，根据 ， 当且仅当，即时等号成立，故正确. 故选： 11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（ ） A. B. 长为 C. 直线与底面所成角为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，空间向量的加减法. 选项B，首先用空间向量加减法，然后再用模长的数量积公式. 选项C, 连接，，，证明四棱锥是个正四棱锥，然后用线面角的公式. 选项D，首先用向量表示，然后用向量的数量积公式. 【详解】已知平行六面体棱长均为1，底面为正方形，故， ，. 选项A，，选项A错误。 选项B， 代入得，选项B正确。 选项C，设在底面上的投影为，则就是在底面的投影向量。 连接，，， 如图 已知， 所以，四棱锥是正四棱锥. 因此投影向量， 其长度为 因为 ，所以，即直线与底面所成角为，选项C正确 选项D， 代入得，故，因此D正确。 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中项的系数为__________ 【答案】8 【解析】 【分析】先写出的展开式的通项，再根据乘法分配律即可求出. 【详解】展开式的通项公式为，,1,2,3,4， 展开式中，项的系数为. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为F，圆.如图，过点F的直线与抛物线和圆的交点依次为A，B，C，D，则的最小值为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线定义及题设可得，设直线：，，由抛物线定义及韦达定理可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得抛物线焦点为，圆心坐标为，半径为1. 则. 设直线：，，将直线与抛物线方程联立，可得： ，消去得：，则. 又由题可得抛物线准线为，根据抛物线定义，可得： . 又，， 则， 当且仅当时取等号.从而最小值为4. 故答案为：4 14. 三棱锥中，两两垂直，，点M为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成角余弦值的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由三棱锥的三条棱建立空间直角坐标系，得到向量，设点，由四点共面得到的值，结合，两式消元得到关于的方程，令代入方程，由方程的判别式求得的取值范围，由空间向量的数量积求得线线角的余弦值，结合的取值范围，即可得到答案. 【详解】∵两两垂直， ∴如图以为顶点建立空间直角坐标系， 则，，， 设点，则， ∴，又∵点M为平面内的动点， ∴，即，即， 且，即， ∴，则， 令，则， 则， ∵方程有解，所以，即，即， ∴. 设直线与直线所成角为，， 则， ∵，∴. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，二项式系数的和为64. （1）求展开式中的含有项的系数； （2）展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）240 （2） 展开式中不存在常数项，理由如下： 由（1）令，但由题设可得， 则不满足题设，即展开式中不存在常数项. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和可得，据此可得二项式通项，即可得答案； （2）由（1）中二项式通项分析即可判断. 【小问1详解】 因二项式系数和为，则. 则展开式通项为， 令，则含项的系数为； 【小问2详解】 略 16. 已知圆C：关于直线对称. （1）求常数m； （2）已知直线：与圆交于P、Q两点，若，为坐标原点，求实数t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程，得到圆心和半径，根据题意可得圆心在直线上，进而可求出值； （2）先由题意设，联立直线与圆的方程，由于则，结合韦达定理，即可求出结果. 【小问1详解】 圆圆心为 ， 因为圆关于直线对称； 所以圆心在直线上； 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知圆， 已知直线的方程为 ，设 ， 联立方程化简得到； 则， 则 ； 因为，所以， 即，解得. 代入可得：，满足. 故. 17. 如图，已知直三棱柱的体积为2，侧面是边长为2的正方形，点D为棱的中点，点E在棱上，. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：设与相交于点，连接，如图：   因为是正方形，所以，所以， 又点为棱的中点，所以， 所以， 又，所以，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的等比例关系得到，根据线面平行判定定理进行证明； （2）首先确定，再构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，利用向量法求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱的体积为2，侧面是边长为2的正方形， 所以，设边上的高为，则，所以， 因为，即是上的高，所以， 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的法向量为，平面的法向量为 则，， 令，则，令，则， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. （1）求双曲线C的方程； （2）记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明：双曲线的左右顶点，斜率， 故，代入， 得 由（i）可知，可得 代入，可得 即是定值． AI 【解析】 【分析】（1）运用向量点积与双曲线范围最值； （2）（i）将直线与双曲线方程联立，整理为关于的一元二次方程，再利用“直线与双曲线右支交于两点”的条件，解不等式组得到参数的取值范围； （ii）先直线的斜率，利用韦达定理代入的表达式化简，最终得到定值. 【小问1详解】 设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值为，所以， 因为，所以，又因为焦距为所以，即， 由，可得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点，可得． 解得，所以的取值范围是； （ii）略 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）如图，将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直. ①若，求折叠后异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后点A与B之间距离为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由的周长和离心率建立方程，求得，即可写出椭圆方程； （2）①折叠前，由，写出直线方程，联立方程组解得在平面直角坐标系中.折叠后，建立空间直角坐标系后写出点坐标，由空间向量的数量积求得异面直线和所成角的余弦值； ②折叠前，由写出直线方程，联立方程组，设坐标，由韦达定理得到关系式.折叠后，建立空间直角坐标系，然后得到点坐标，由A与B之间距离为建立方程，从而求得的值. 【小问1详解】 由题意可知，∴，∴， ∴椭圆. 【小问2详解】 ①折叠前，由（1）可知， ∵，∴直线， 联立方程组得，即，解得或， 即，， 折叠后，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，， 设折叠后异面直线和所成角为， 则. ②折叠前，设直线，， 联立方程组，整理得， 设点，则，， ∴， ， ∴ 折叠后，如图建立空间直角坐标系， 则， 则， ∴，即， ∴，∵，则， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $