2025-2026学年人教版七年级数学上册期末综合测试卷

2025-2026学年人教版七年级数学上册期末综合测试卷 一、单选题 1．如果高于海平面记为，那么低于海平面记为（   ） A． B． C． D． 2．观察下列图形规律：第n个图案中“◎”的个数为（ ） A． B． C． D． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 4．按一定规律排列的单项式：，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，且，则 D．若，则 6．将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（    ） A． B． C． D． 7．已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简得（     ） A． B． C． D． 9．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2025个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 二、填空题 11．已知是方程的解,则 ． 12．我县某一大型超市为庆祝开业周年庆典，所有商品都打折销售，该超市某柜台将单价标为130元的书包按8折出售仍可获得利润，该书包每个的进价是 13．定义一种新运算：，则 ． 14．已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 15．已知点为线段上一点，，，点为直线上一点，，分别是，的中点，若线段，则线段的长度为 ． 16．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． 18．解一元一次方程： (1)； (2)． 19．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 20．已知点在线段上，点在线段上． (1)如图，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图，若，为线段的中点，，求线段的长度． 21．英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 22．数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有______个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有______个黑色小正方形； 从图③中可以得到：______，因此图③中共有6个黑色小正方形． 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有______个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （3）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （4）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （5）根据你发现的结论，计算：． 23．已知． (1)若，与互余，射线平分， ①如图1，时，若射线在内部，则______； ②时，画出符合题意的图形，并求的度数（用含的式子表示）； (2)若，与互补，射线平分，射线是的一条三等分线，则的度数为______． 24．已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末综合测试卷 一、单选题 1．如果高于海平面记为，那么低于海平面记为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，根据正负数的意义，高于海平面记为正数，低于海平面记为负数求解即可． 【详解】解：∵高于海平面记为， ∴低于海平面记为， 故选A． 2．观察下列图形规律：第n个图案中“◎”的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律题，根据已知图形得出 “◎”个数变化规律即可求解． 【详解】解：由图可得，第1个图案中“◎”的个数为3，， 第2个图案中“◎”的个数为6，， 第3个图案中“◎”的个数为9，， 第4个图案中“◎”的个数为12，， …… 以此类推，第n个图案中“◎”的个数为， 故选：A． 3．我国古代用算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，图①可列式计算为，由此可推算图②可列的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算及古代算筹的表示规则，解题的关键是根据“正放表示正数、斜放表示负数”的规则确定图1中算筹对应的数． 先依据算筹的表示规则，确定图2中正放、斜放算筹对应的数，再列出加法算式计算结果． 【详解】解：根据题意，正放的算筹表示正数，斜放的表示负数： 图1中，正放的算筹有3根，表示； 图2中，斜放的算筹有4根，表示； 因此算式为． 故选 C． 4．按一定规律排列的单项式：，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是单项式规律题，根据已知单项式找出一般规律是解题关键．观察序列的系数和指数的变化规律发现，第n个单项式的系数为，指数为，从而得到第n个单项式，再代入计算． 【详解】解：， ， ， ， 观察发现，第n个单项式的系数为，字母x的指数为， ∴ 第n个单项式为， 当时，系数为，字母x的指数为， ∴ 第100个单项式为， 故选：D． 5．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，且，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，等式两边同时加减或乘除（除数不为0）同一个数，等式仍然成立需注意除数不能为0的情况． 【详解】解：对于A：当时，恒成立，但a不一定等于b，故A不正确，符合题意； 对于B：∵， ∴，故B正确，不符合题意； 对于C：∵，且， ∴，故C正确，不符合题意； 对于D：∵，且（分母不为0）， ∴，即，故D正确，不符合题意． 故选：A ． 6．将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点线面体，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，分别判断各选项是否可得到图中所示的立体图形． 【详解】解：A、绕轴旋转一周，可得到圆台，故此选项不合题意； B、绕轴旋转一周，可得到圆柱，故此选项不合题意； C、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，故此选项符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到圆锥，故此选项不合题意； 故选：C． 7．已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，…依次类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加法运算，数字类规律探索等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过计算序列前几项，发现规律：当n为奇数时，；当n为偶数时，，由2025为奇数，代入公式计算即可求解． 