精品解析：内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

呼铁一中2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线方程为， 化为标准方程为：，所以， 由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：. 故选：C. 3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A. 55 B. 55.8 C. 59 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据回归直线必过样本点中心，代入方程求，即可求不清楚的数据. 【详解】回归直线必过样本点中心，其中， 所以， 所以不清楚的数值为. 故选：D 4. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，可知， 解得， 故选：C 5. 某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出，，即可得到等于的概率 【详解】解：由题意可得 ∵，，， ∴， ，. 故选：B. 6. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 7. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【详解】 如图，椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点为， 故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值. 故选：B. 8. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取定中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） 6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6） 第一类：时，满足“”的样本点有个； 第二类：时，满足“”的样本点有个； 第三类：时，满足“”的样本点有个； 第四类：时，满足“”的样本点有个； 第五类：时，满足“”的样本点有个； 第六类：时，满足“”的样本点有1个. 由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型. 则“”的概率为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查计数原理和古典概型概率公式的应用，属于较难题. 因同时考虑抛掷三次骰子出现的不同结果较复杂，故可采取取定一次抛掷结果，分析讨论另外两次抛掷结果中符合题意的样本点，即可化繁为简，达到解题的目的. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则甲的数据线性相关性更强 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 若随机变量，满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性相关系数的性质判断A；根据残差的定义判断B；根据方差的性质判断C；根据二项分布的方差求解的值，再求解的值即可判断D. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大数据线性相关性越强，若甲乙两组数据的相关系数分别为和， 因为，所以乙的数据线性相关性更强，故A错误； 对于B，因为关于的回归方程为， 当时，所以样本点的残差为，故B正确； 对于C，若随机变量满足，若，则，故C错误； 对于D，随机变量服从二项分布，则方差，解得， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则x的取值为6或7. B. 除以8的余数为1 C. 由1，1，1，2，3，4这六个数字组成的不同六位数共有120个 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法 【答案】ACD 【解析】 【分析】由组合数的性质，计数原理及排列组合可得. 【详解】对于A，由组合数的性质得或者， 得或，故A正确， 对于B，因为， 所以除以8的余数为，故B错误； 对于C，由这六个数字组成的不同六位数共有，故C正确， 对于D，将个相同小球放入个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法，有种不同放法，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则点到轴的距离为6 C. 当，则直线的倾斜角为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质结合抛物线焦点弦即可判断ABC，由，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，由题意可得，所以抛物线， 所以抛物线的准线方程为：，故A正确； 对于B，设， 由，所以， 所以点到轴的距离为6，故B正确； 对于C，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点作的垂线，垂足为点，由， 设，则，所以， 所以，在中，有，此时直线的倾斜角为， 根据抛物线的对称性有直线的倾斜角为或，故C错误； 对于D，设直线，， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种. 【答案】 【解析】 【分析】分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可. 【详解】2名男生1名女生：， 1名男生2名女生：， 故共有种， 故答案为： 13. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解. 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为. 故答案为： 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由结合双曲线性质可得，，再由双曲线定义得，结合，消元计算可得. 【详解】如图，设直线与圆相切于点，则，又， 所以，过作于点， 因为，所以为中点，且， 所以，所以， 所以，又． ，即，即， 从而，即， 即，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）：（3）． 【解析】 【分析】（1）由两直线方程联立求圆心C，根据两点距离公式求半径，写出圆的方程； （2）由点线距离公式可知C到直线的距离，根据弦长、弦心距、半径的关系即可求弦长|MN|； （3）由点线距离公式求圆心到直线的距离d，根据圆上点到直线最大距离与d的关系，即可求距离最大值. 【详解】（1）联立直线方程，即可得交点C(1,3)， 圆C的半径， ∴圆C的方程为：. （2）由C点到直线的距离， ∴|MN|=2． （3）由C点到直线的距离，即圆C上点到直线距离的最大值为． 16. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1）列联表如下图所示： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值并作答. （2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得. 【小问1详解】 抽取的80人中，女生与男生的人数比为，则女生有20人，男生有60人， 男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，则得如下列联表： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 显然， 所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关. 【小问2详解】 由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1， 记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B， 则，， 于是， 所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为. 17. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【答案】（1） （2）的概率分布列为： 3 4 5 ， （3）甲应该采用“五局三胜制”． 【解析】 【分析】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【小问1详解】 若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． 【小问2详解】 易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． 【小问3详解】 采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 18. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】（1）80，0.8185 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 则 【小问2详解】 设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件； “抽取的零件是乙机床生产”记为事件； “抽取的零件是次品”记为事件, 则,,,, 则， 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 【答案】（1）； （2）直线与椭圆相切，理由如下： 由题，，，所以， 所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点， 所以直线与椭圆相切； （3） 证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． 【解析】 【分析】（1）利用中垂线性质可得，从而可得椭圆的方程； （2）利用判别式法来确定直线与椭圆的位置关系即可； （3）引入动点，利用先求交点纵坐标，再证明纵坐标之积为定值即可. 【小问1详解】 由题可得，圆心，半径，又线段的垂直平分线交半径于点， 所以，所以， 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆，设椭圆的方程为， 则，，故，所以的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼铁一中2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A. 55 B. 55.8 C. 59 D. 51 4. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则甲的数据线性相关性更强 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 若随机变量，满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则x的取值为6或7. B. 除以8的余数为1 C. 由1，1，1，2，3，4这六个数字组成的不同六位数共有120个 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法 11. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则点到轴的距离为6 C. 当，则直线的倾斜角为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种. 13. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 16. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 18. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $