专题 1.9 一元一次不等式（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.9 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】不等式的相关概念 1 【知识点二】不等式的相关概念 2 【知识点三】一元一次不等式（组） 2 二.题型分类精析 3 （一）基础核心考点 3 【考点一】一元一次不等式的定义 3 【题型1】一元一次不等式定义及参数 3 【考点二】一元一次不等式的基本性质 5 【题型2】由基本性质判断、求取值范围 5 【考点三】一元一次不等式的解法 6 【题型3】直接求一元一次不等式的解集 6 【题型4】求一元一次不等式解集并在数轴上表示解集 8 【考点四】一元一次不等式组四种类型 10 【题型5】一元一次不等式组四种类型 10 【考点五】一元一次不等式组的解法 12 【题型6】直接求一元一次不等式组的解集 12 （二）综合应用考点 14 【考点六】已知一元一次不等式（组）解集求参数 14 【题型7】已知一元一次不等式（组）解集求参数 14 【考点七】已知一元一次不等式（组）与方程（组）综合 17 【题型8】一元一次不等式（组）与方程（组）综合 17 【考点八】已知一元一次不等式（组）的实际应用 19 【题型9】列一元一次不等式（组）解应用题 20 【题型10】一元一次不等式（组）与一次函数综合 23 三.中考真题专练 27 （一）单选题（10题） 27 （二）填空题（6题） 32 （三）解答题（4题） 35 一.知识梳理 【知识点一】不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “”、 “” 、 “” 、 “”、 “”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 【知识点二】不等式的相关概念 性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如，那么． 性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么（或）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么（或）． 【知识点三】一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：或，或． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，�但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 5．一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （一）基础核心考点 【考点一】一元一次不等式的定义 【题型1】一元一次不等式定义及参数 【★例题1】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【★变式1】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 【★★变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如果关于x的一元二次方程（m是常数）有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式等知识点，由一元二次方程的定义和有实数根，得原方程的判别式且，由此可得关于的不等式，解不等式即得答案，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解决此题的关键． 【详解】解：整理方程得：， 关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 【考点二】一元一次不等式的基本性质 【题型2】由基本性质判断、求取值范围 【★★例题2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后进行分类讨论，当时，当时，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 【★变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．根据不等式的性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意； 故选：D． 【★★变式2】（2025·北京昌平·二模）已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，真假命题，根据题意可得当时，，则由不等式的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴当时，， ∴， ∴c的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【★★变式2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查不等式的性质；根据不等式的性质逐步证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 【考点三】一元一次不等式的解法 【题型3】直接求一元一次不等式的解集 【★★例题3】（2025·贵州·一模）（1）计算：； （2）下面是小琴同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 任务一：第步运算的依据是 ； 任务二：第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ，并写出正确的解答过程． 【答案】（）；（）不等式的两边都乘同一个正数，不等号方向不变；；移项没有变号；过程见解析． 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则和解法步骤是解题的关键． （）先化简绝对值，负整数指数幂，有理数乘方法则分别计算，然后合并即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可求解． 【详解】解：（）原式 ； （）任务一：不等式的两边都乘同一个正数，不等号方向不变； 任务二：；移项没有变号； 正确的解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 【★变式1】（2026·江西·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式和分式有意义的条件． 利用二次根式和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则且， ∴且， 只有选项B符合要求， 故选：B. 【★★变式2】（2025·吉林四平·模拟预测）关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集求解参数，解决本题的关键是由数轴得到不等式的解集． 先由解不等式的方法解不等式，再根据数轴可得不等式的解集为，由此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式为， ∴解得， 由数轴可得解集为， ∴，解得． 故选：D ． 【题型4】求一元一次不等式解集并在数轴上表示解集 【★★例题4】（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及一元一次不等式的解法、用数轴表示不等式组解集的方法，熟练掌握一元一次不等式的解法及数轴表示是解决问题的关键；先分别解出不等式组的两个不等式，再根据不等式组解集的求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求出解集，在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得 ； 解不等式②得 ； 故原不等式组的解集为． 在数轴上表示出不等式组的解集，如图所示： ． 【★变式1】（2025·广东清远·三模）关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有 个． 【答案】3/三 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式组的整数解．根据数轴得到不等式组的解集为，据此即可得到该不等式组的整数解的个数． 【详解】解：由数轴可知关于的不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解有，共3个， 故答案为：3 【★★变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况与判别式的关系求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则 ， 解得， 故答案为：． 【考点四】一元一次不等式组四种类型 【题型5】一元一次不等式组四种类型 【★★例题5】（2026·辽宁阜新·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解不等式组，先解出每个不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， 该不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：A 【★变式1】（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： ； 故选：A． 【★变式2】（2024·甘肃嘉峪关·三模）把不等式组的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（   ）　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一元一次不等式组的解集，并将解集在数轴上表示，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出不等式①，②的解集，可得到不等式组的解集，并将解集在数轴上表示，即可解答． 【详解】解： 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集在同一条数轴上表示为 ． 故选B． 【★变式3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来，即可解答． 【解答】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示，如图所示： ， 故选：A． 【考点五】一元一次不等式组的解法 【题型6】直接求一元一次不等式组的解集 【★★例题6】（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算：； （2）解一元一次不等式组：． 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、立方根、一元一次不等式组的求解： （1）依次计算特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、立方根即可； （2）先求出两个一元一次不等式的解，从而可求不等式组的解． 【详解】解：（1）原式； （2）解得， 对于：， 去分母：， 即 解得， ∴不等式组的解集为． 【★变式1】．（2025·江苏南通·模拟预测）（1）解不等式组：； （2） 解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组及解分式方程是解题的关键． （1）分别求解两个不等式，再求公共解即可； （2）先去分母，得到一次方程并求解，再进行检验即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：； （2） 去分母，得 ， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入最简公分母，得， 是分式方程的解． 【★★变式2】（2025·江苏南通·三模）（1）解不等式组   （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组、求不等式组的整数解、分式化简求值： （1）先分别求出每个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可确定不等式组的解集． （2）先对通分，再对因式分解，进行化简求值． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是：． （2）解： ． 原式． 【★★变式3】．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）（1）解不等式组：． （2）某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一家手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元．求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ 【答案】（1）；（2）A型手机每部售价1800元，B型手机每部售价2200元 【分析】本题考查了解不等式组，二元一次方程的应用． （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集； （2）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元，利用“销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元”可列二元一次方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：（1）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：； （2）设A型手机每部售价x元，B型手机每部售价y元， 根据题意得， 解得， 答：A型手机每部售价1800元，B型手机每部售价2200元． （二）综合应用考点 【考点六】已知一元一次不等式（组）解集求参数 【题型7】已知一元一次不等式（组）解集求参数 【★★例题7】（23-24七年级下·贵州安顺·期末）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组有4个整数解确定m的取值范围是解题的关键． 先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有4个整数解即可解答． 【详解】解：∵不等式组的解集是， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴该不等式组的整数解为2，1，0，， ∴． 故选：D． 【★变式1】（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 【★★变式2】（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后根据不等式组的解集在数轴上表示得到，，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， ∵在数轴上表示为： ∴， 解得，， ∴ 故选：C． 【★★变式3】（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的情况求参数取值范围，由不等式组的，，根据无解进行判断，即可求解． 【详解】解：， 解：由①得：， 由②得：， 原不等式组无解， ； 故答案为：． 【考点七】已知一元一次不等式（组）与方程（组）综合 【题型8】一元一次不等式（组）与方程（组）综合 【★★例题8】（2023·江苏连云港·二模）关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程程组，根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： ①+②，得， ∴③， ③代入②，解得：， ∵，， ∴ ，    ∴ ，    ∴ 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，根据题意建立不等式组是解题的关键． 【★★变式1】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 【★★变式2】（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 【详解】解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵， ∴． ，对于，当时，；当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． 