【详解】解∶∵， ， ， ， ， ， ， … ∴规律为：n为奇数时，； n为偶数时，． ∵2025为奇数， ∴． 故选：A． 8．有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，根据数轴可以得到a、b、c的大小关系，从而可以将所求式子的绝对值去掉，并将所求式子化到最简． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 9．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2025个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类-规律型，根据从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，分别表示出到，进而计算并判断各说法的正确性，即可解题． 【详解】解：∵ ，， ，， ， ， ， ， ， ， 则①当，则，说法正确； ②，说法正确； ③前2025项中，除第一项外，系数按偶数、奇数、奇数，三个一组进行循环， ， 系数为偶数的代数式有个，说法中为674个，错误； ④ ，说法错误． ∴正确说法有①和②，共2个． 故选：B． 10．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（   ） A． B． C．0 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数符号的分析和绝对值的化简，判断绝对值的正负是解题的关键． 首先由和可得a，b，c中只有一个负数，再将原式化简为，再分三种情况讨论符号即可求出x的值，进而求最大值和最小值的乘积． 【详解】解：∵且， ∴a，b，c中只有一个负数， ∵， ∴，，， ∴， 当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴x的最大值为，最小值为， ∴x的最大值与最小值的乘积为， 故选：A． 二、填空题 11．已知是方程的解,则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．将x的值代入方程，然后再解关于m为未知数的方程．然后可求解m的值． 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 故答案为：． 12．我县某一大型超市为庆祝开业周年庆典，所有商品都打折销售，该超市某柜台将单价标为130元的书包按8折出售仍可获得利润，该书包每个的进价是 【答案】80元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键．设书包每个的进价为x元，根据售价进价利润，列出方程求解即可． 【详解】解：设该书包每个的进价为x元， 根据题意，得， 解得． 故答案为：80元． 13．定义一种新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； 根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：由新运算定义 ， 得， ∴， 故答案为：． 14．已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，相反数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求出两个方程的解，再根据解互为相反数的条件建立关于的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 得； 解方程， 得； ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．已知点为线段上一点，，，点为直线上一点，，分别是，的中点，若线段，则线段的长度为 ． 【答案】19或11 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，可求出的长，再根据题意可分两种情况：点D在点A左侧和点D在点B右侧，根据线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系可求出的长． 【详解】解：∵点为线段上一点，，， ∴； ∵点为直线上一点，且， ∴点D要么在点A左侧，要么在点B右侧， 当点D在点A左侧时，则， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； 当点D在点B右侧时，则， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：19或11． 16．如图，O为直线上一点，将一个三角板的直角顶点与点O重合，三角板的一边与重合，现在将三角板绕着点O逆时针旋转一周，在旋转过程中的平分线记为，的平分线记为，则 度． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意可分四种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分： ①如图， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ③如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； ④如图， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或； 故答案为或． 三、解答题 17．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先算乘方和括号里面的运算，再算中括号外面的乘除法，最后算加法； （2）先算乘方，计算绝对值，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴移项得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得； （2）解：∵， ∴去分母得 ∴去括号得 ∴移项得 ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得； 19．定义：若，则称与是关于2的友好数． (1)3与 是关于2的友好数； (2)若，，判断与是否是关于2的友好数，并说明理由； (3)若，，且与是关于2的友好数，求代数式的值． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查代数式求值，理解题意是解题的关键． （1）根据友好数的定义列式计算即可； （2）根据友好数的定义列式计算即可； （3）根据友好数的定义列式求出，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：是，理由如下： ， 所以与是关于2的友好数． （3）解：与是关于2的友好数， ， ，， ， ， ． 20．已知点在线段上，点在线段上． (1)如图，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图，若，为线段的中点，，求线段的长度． 【答案】(1)线段的长为； (2)线段的长为． 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和与差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，又为线段的中点，则，然后通过线段的和与差求出线段的长度为1cm； （）设，则，，，，再由线段的中点，线段的和差倍分求出的长度为． