2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末学情评估卷

期末　学情评估卷 一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) 2．要使分式有意义，则x的取值应满足(　　) A．x≠2 B．x≠－1 C．x＝2 D．x＝－1 3．如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E。若∠D＝50°，则∠A的度数为(　　) A．130° B．140° C．150° D．160° 4．下列分解因式错误的是(　　) A．15a2＋5a＝5a(3a＋1) B．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y) C．ax＋x＋ay＋y＝(a＋1)(x＋y) D．4x2＋4xy＋y2－16＝(2x＋y＋4)(2x＋y－4) 5．下面是两名同学在讨论一个一元一次不等式。 根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是(　　) A．3x≥15 B．3x>15 C．－3x≤－15 D．－3x≥－15 6. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AD上的一点(不与点A，D重合)，连接CE。 求作点F，使得点F在BC上，且AF∥CE。 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点C为圆心，AE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF； 乙：以点A为圆心，CE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF； 丙：以点B为圆心，DE的长为半径作弧，交BC于点F，连接AF。 上述三名同学的作法一定正确的是(　　) A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 7．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰。某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树。设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为(　　) A.＝ B.＝－3 C.＝ D.＝ 8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，当F恰好为BC的中点时，▱ABCD的面积为(　　) A．30 B．60 C．6 D．12 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分) 9．用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B<90°。”第一步应先假设________。 10．若分式的值为0，则x的值为________。 11. 请写出一个关于x的一元一次不等式，且该不等式的解集为x<3：______。 12．若关于x的分式方程＋1＝有增根，则k＝________。 13. 小瑜在公园路边发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛。如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出∠P＝36°，则可得出正多边形的边数n＝______。 (第13题) 　 (第14题) 14．如图，线段AB与CD相交于点O，∠AOC＝30°，AB＝6，CD＝5，则AC＋BD的最小值为________。 三、解答题(共12小题，共78分) 15．(6分)分解因式： (1)a3－4a2＋4a; (2)x2(x－1)＋9(1－x)。 16.(3分)解方程：＝＋1。 17．(5分)解不等式组并将解集在如图的数轴上表示出来。 18．(6分)如图，在△ABC中，点E在边AB上，点D在AC的延长线上，连接DE交BC于点O。若∠A＝50°，∠D＝20°。 (1)求∠BEO的度数； (2)若∠COD＝70°，求∠B的度数。 19．(5分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，请用尺规作图法在边AD上求作一点P，连接PB，PC，使得△CDP的面积等于△BCP面积的一半。(保留作图痕迹，不写作法) 20．(5分)下面是小明同学化简分式÷的过程，请认真阅读，并完成下面各题。 解：原式＝·……第一步 ＝·……第二步 ＝·……第三步 ＝。……第四步 (1)①以上化简步骤中，第一步变形的依据是________________________； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果，并从－2，－1，1中选择一个合适的数代入求值。 21．(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，2)．请解答下列问题： (1)画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； (3)画出与△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出点A3的坐标。 22.(6分)如图，在▱ABCD中，F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE，BD。 (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； (2)若BD＝BC＝5，CD＝6，求▱AEBD的面积． 23．(6分) 随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段。“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一。某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容量：50 L 电池容量：80 kW·h 油价：8元/L 电价：0.6元/kW·h 续航里程：a km 续航里程：a km 据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元。 (1)这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？ (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 000元和7 300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？(年费用＝年行驶费用＋年其他费用) 24．(9分)请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务。 　　我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2－2ab＋b2叫作完全平方式。如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题。 例如：x2＋2x－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1＋2)(x＋1－2)＝(x＋3)(x－1)。 　任务： (1)若多项式x2－16x＋k是一个完全平方式，则常数k＝________； (2)用配方法分解因式：x2－6x＋5； (3)当x为何值时，多项式－2x2－4x＋5有最大值？并求出这个最大值。 25.(9分)小宇将一个含60°角的三角尺绕着等边三角形ABC中边BC上的一点E旋转，如图①所示，三角尺短直角边、斜边分别与边AB，AC交于点D，F，当BE＝CF时，作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG，FG。 (1)请在图②中补全图形，EC与CG的数量关系是________，∠ACG的度数为________； (2)证明：①△DBE≌△ECF； ②四边形DBCG是平行四边形。 (3)当AD<BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数。 26．(12分)【问题提出】 (1)如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D为BC上一点，将△ADC绕点A按逆时针方向旋转90°，D的对应点为D′，则∠D′BC＝________°； 【问题探究】 (2)如图②，△ABC为等边三角形，D，E为边BC上的点，已知CE＝BD＝2，∠DAE＝30°，求△ABC的边长； 【问题解决】 (3)为开展劳动实践教育，培养学生综合素养。某校准备规划一块三角形生物基地即△ABC，用来种植花卉，如图③，其中∠ABC＝45°，D为边AC上一点，E为BC边上一点，BD，DE是规划过程中修建的两条小路，要求AD＝12 m，∠ADB＝45°，DE⊥AC，且DE＝9 m。现计划在四边形ABED区域内种植三色堇，在△DEC区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/m2，种植石竹的费用为40元/m2，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用。(小路的宽度忽略不计) 答案 一、1.B　2.B　3.B　4.B　5.C　6.C 7．A　8.D 二、9.∠B≥90°　10.1 11．2x－6<0(答案不唯一)　12.－4 13．5　14. 三、15.解：(1)a3－4a2＋4a ＝a(a2－4a＋4) ＝a(a－2)2。 (2)x2(x－1)＋9(1－x) ＝(x－1)(x2－9) ＝(x－1)(x＋3)(x－3)。 16．解：＝＋1， 原方程两边同乘x(x－3)，得 (x＋3)(x－3)＝6x＋x(x－3)， 整理，得x2－9＝6x＋x2－3x， 移项、合并同类项，得3x＝－9， 系数化为1，得x＝－3， 检验：将x＝－3代入x(x－3)，得 －3×(－6)＝18≠0， 故原分式方程的解为x＝－3。 17．解：解不等式3(x＋2)＞x－2，得x＞－4， 解不等式x－≤，得x≤， 所以不等式组的解集为－4＜x≤， 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示。 18．解：(1)∵∠A＝50°，∠D＝20°，∠BEO是△AED的一个外角， ∴∠BEO＝∠A＋∠D＝70°。 (2)∵∠COD＝70°， ∴∠BOE＝∠COD＝70°， ∴∠B＝180°－∠BOE－∠BEO＝180°－70°－70°＝40°。 19．解：如图所示，点P即为所求。 20．解：(1)①分式的除法法则 ②二；运用分式的基本性质时第二个分式的分子没乘(x－1) (2)。由题意知x不能取1和－1，所以当x＝－2时，原式＝＝－1。 21．解：(1)△A1B1C1如图所示，A1(－4，2)。 (2)△A2B2C2如图所示，A2(4，0)。 (3)△A3B3C3如图所示，A3(－4，0)。 22．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC.∴AD∥BE。 ∴∠ADF＝∠BEF。 ∵F是AB的中点，∴AF＝BF。 在△ADF和△BEF中， ∴△ADF≌△BEF(AAS)。 ∴AD＝BE。 又∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形。 (2)解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，过点B作BH⊥CD于点H。 ∵BD＝BC＝5，CD＝6， ∴CH＝DH＝CD＝3。 ∴BH＝＝4。 ∵S△BCD＝BC·DG＝CD·BH， ∴DG＝＝＝。 易知AD＝BC，BE＝AD， ∴BE＝BC＝5。 ∴S▱AEBD＝BE×DG＝5×＝24。 23．解：(1)依题意，得－＝0.55， 解得a＝640。 经检验，a＝640是所列方程的根，且符合题意。 ＝0.625(元)， ＝0.075(元)。 所以，燃油车每千米的行驶费用为0.625元，新能源车每千米的行驶费用为0.075元。 (2)设每年行驶的里程为m km。 依题意，得0.625m＋4 000>0.075m＋7 300，解得m>6 000。 所以，当每年的行驶里程超过 6 000 km时，新能源车的年费用更低。 24．解：(1)64 (2)x2－6x＋5 ＝x2－6x＋9－9＋5 ＝(x－3)2－4 ＝(x－3＋2)(x－3－2) ＝(x－1)(x－5)。 (3)－2x2－4x＋5 ＝－2(x2＋2x＋1－1)＋5 ＝－2(x＋1)2＋7。 因为－2(x＋1)2≤0。 所以当x＝－1时，－2x2－4x＋5有最大值，最大值是7。 25．(1)解：补全图形后如图①。 EC＝CG；60° (2)证明：①∵∠DEC＝∠DEF＋∠FEC＝∠B＋∠BDE，∠DEF＝∠B＝60°，∴∠CEF＝∠BDE。 又∵∠B＝∠ECF＝60°，BE＝CF， ∴△DBE≌△ECF(AAS)。 ②∵△DBE≌△ECF，∴BD＝CE。 又∵CE＝CG，∴CG＝BD。 ∵∠ACG＝∠ACB＝60°，∠A＝60°， ∴∠ACG＝∠A，∴CG∥AB。 又∵CG＝BD，∴四边形DBCG是平行四边形。 (3)解：连接DF，如图②所示。 易知DE＝EF， 又∵∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形。 又易知EF＝FG， ∴DF＝DE＝EF＝FG。 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC。 ∵四边形DBCG是平行四边形， ∴DG＝BC，∠DGC＝∠B＝60°， ∴AB＝DG。 又∵AB＝DE，∴DG＝DE＝DF， 在△DFG中，DF2＋FG2＝2DF2＝DG2， ∴∠DFG＝90°。 又∵FD＝FG， ∴△DFG是等腰直角三角形， ∴∠DGF＝45°。 又∵∠DGC＝60°，∴∠CGF＝60°－45°＝15°。易得∠CEF＝∠CGF， 又∵∠CEF＝∠BDE，∴∠BDE＝15°。 26．解：(1)90 (2)如图①，把△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACF，连接EF，交AC于点G，则AF＝AD，∠BAD＝∠CAF，CF＝CE＝BD＝2。 ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB，∠ACF＝∠ABC＝∠ACB＝60°。 ∵CE＝BD＝2，∴△ABD≌△ACE， ∴AE＝AD＝AF。 ∵∠DAE＝30°，∴∠BAD＋∠CAE＝30°， ∴∠EAF＝∠CAF＋∠CAE＝30°， ∴∠EAF＝∠DAE， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE， ∴EF＝ED。 ∵∠ACF＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ECF＝120°。 ∵CF＝CE＝BD＝2， ∴∠CFE＝∠CEF＝30°。 ∵AF＝AE，CF＝CE， ∴AC垂直平分EF，∴CG＝CF＝1， ∴FG＝＝， ∴DE＝EF＝2FG＝2， ∴BC＝CE＋DE＋BD＝4＋2， 即△ABC的边长为4＋2。 (3)如图②，把△BDE绕点B按顺时针方向旋转90°得到△BNM，连接AE，DN，EM，过点B作BP⊥DN于点P， 由旋转的性质，得MN⊥DE，MN＝DE＝9 m，BE＝BM，BD＝BN，∠BNM＝∠BDE，∠EBM＝∠DBN＝90°， ∴△DBN，△BEM是等腰直角三角形，∴∠BND＝45°。 ∵DE⊥AC，∠ADB＝45°， ∴∠BNM＝∠BDE＝45°， ∴点N，M，A，D四点共线。 ∵∠ABC＝45°，∴∠ABM＝45°， ∴∠ABM＝∠ABC。 ∵AB＝AB，∴△ABE≌△ABM， ∴AM＝AE。 在Rt△ADE中，AD＝12 m，DE＝9 m， ∴AE＝＝15 m， ∴AM＝15 m， ∴DN＝MN＋AM＋AD＝36 m，DM＝AD＋AM＝27 m。 ∵BP⊥DN， ∴BP＝PN＝PD＝DN＝18 m， 在Rt△DEM中，EM＝＝18 m。 易知BM＝BE＝＝＝9 m， ∴PM＝＝9 m， ∴AP＝AM－PM＝6 m， ∴PD＝AP＋AD＝18 m， ∴四边形ABED的面积为 S梯形BPDE－S△ABP＝(DE＋BP)×DP－AP×BP＝378 m2， 如图②，取BP的中点Q，连接EQ，DQ，则BQ＝PQ＝BP＝9 m＝DE， ∵BP⊥AC，DE⊥AC， ∴BP∥DE， ∴四边形DEBQ，DEQP均是平行四边形， ∴BE∥DQ，QE∥CP，PD＝QE， ∴四边形CDQE是平行四边形， ∴QE＝CD＝PD＝18 m， ∴S△CDE＝CD×DE＝162 m2。 ∵种植三色堇的费用为30元/m2，种植石竹的费用为40元/m2， ∴这块生物基地种植花卉的总费用为30×378＋40×162＝17 820(元)。 学科网（北京）股份有限公司 $