故选：D 【★★变式3】（23-24八年级上·重庆大足·期末）若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查不等式组与分式方程的求解综合，先根据不等式组的解集为求出m的取值，再根据分式方程有非负整数解得到m的取值，故可得到符合条件的所有整数m的值，即可求解． 【详解】解 由①得， 由②得， ∵解集是， ∴， 解， 去分母得， 解得y=， ∵有非负整数解， ∴且， ∴且， 解得，且， ∴且， ∵m为整数，为非负整数， ∴， 1，3，5， 故， 故答案为6． 【考点八】已知一元一次不等式（组）的实际应用 【题型9】列一元一次不等式（组）解应用题 【★★例题9】（24-25七年级下·广东广州·期末）某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 【答案】[任务1] 一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元；[任务2] 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为元；方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为元，方案一最省钱 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到等量关系列出方程组是解题关键． [任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元，根据“租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元”列出方程组，解方程组即可； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆，根据“本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元”列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，结合为整数求出的值即可得出租车方案，再求出两种租车方案的费用比较即可． 【详解】解：[任务1]设一辆豪华大巴车的租金为元，一辆普通中巴车的租金为元， 根据题意得：， 解得， 答：一辆豪华大巴车的租金为500元，一辆普通中巴车的租金为350元； [任务2]设租豪华大巴车辆，则租普通中巴车辆， 根据题意得：， 解得， 为正整数， 或， 该社区有两种租车方案： 方案一：租租豪华大巴车8辆，租租普通中巴车2辆，租金为（元）； 方案二：租租豪华大巴车9辆，租租普通中巴车1辆，租金为（元） ， 方案一更省钱． 【★★变式1】（23-24七年级下·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 满足条件的的最大整数值为， 故答案为：． 【★★变式2】（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【答案】(1)A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元． (2)，；或，． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组，代数式求值，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）当，时的实际支付额，依据方案中满减、折扣的规则进行计算即可； （2）分情况讨论t的取值范围：①当时，②当时，根据“选A、B方案没有实际区别”这一条件，建立等式，将n用t表示出来，再根据t的范围确定n的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴A方案的实际支付额为（元）； ∵， ∴B方案的实际支付额为（元）． 答：A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元； （2）①当时，， 解得，， 即， ∴，； ②当时，， 解得，． 综上所述，，；或，． 【★★变式3】（22-23九年级上·江苏连云港·期末）某医药批发企业销售一种成本为每盒元的创新药，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)，当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元 【分析】（1）根据题意得，解方程组即可求解； （2）根据题意得进而即可求解． 【详解】（1）根据题意得， 解得． 所求一次函数的表达式为． （2） ∵抛物线的开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， 而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于， 即， ∴， ∴当时，． ∴当销售单价定为元时，商场可获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确列出表达式是解题的关键． 【题型10】一元一次不等式（组）与一次函数综合 【★★例题10】（2022·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数经过点(0，2)． (1)求这个一次函数的解析式： (2)当时，对于x的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过点(0，2) ∴2=b， 这个一次函数的解析式为． （2）由 则过定点(1，0)， 依题意，的解集为 ，且 ，且 即 当时，，则 当时，，则 综上所述， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式组，理解题意是解题的关键． 【★★变式1】（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 【★★变式2】（2025·湖南衡阳·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 依据题意，分两种情况：或，分别画图计算边界点可解答． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过， 分两种情况： ①当时，如图1， 当时，， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由①知：点A的坐标为， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； 综上，m的取值范围为：或． 故答案为：或． 【★★变式3】（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 【答案】(1)原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元 (2)与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，读懂题意找到合适的等量关系是解题的关键． （1）设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元，根据表格中第一次和第二次够买原料的吨数和费用列出方程，解之即可； （2）设安排甲种货车辆，则乙种货车辆，根据“一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装、两种原料各2吨”，结合表中两次、原料的吨数列出一元一次不等式组，得到的取值范围；然后根据“甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元”列出与之间的函数关系式，根据一次函数的性质和的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设原料每吨的进价是元，原料每吨的进价是元， 依题意得，， 解得， 答：原料每吨的进价是2000元，原料每吨的进价是1200元． （2）解：设安排甲种货车辆，则乙种货车辆， 依题意得，， 解得； 设总运费为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，取得最小值，最小值为． 答： 与之间的函数关系式为；当时，总运费最小，最小值是2900元． 三.中考真题专练 （一）单选题（10题） 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键． 根据不等式的基本性质逐一验证选项即可． 【详解】解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 3．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 4．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意； 故选：B． 5．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键． 解一元一次不等式，通过移项即可求解． 【详解】解：不等式为， 移项，得：， 不等式的解集为． 故选：A． 6．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 7．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 8．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 9．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 10．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． （二）填空题（6题） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 12．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 13．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 15．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 16．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． （三）解答题（4题） 17．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 18．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题主要考查负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算，求不等式组的解集，掌握实数的运算法则，不等式的性质是关键 （1）先计算负整数指数幂，求一个数的立方根，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算有理数的乘方运算，最后再进行加减运算即可． （2）根据不等式的性质分别求出解集，表示在数轴上，根据公共部分即为不等式组解集即可． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 19．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 20．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为份和2份； (2)应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.9 一元一次不等式（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】不等式的相关概念 2 【知识点二】不等式的相关概念 2 【知识点三】一元一次不等式（组） 2 二.题型分类精析 4 （一）基础核心考点 4 【考点一】一元一次不等式的定义 4 【题型1】一元一次不等式定义及参数 4 【考点二】一元一次不等式的基本性质 4 【题型2】由基本性质判断、求取值范围 4 【考点三】一元一次不等式的解法 4 【题型3】直接求一元一次不等式的解集 5 【题型4】求一元一次不等式解集并在数轴上表示解集 5 【考点四】一元一次不等式组四种类型 5 【题型5】一元一次不等式组四种类型 6 【考点五】一元一次不等式组的解法 6 【题型6】直接求一元一次不等式组的解集 6 （二）综合应用考点（解答题为主，含中档题） 7 【考点六】已知一元一次不等式（组）解集求参数 7 【题型7】已知一元一次不等式（组）解集求参数 7 【考点七】已知一元一次不等式（组）与方程（组）综合 8 【题型8】一元一次不等式（组）与方程（组）综合 8 【考点八】已知一元一次不等式（组）的实际应用 8 【题型9】列一元一次不等式（组）解应用题 8 【题型10】一元一次不等式（组）与一次函数综合 9 三.中考真题专练 10 （一）单选题（10题） 10 （二）填空题（6题） 12 （三）解答题（4题） 12 一.知识梳理 【知识点一】不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “”、 “” 、 “” 、 “”、 “”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 【知识点二】不等式的相关概念 性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如，那么． 性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么（或）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么（或）． 【知识点三】一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：或，或． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，�但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小 找不到） 5．一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数，当函数值时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值或时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定的取值范围. 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 （一）基础核心考点 【考点一】一元一次不等式的定义 【题型1】一元一次不等式定义及参数 【★例题1】（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【★变式1】（24-25八年级下·甘肃酒泉·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 【★★变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·月考）如果关于x的一元二次方程（m是常数）有实数根，那么m的取值范围是 ． 【考点二】一元一次不等式的基本性质 【题型2】由基本性质判断、求取值范围 【★★例题2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如果关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【★变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·北京昌平·二模）已知命题“若，则”是假命题，则的值可以是 ． 【★★变式2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：． 【考点三】一元一次不等式的解法 【题型3】直接求一元一次不等式的解集 【★★例题3】（2025·贵州·一模）（1）计算：； （2）下面是小琴同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 任务一：第步运算的依据是 ； 任务二：第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ，并写出正确的解答过程． 