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的长为． 21．英才学校组织七、八年级老师到某地参加培训会，需要租用大巴车接送老师往返学校和参会地，现租赁公司有25座和45座两种型号的大巴车可供选择．已知25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元． (1)学校租用25座和45座大巴车每辆每天的租金各是多少元？ (2)因为第二天培训的内容主要针对七年级的老师，所以八年级的老师不用参加，因此要重新确定租车方案．现有如下两种选择： 方案一：全部租用25座的大巴车，则有一辆车空出15个座位； 方案二：全部租用45座的大巴车，刚好坐满且比只租用25座的大巴车少租3辆． 请分别计算两种方案所需要的租金，并说明哪种方案更省钱． 【答案】(1)学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元 (2)方案一，二所需要的租金分别是元元，选择方案二更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据25座大巴车每辆每天的租金比45座大巴车的租金便宜400元，学校第一天租用2辆45座和5辆25座大巴车，共付租金5000元，列方程，解得，故，即可作答． （2）理解题意，分别算出方案一和方案二所需要的租金，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设学校租用25座大巴车每辆每天的租金是元， 则学校租用45座大巴车每辆每天的租金是元， 根据题意得， 解得， ∴（元）． 答：学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； （2）解：由（1）得学校租用25座大巴车每辆每天的租金是600元，租用45座大巴车每辆每天的租金是1000元； 依题意，设全部租用45座的大巴车需要租用辆， 则全部租用25座的大巴车需要租用辆， 根据题意得， 解得， ∴（元）； （元）． 方案一，二所需要的租金分别是元元， ∵， ∴选择方案二更省钱． 22．数形结合是通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有______个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有______个黑色小正方形； 从图③中可以得到：______，因此图③中共有6个黑色小正方形． 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有______个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （3）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：______（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （4）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （5）根据你发现的结论，计算：． 【答案】（1）1；3；；（2）；（3）；（4）1275 ；（5）2360 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，有理数的混合运算，由已知图形找到规律是解题的关键． （1）根据图形解答即可； （2）根据已知图形找出规律猜想即可； （3）根据（1）找出规律猜想即可； （4）利用（3）的猜想计算即可； （5）把算式转化为，再利用规律计算即可； 【详解】解：（1）从图①中可以得到：，因此图①中共有 1 个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有 3 个黑色小正方形； 从图③中可以得到：，因此图③中共有 6 个黑色小正方形； 故答案为：1；3；； （2）由（1）可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：， 故答案为：； （4）解：由（3）可得，； （5）解： ． 23．已知． (1)若，与互余，射线平分， ①如图1，时，若射线在内部，则______； ②时，画出符合题意的图形，并求的度数（用含的式子表示）； (2)若，与互补，射线平分，射线是的一条三等分线，则的度数为______． 【答案】(1)①；②图见解析，或； (2)或或或． 【分析】本题考查了互余和互补，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）①由互余可得，再根据角平分线的定义，求得，即可得出的度数； ②分两种情况讨论：在上方和在下方，根据互余和角平分线的定义求解即可； （2）分四种情况讨论：根据互补和角平分线的定义，以及三等分线求解即可； 【详解】（1）解：①，与互余， ， 射线平分， ， ； ②如图，当在上方， ，与互余， ， 射线平分， ， ； 如图，当在下方， ，与互余， ， 射线平分， ， ， 综上可知，的度数为或； （2）解：①如图，当在下方，且射线是靠近边的一条三等分线， ，与互补， ， 射线平分， ， ， ， ； ②如图，当在下方，且射线是靠近边的一条三等分线， 同①可得，，， ， ； ③如图，当在上方，且射线是靠近边的一条三等分线， ，与互补， ， 射线平分， ， ， ， ； ④如图，当在上方，且射线是靠近边的一条三等分线， 同③理可得，， ， ； 综上可知，的度数为或或或． 24．已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)10，18； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，为； (3)当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位 【分析】本题综合考查了列代数式，整式的加减，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求得b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当时，，此时点P表示的数为，当时，，此时点P表示的数为，设点Q运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， ． 故答案为：10，18； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为t秒， 则， ， ∴的值不会随着时间t的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，，，， ， 设点P运动的路程为y， 当时，，此时点P表示的数为， 当时，，此时点P表示的数为， 设点Q运动的路程为， 当时，，此时点Q表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位， 即， 情况1：，，， 则，即， ∴或， 解得，（舍去）； 情况2：，，， 则，即， 解得或， 即（符合），（舍去）； 情况3：，，， 则，即， 解得或， 即（舍去），（舍去）； 情况4：，，， 则，即， ∴或，即（舍去），（符合）， 综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $