内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

呼铁一中2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 双曲线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为． 零件数x（个） 1 2 3 4 5 加工时间y（min） 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（　　） A. 55 B. 55.8 C. 59 D. 51 4. 已知直线，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用ξ表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为和，则甲的数据线性相关性更强 B. 已知关于的回归方程为，则样本点的残差为 C. 若随机变量，满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则x的取值为6或7. B. 除以8的余数为1 C. 由1，1，1，2，3，4这六个数字组成的不同六位数共有120个 D. 将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有35种不同放法 11. 已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则点到轴的距离为6 C. 当，则直线的倾斜角为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从6名男生和4名女生中选出3人参加知识竞赛，若这3人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_____________种. 13. 的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 14. 如图，双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，满足，直线与圆相切，则双曲线的离心率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线，圆C以直线的交点为圆心，且过点A(3,3)， （1）求圆C的方程； （2）若直线 与圆C交于不同的两点M、N，求|MN|的长度； （3）求圆C上的点到直线的距离的最大值． 16. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占. （1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？ 女生 男生 合计 运动达人 非运动达人 合计 （2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 附：，. 0.100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 18. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据X，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值，若这批零件的该项指标X近似服从正态分布，其中：近似为样本平均数的值，，试求的值； （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ① 求这件零件是次品的概率； ② 若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆：上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）若点，试判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若直线与直线分别交于点，，求证：，两点的纵坐标之积为定值． 呼铁一中2025-2026学年第一学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）；（2）：（3）． 【16题答案】 【答案】（1）列联表如下图所示： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）的概率分布列为： 3 4 5 ， （3）甲应该采用“五局三胜制”． 【18题答案】 【答案】（1）80，0.8185 （2）①，② 【19题答案】 【答案】（1）； （2）直线与椭圆相切，理由如下： 由题，，，所以， 所以直线过，斜率为， 则直线的方程为：，联立方程组， 化简得，则， 即直线与椭圆只有一个公共点， 所以直线与椭圆相切； （3） 证明：设，，，则线段中点， 直线：，即， 当时，， 当时，， 所以， 又，即， 所以， 所以,两点的纵坐标之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $《呼铁一中2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 01 A B B 0 0 BD ACD 题号 11 答案 ABD 1.B 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可. 【详解】c=521x2 716×7 21,A=0=4x5=20,2A=2x20=40. 3! 因此C+2A?=21+40=61.故选：B 2.C 【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线方程为9x2-16y2=144, 化为标准方程为：。-二=1，所以。2=16+9=25， 169 由于焦点在x轴上，所以焦点坐标为：(-5,0)，(5,0).故选：C 3.D 【分析】首先根据回归直线必过样本点中心(，)，代入方程求夕，即可求不清楚的数据 【详解】回归直线必过样本点中心(，)，其中=1+2+3+4+5-3， 5 所以=7.8×3+402=63.6，所以不清楚的数值为63.6×5-50-67-71-79=51.故选：D 4.A 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可， 【详解】由4L,可知1+1(m+)=0,解得m=号，放选：A 5.B 【分折】分别求出P(5=0),P5=1),P传=2)即可得到等于cCg+CC的概李 C 【详解】解：由题意可得 答案第1页，共10页 g--答g-小是G-y ·P(5sI)=P(5=0+A5=)=CC+cC C品 P5≥1=P6=2P6=1S·C+CSC,P(5s2)=1救选：B 6.B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即 可求解， 【详解】解：圆C:(x+1)+(y+1)2=4,则圆心C(-1,-1),半径5=2， 圆C2:(x-2)2+(y-1)=4,则圆心C2(2,1),半径5=2， 得两圆的圆心距为：CC=V-1-2)+(-1-1=3,则i-5<CC<片+5， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条.故选：B 7.C 【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解 【详解】 如图，椭圆的左焦点F(-2,0),取椭圆的右焦点为M(2,0), PF +PA=2a-PM+PA=6+PA-PM, 由于PA-|PM≤AM=1,故-1≤PA-PM≤1，因此PF+PA=6+PA-PM∈5,7]； 故PF+PA的最小值为5，当且仅当P,A,M三点共线，且P在上半椭圆时取到最小值. 故选：C. 8.D 【分析】取定x1,x2,x3中的一个值，考查另外两次抛掷骰子的样本点数，利用分类加法计数 原理和古典概型概率公式计算即得. 【详解】考虑取定x,的值，分类统计事件“，1≤x3≤”所含的样本点数，将6,3对应的值作 为一个数组，列表如下： 答案第2页，共10页 3 1 2 3 4 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) （2,3) （2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3.5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5.5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 第一类：=1时，满足“，≤x2≤x3”的样本点有6+5+4+3+2+1=21个： 第二类：x=2时，满足“x1≤x2≤x3的样本点有5+4+3+2+1=15个： 第三类：1=3时，满足“x≤x2≤x3”的样本点有4+3+2+1=10个； 第四类：=4时，满足“x1≤x2≤x3”的样本点有3+2+1=6个： 第五类：=5时，满足“x≤x2≤x3”的样本点有2+1=3个： 第六类：=6时，满足“x≤x2≤x”的样本点有1个 由分类加法计数原理，满足“，≤x2≤x3”的样本点共有：21+15+10+6+3+1=56个， 而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有6=216个样本点， 因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型， 则≤≤为”的概率为P=G=7放选：D 【点睛】思路点睛：本题主要考查计数原理和古典概型概率公式的应用，属于较难题 因同时考虑抛掷三次骰子出现的不同结果较复杂，故可采取取定一次抛掷结果，分析讨论另 外两次抛掷结果中符合题意的样本点，即可化繁为简，达到解题的目的. 9.BD 【分析】根据线性相关系数的性质判断A;根据残差的定义判断B;根据方差的性质判断C; 根据二项分布的方差求解P的值，再求解P(X=1)的值即可判断D 【详解】对于A,相关系数的绝对值越大数据线性相关性越强，若甲乙两组数据的相关系数 答案第3页，共10页 分别为0.75和-0.92， 因为-0.92>0.75，所以乙的数据线性相关性更强，故A错误： 对于B,因为y关于x的回归方程为y=03-0.7x, 当x=3时y=0.3-0.7×3=-1.8,所以样本点(3，-4)的残差为-4-(-1.8)=-2.2，故B正确： 对于C,若随机变量X,Y满足Y=2X+3,若D(X)=3,则D(Y)=22D(X)=4×3=12,故 C错误； 对于D,随机变量x服从二项分布B(4p),则方差D(X)=4p1-p)=1,解得P=号 故D正确故选：BD 10.ACD 【分析】由组合数的性质，计数原理及排列组合可得 【详解】对于A,由组合数的性质C=C-5得x+2=15-(2x-5)或者x+2=2x-5, 得x=6或x=7,故A正确， 对于B,因为555=(48+7)=C93485+C554847+C34837++C448754+C575, 所以555=75(mod8), 又75=(8-1)=C85-C,84+C3,83++C8-C3, 所以75=7(mod8),所以余数为7，故B错误： 对于C,由11,23,4这六个数字组成的不同六位数共有=120，故C正确， 31 对于D,将8个相同小球放入4个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法， C=35,故D正确，故选：ACD 11.ABD 111 【分折】根据抛物线的性质结合抛物线焦点弦即可判断ABC,由A十B丽2，结合基本 不等式即可判断D. 【详解】对于A,由题意可得p=4,所以抛物线C:x2=8y, 所以抛物线C的准线方程为：y=-?=-2,故A正确： 2 答案第4页，共10页 对于B,设A(5,),B(5,乃)，M(6), 由4B到=%+为+D=%+y2+4=16→y+为=12，所以=当+业=6， 2 所以点M到x轴的距离为6，故B正确： 对于C,过点A,B分别作准线y=-2的垂线，垂足分别为A,B, 过点A作BB的垂线，垂足为点H,由3AF=FB, y=-2 设AF=t,则B=3t,所以A4=AF=t,BB=BF=3t, A B 所以BH=2t,在Rt△ABH中，有∠BAH=30°，此时直线AB的倾斜角为30°， 根据抛物线的对称性有直线AB的倾斜角为30°或150°，故C错误： 对于D,设直线AB:y=+2,A(5,),B(x,乃)， 所以 y=+2→2-8-16=0， x2=8y 所以55=16，所以若专-=4， 888J 1.111 当+为+4 -+当+41 所以4丽+5丽1+2为+2y+2(1+%)+48+2(0y+)2” 所以 4Ar到+B=2 1， 4AF BF 225+2 =18 1 BFAF 4AF BF 当且仅当 BF AF 即BF=2AF=6时，等号成立，故D正确；故选：ABD. 12.96 【分析】分2名男生1名女生和1名男生2名女生两类情况计算即可. 【详解】2名男生1名女生：CC4=60, 1名男生2名女生：C%C=36, 故共有60+36=96种，故答案为：96 答案第5页，共10页 13. 4 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为Cg)了 26-7 所以当，=4时得展开式布数项为-卓植答案为：片 22 4 14 【分析】由Pr=F结合双曲线性质可得P=4b,PE引=2c,再由双曲线定义得 2b=c+a,结合c2=a2+b2,消元计算可得 【详解】如图，设直线P耳与圆x2+y2=a相切于点M,则OM=a,又O=c, 所以M=b,过F作H⊥PR于点H, 因为EP=|EE引，所以H为PR中点，且H,OM, M 所以 o_1 所以H=2b, FE 2 所以EP=4b,又FP=FF=2c.FP-EP=2a,即4b-2c=2a,即2b=c+a, 5 从m2生94c-ac+a,即4c-a=c+a,解得e敌答案为3 15.(1)(x-1)2+(y-3)2=4;(2)2W2:(3)4V2+2. 【分析】(1)由两直线方程联立求圆心C,根据两点距离公式求半径，写出圆的方程： (2)由点线距离公式可知C到直线：x-y+4=0的距离，根据弦长、弦心距、半径的关系 即可求弦长MW: (3)由点线距离公式求圆心到直线：x-y+10=0的距离d,根据圆上点到直线最大距离 与d的关系，即可求距离最大值. 2x-y+1=0 【详解】(1)联立直线方程 x+y-4=0,即可得交点C1,3), 圆C的半径r=|AC=V3-1)2+(3-3)2=2,.圆C的方程为：(x-1)2+(y-3)2=4. (2)由C点到直线1的距离d-上-3牛4=V5,N2P-日-25. V1+1 答案第6页，共10页 (3)由C点到直线m的距离d= -3+10=4N5,即圆c上点到直线距离的最大值为 V1+1 4V2+2. 16、（0列联表见解折，有0%的把握认为运动达人和性别有关：（回号 【分析】(1)完善2×2列联表，计算的观测值并作答. (2)利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得 【详解】(1)抽取的80人中，女生与男生的人数比为1：3，则女生有20人，男生有60人， 男生中运动达人”占号，女生中运动达人”占 ，则得如下2×2列联表： 女生 男生 合计 运动达人 15 30 45 非运动达人 5 30 35 合计 20 60 80 显然K2= 80(30×15-5×30)2 8 -≈3.810>2.706， 45×35×20×60 2 所以有90%的把握认为运动达人”和性别有关 (2)由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1， 记恰有两人闯关成功”为事件A,“有女生闯关成功”为事件B, 则d=a-320-孕号 G,P(aB)=2×0-3x3x2= 443-4 于是P(BA)= P(AB)_44 P(A) 7 7 16 所以恰有两人月关成功的条件下，有女生阀关成功的概率为手 17.(四 (2)分布列见解析， 107 27 27 (3)甲应该采用五局三胜制. 【分析】(1)根据乘法公式计算即可求解； (2)根据独立事件的乘法公式计算出P(5=3),P(5=4),P(5=5),列出分布列，即可求出 E(5): (3)分别求出采用“五局三胜制'和“三局两胜制甲获胜的概率，比较大小即可下结论 【详解】(1)若甲以3：1获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为2：1， 答案第7页，共10页 所以=c))- (2)易知5取值为3,4,5. =-图图-多片 s--c传G”. P=)-c品 故专的概率分布列为： 5 3 4 10 8 27 27 所以5的数学期塑为：()=3兮4 +5x8=107 27 27-27 (3)采用“五局三胜制甲会以3：0、3：1、3：2获胜，所以甲采用“五局三胜制获胜的概率： --0 81 采用“三局两胜制甲会以2：0、2：1获胜，所以甲采用“三局两胜制获胜的概率： p=+c)-9 国为 所以甲应该采用“五局三胜制”. 18.(1)80,0.8185 【分析】(1)计算出平均数后可得X~N(80,σ2)，结合正态分布的性质计算即可得解；(2) ①借助全概率公式计算即可得：②按照条件概率公式计算即可， 【详解】(1)x=66×0.1+77×0.2+80x0.48+88×0.19+96x0.03=80, 因为X~N(80,o2),o2=36所以o=6, 则 答案第8页，共10页 P(74≤X≤92)=2(Ur-2G≤X≤+2o)+Pu-o≤x≤+G0683,09540.8185 2 2 (2)设“抽取的零件是甲机床生产”记为事件A; “抽取的零件是乙机床生产记为事件A: 抽取的零件是次品”记为事件B, 则P(A)-P4)-}PB4)=002.P(84)=001, 则P()=P(4)P(B4)+P(4)P(B到4)=2x0.02+2x0.01= 3. 601 2x0.024 P41P4BP八4)P(A3 P(B 1 5 60 19.￥+ -=1; 4 (2)直线1与椭圆W相切，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】(1)利用中垂线性质可得2C+2A=4,从而可得椭圆的方程： (2)利用判别式法来确定直线与椭圆的位置关系即可； (3)引入动点，利用先求交点纵坐标，再证明纵坐标之积为定值即可 【详解】(1) 由题可得，圆心C(-1,O),半径r=4,又线段PA的垂直平分线l交半径PC于点2， 所以2A=|2P,所以2C+|2A=|QC+|2P=|PC=4>|CA=2, 所以点Q的轨迹是以C,4为焦点的椭圆，设椭圆的方程为二+是 a+F=1(a>b>0), 则a=2,c=1,故=5，所以w的方程为兰+上=1： 43 (2)由题，P(-1,4),A(1,0),所以ka=-2,所以直线1过(0,2)，斜率为号， 答案第9页，共10页 1 y=5x+2 2 则直线的方程为：y=2x+2,联立方程组 (431 化简得4x2+8x+4=0,则△=82-4×4×4=0， 即直线1与椭圆W只有一个公共点，所以直线与椭圆W相切； (3)证明：设P(6),6≠0，AL,0),则线段P4中点B+1, 22 台5气月 即y=s山x++61 %（ 2% 当三-2时，w 2(。-+号+8-1 % 2va 当x=2时，w=-2(6-山少，号+5-1 2% 所以 yM'yx= 2(6-山+5+6-12(-++6-1 2%人%26 _（+6-246。-12_+片-2-16(-12 46 4% 又(+1)2+y=16,即y=16-(+1)2, 所以 ww-+16-+102-f-166--12-245+180 46 46 -3。+02-16_3(-6）-3. yo 巧 所以M,N两点的纵坐标之积为定值3. 答案第10页，共10页