【★变式1】（2026·江西·模拟预测）若在实数范围内有意义，则x的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【★★变式2】（2025·吉林四平·模拟预测）关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【题型4】求一元一次不等式解集并在数轴上表示解集 【★★例题4】（2025·江苏·一模）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【★变式1】（2025·广东清远·三模）关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有 个． 【★★变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【考点四】一元一次不等式组四种类型 【题型5】一元一次不等式组四种类型 【★★例题5】（2026·辽宁阜新·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·山东枣庄·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【★变式2】（2024·甘肃嘉峪关·三模）把不等式组的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（   ）　 A． B． C． D． 【★变式3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点五】一元一次不等式组的解法 【题型6】直接求一元一次不等式组的解集 【★★例题6】（2025·四川成都·模拟预测） （1）计算：； （2）解一元一次不等式组：． 【★变式1】．（2025·江苏南通·模拟预测） （1）解不等式组：； （2） 解分式方程：． 【★★变式2】（2025·江苏南通·三模） （1）解不等式组   （2）先化简，再求值：，其中． 【★★变式3】．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测） （1）解不等式组：． （2）某电信公司最近开发A、B两种型号的手机，一家手机专卖店销售A、B两种型号的手机，上周销售1部A型3部B型的手机，销售额为8400元．本周销售2部A型1部B型的手机，销售额为5800元．求每部A型和每部B型手机销售价格各是多少元？ （二）综合应用考点（解答题为主，含中档题） 【考点六】已知一元一次不等式（组）解集求参数 【题型7】已知一元一次不等式（组）解集求参数 【★★例题7】（23-24七年级下·贵州安顺·期末）如果不等式组有且只有4个整数解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【★★变式2】（2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【★★变式3】（2025·湖北襄阳·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【考点七】已知一元一次不等式（组）与方程（组）综合 【题型8】一元一次不等式（组）与方程（组）综合 【★★例题8】（2023·江苏连云港·二模）关于、的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【★★变式1】（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【★★变式2】（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【★★变式3】（23-24八年级上·重庆大足·期末）若数 使关于 的一元一次不等式组 的解集是，且使关于 的分式方程有非负整数解，则符号条件的所有整数的值之和为 ． 【考点八】已知一元一次不等式（组）的实际应用 【题型9】列一元一次不等式（组）解应用题 【★★例题9】（24-25七年级下·广东广州·期末）某社区计划组织居民外出参加一场大型公益活动，需要租车接送参与者．社区工作人员收集了以下租车信息： 信息1 豪华大巴载客量为50人，普通中巴载客量为30人，若租用3辆豪华大巴和6辆普通中巴则花费3600元；若租用6辆豪华大巴和3辆普通中巴则花费4050元． 信息2 本次活动预计有460名居民参加，租车费用预算为4900元，且租用的汽车总数为10辆． 请完成以下任务： 【任务1】请计算一辆豪华大巴和一辆普通中巴的租金分别为多少元？ 【任务2】要控制租车费用在预算范围内，在确保所有参加活动的居民能够一次性送达且不超载的前提下，请列出所有可行的租车方案并找出最省钱的方案． 【★★变式1】（23-24七年级下·全国·期中）运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【★★变式2】（2025·上海·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【★★变式3】（22-23九年级上·江苏连云港·期末）某医药批发企业销售一种成本为每盒元的创新药，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． (1)求一次函数的表达式； (2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【题型10】一元一次不等式（组）与一次函数综合 【★★例题10】（2022·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数经过点(0，2)． (1)求这个一次函数的解析式： (2)当时，对于x的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，求k的取值范围． 【★★变式1】（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2025·湖南衡阳·一模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为 ． 【★★变式3】（2025·四川绵阳·模拟预测）某工厂从外地连续两次购得，两种原料，购买情况如表：现计划租用甲，乙两种货车共8辆将两次购得的原料一次性运回工厂． （吨） （吨） 费用（元） 第一次 12 8 33600 第二次 8 4 20800 (1)，两种原料每吨的进价各是多少元？ (2)已知一辆甲种货车可装4吨种原料和1吨种原料；一辆乙种货车可装，两种原料各2吨．甲种货车的运费是每辆400元，乙种货车的运费是每辆350元．设安排甲种货车辆，总运费为元，求（元）与（辆）之间的函数关系式；为何值时，总运费最小，最小值是多少元？ 三.中考真题专练 （一）单选题（10题） 1．（2025·四川绵阳·中考真题）设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 3．（2025·西藏·中考真题）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·中考真题）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 9．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 10．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 （二）填空题（6题） 11．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 12．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是 ． 13．（2025·福建·中考真题）已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 15．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 16．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． （三）解答题（4题） 17．（2025·四川凉山·中考真题） （1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 18．（2025·山东东营·中考真题） （1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 19．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 20．（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $