精品解析：辽宁省辽阳市2025-2026学年高一上学期1月期末质量检测数学试题

高一数学质量检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册、必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（ ） A. 5.735% B. 5.60% C. 5.87% D. 5.90% 3. 表示不超过x的最大整数，如，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某中学学生可通过选课平台选择校本课程《能源材料与节能环保》《我们的汉字》《网球运动基础探秘》《软笔书法临习与创作》，若只统计选择其中一门课程的人数，则选择这四门校本课程的人数分别为1200，1600，800，1200.根据所选课程采用按比例分层随机抽样的方法，从这些学生中随机抽取24名学生进行座谈，则应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 9 5. 如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则可用m，n表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足.现从①，②，③，④这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若幂函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为______. 13. 若一元二次不等式的解集为（9,11），则的解集为______. 14. 已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则______，的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形中，. （1）求点的坐标； （2）若为的中点，向量，且，求的值. 16. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. （1）求m的值； （2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） （3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 18. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“t积轴函数”，t为轴积系数. （1）证明：既是奇函数，又是“2积轴函数”. （2）已知函数，证明：是“t积轴函数”. 19. 如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. （1）求的解析式. （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. （3）设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学质量检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册、必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析集合表示的集合，可等同于，再根据交集运算即可求解. 【详解】集合表示所有整数的平方构成的集合，即，再根据交集运算，得. 故选：A. 2. 若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（ ） A. 5.735% B. 5.60% C. 5.87% D. 5.90% 【答案】C 【解析】 【分析】将给定数据组由小到大排列，利用百分位数的步骤即可求出第60百分位数. 【详解】将该组数据从小到大排列为1.06%，2.80%，4.49%，5.60%，5.87%，5.90%，6.03%，6.40%， 由8×60%=4.8，得该组数据的60%分位数为第5个数据，即5.87%. 故选：C. 3. 表示不超过x的最大整数，如，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为！，则，再分别判断充分性和必要性是否成立即可求解 【详解】若，则，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 某中学学生可通过选课平台选择校本课程《能源材料与节能环保》《我们的汉字》《网球运动基础探秘》《软笔书法临习与创作》，若只统计选择其中一门课程的人数，则选择这四门校本课程的人数分别为1200，1600，800，1200.根据所选课程采用按比例分层随机抽样的方法，从这些学生中随机抽取24名学生进行座谈，则应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先求出选择《我们的汉字》的学生人数占总人数的比例，然后再求出应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数. 【详解】根据题意可得选择《我们的汉字》的学生人数占总人数的， 所以应从选择《我们的汉字》的学生中抽取的人数为. 故选：B. 5. 如图，在平行四边形中，F为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，根据平面向量基本定理用将向量表示出来即可. 【详解】因为在平行四边形中，F为的中点，， 所以. 故选：B. 6. 已知，，则可用m，n表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 7. 已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，结合指数函数、一次函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，，， 所以在上单调递增， 则由，得. 所以a的取值范围为. 故选：C. 8. 已知正数，满足.现从①，②，③，④这4个不等式中随机抽取2个不等式，则恰有1个不等式成立的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，构造函数，利用在上单调递增得到，即，再结合指数函数、对数函数的性质判断得到①正确②错误③正确④正确，最后计算这4个不等式中随机抽取2个不等式，恰有1个不等式成立的概率即可； 【详解】由得， 即， 设函数，易知在上单调递增， 所以，即，则， 所以，①正确； 由，存在，不成立，②错误； 已知正数，，易得，③正确； ，④正确； 这4个不等式中随机抽取2个不等式，共有6种选法，其中恰有1个不等式成立的选法有3种， 所以恰有1个不等式成立的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若幂函数的定义域为，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，奇偶性以及指数函数的运算即可求解. 【详解】根据幂函数定义则，解得或. 对于，因的定义域为，当时，，所以，故A正确，B错误； 对于，，定义域为，且，所以是奇函数，C正确； 对于，，D正确. 故选：ACD 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ） A. 的最小值为-2 B. C. D. m的取值范围是（0，2） 【答案】AC 【解析】 【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确. 【详解】由，得，作出的大致图象，如图所示， 结合函数图象，可得： 当时，方程只有1解； 当或时，方程只有2解； 当时，方程只有3解； 当时，方程只有4解， 所以有四个零点，则，故D错误， 若有四个零点，由图可知： 当时，，，， ，， 当时，，的最小值为，故A正确； 当时，，，，故B错误； ，，故C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为______. 【答案】16 【解析】 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为16. 故答案为：16. 13. 若一元二次不等式的解集为（9,11），则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的解集求出与的关系，再代入解不等式. 【详解】由题意得，，， 所以，， 所以，即， 即，得， 解得，所以解集为 故答案为. 14. 已知定义在上的函数满足对任意实数x，y，均有，且，则______，的最大值为______. 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】利用赋值法令，求得，则，利用基本不等式即可求其最大值为. 【详解】令，得，则， 又，解得，所以，即， 则， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：3； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平行四边形中，. （1）求点的坐标； （2）若为的中点，向量，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，根据题意设点，然后写出的坐标，根据求出即可； （2）根据题意分别写出的坐标，再利用向量共线建立方程求出即可. 【小问1详解】 如图所示： 因为，所以， 设，则， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 所以点D的坐标为. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 由， 且， 所以， 所以， 因为，所以， 解得. 16. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. （1）求m的值； （2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】（1） （2）4. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 即， 解得； 【小问2详解】 由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表） （3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】（1） （2）72.5 （3）平均数为74.5，方差为32. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1求出. （2）根据平均数公式结合频率分布直方图计算即可. （3）根据平均数和方差公式进行计算即可. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为. 【小问3详解】 由图可得的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为. 设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得. 落在内比赛成绩的方差， 所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32. 18. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“t积轴函数”，t为轴积系数. （1）证明：既是奇函数，又是“2积轴函数”. （2）已知函数，证明：是“t积轴函数”. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数和“t积轴函数”的概念进行证明. （2）根据“t积轴函数”的概念进行证明. 【小问1详解】 函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数. 当时，， 则，所以函数为“2积轴函数”. 【小问2详解】 因为. 设为“积轴函数”，则 当，，且时，， 则 又 由恒成立，得. 所以为“4积轴函数”. 19. 如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. （1）求的解析式. （2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. （3）设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i），；（ii）或 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）设，，由的面积为1，得，即可求得解析式； （2）（i）由，结合是偶函数，是奇函数，化简得，；（ii）利用二次函数的性质分和两种情况即可求解； （3）先求得的表达式，得到在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，所以，且， 即可求得，. 【小问1详解】 设，其中，设， 因为的面积为1，所以，得， 将A的坐标代入，得，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）由①， 得②， 因为是偶函数，是奇函数， 所以由②得③， 由①和③得，，； （ii）由（i）得，， ， ； 当时，， 解得（舍去）或； 当时，， 解得（舍去）或； 故k的值为或； 【小问3详解】 依题意得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 则，即， 解得， 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $