专题06 复数的四则运算（思维导图+3大知识点+7大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人教A版）

专题06 复数的四则运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、复数的加减运算 4 知识点二、复数的加减运算的几何意义 4 知识点三、复数的乘除运算 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：复数代数形式的加法与减法运算 6 题型二：复数加减法运算的几何意义探究 6 题型三：复数模的求解与综合应用问题 8 题型四：复数代数形式的乘法运算方法 9 题型五：复数代数形式的除法运算技巧 10 题型六：复数范围内的方程求解问题 12 题型七：求参数问题 14 05 强化训练 16 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、几何意义 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型一：复数代数形式的加法与减法运算 【典例1-1】（云南省2025年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为 . 【答案】3 【解析】因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 【典例1-2】计算： ． 【答案】 【解析】, 故答案为：. 【变式1-1】（2025·高一·上海嘉定·期中）若复数满足，则 . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【变式1-2】（2025·高一·上海浦东新·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 【答案】/ 【解析】复平面上的向量所对应的复数是， 那么向量， 所以向量所对应的复数是. 故答案为： 【变式1-3】（2025·高一·北京通州·期中）已知复数，，若为纯虚数，则实数 ． 【答案】 【解析】， 由题意得，解得，此时，满足要求. 故答案为： 题型二：复数加减法运算的几何意义探究 【典例2-1】（2025·高一·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 【答案】1+i 【解析】由已知. 故答案为： 【典例2-2】复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为 ． 【答案】 【解析】设，则，所以， 因为，所以， 说明对于给定的，对应的点在以对应的点为圆心、1为半径的圆上运动， 又对应的点在连接和对应的点线段上移动， 所以对应点的移动范围的面积为， 即复数对应的点在复平面上移动的范围的面积是． 故答案为：． 【变式2-1】（2025·高一·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【解析】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 【变式2-2】复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式2-3】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 【答案】5 【解析】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 题型三：复数模的求解与综合应用问题 【典例3-1】（2025·高二·上海嘉定·月考）已知复数，则复数的模 . 【答案】 【解析】， 故答案为：. 【典例3-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 满足 ， 则 . 【答案】 【解析】原题等价于，，求. ，， ， . 故答案为：. 【变式3-1】（2025·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 【变式3-2】（2025·高一·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ． 【答案】2 【解析】设，则，则， 即舍去或，所以． 故答案为：． 【变式3-3】（2025·宁夏银川·模拟预测）在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数的模长是 . 【答案】2 【解析】由题意可知，，则对应的复数是. 则对应的复数的模长是 故答案为：. 题型四：复数代数形式的乘法运算方法 【典例4-1】（2025·河北邯郸·模拟预测）复数的共轭复数记为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为，则， 所以. 故选：D 【典例4-2】（2025·高三·江苏·月考）已知复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，， 所以，所以. 故选：A 【变式4-1】（2025·高三·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 【答案】B 【解析】∵向量，向量对应的复数分别是，， ∴，. 又∵， ∴，解得， 故选： 【变式4-2】复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 计算， 故选：A. 【变式4-3】（2025·高三·江苏·月考）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】D 【解析】由，得. 所以. 所以. 故选：D. 题型五：复数代数形式的除法运算技巧 【典例5-1】（四川省泸州市2025-2026学年高二期末质量检测数学试题）的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以虚部为, 故选：D 【典例5-2】（2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 【变式5-1】（2025·高三·河南南阳·期末）设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】复数在复平面内对应的点为，则复数， 复数，则复数的虚部为. 故选：B. 【变式5-2】（2025·高三·安徽·期末）设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 得， 则的实部为， 故选：D 【变式5-3】（2025·高三·安徽阜阳·月考）若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 所以的虚部为. 故选：C. 题型六：复数范围内的方程求解问题 【典例6-1】（2025·高三·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 【典例6-2】（2025·高一·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 【变式6-1】（2025·高一·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 【变式6-2】（2025·高一·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 【变式6-3】（2025·高一·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B 题型七：求参数问题 【典例7-1】（2025·高一·浙江·期中）设为虚数单位，且，则 ． 【答案】 【解析】由， 所以满足条件， 故答案为： 【典例7-2】（2025·高一·广西·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】，则，解得，因为，所以． 故答案为：4 【变式7-1】（2025·高一·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】由复数，， 可得为纯虚数， 则，解得． 故答案为：2． 【变式7-2】已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式7-3】实数x，y满足，且，则的值是 . 【答案】1 【解析】. 因为， 所以，解得 所以. 故答案为：. 1．（2025·湖南长沙·二模）已知，则（ ） A． B． C． D．40 【答案】B 【解析】，则， 所以； 所以， 故选：B 2．（2025·高三·河南焦作·月考）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，故，则，故， ， 故选：D 3．（北京市西城区2026届高三期末考试数学试题）复数的模等于（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为， 所以复数的模为. 故选：B. 4．（北京市石景山区2026届高三期末考试数学试题）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，故. 故选：D. 5．（2025·云南昭通·模拟预测）设i为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可化简得，则， 故选：D. 6．（2025·高三·辽宁沈阳·期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 ， 所以. 故选：D. 7．（2025·高三·吉林四平·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 8．（2025·新疆·二模）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【解析】根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量， 根据向量减法坐标运算可得向量， 从而向量对应的复数为，虚部为7. 故选：B. 9．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 【答案】C 【解析】依题意，复数，因为为纯虚数，所以且，解得. 故选：C. 10．（多选题）（2025·高一·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】对A：设，，则，但复数，不能比较大小，故不成立，所以A错误； 对B：取，，则，，但，所以不成立，所以B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：设，，. . 由，当时，有，代入得： . 结合，所以， 所以，所以； 当时，或. 若，则，所以，所以，可得； 若，则，因为，，所以，可得. 综上可知，D正确. 故选：CD 11．（多选题）（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知i为虚数单位，复数，则（    ）． A． B． C． D．的虚部为 【答案】AC 【解析】，，故A正确； ，，故B错误； ，故C正确； ，的虚部为，故D错误. 故选：AC 12．（多选题）（2025·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【解析】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 13．（2025·高三·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】因为 所以 故答案为： 14．（2025·高三·河北·期中）若， ． 【答案】 【解析】设，则， ， 又，则， 所以，，即，， 所以， 则． 故答案为：． 15．（2025·高一·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 【答案】 【解析】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 16．（2025·高二·上海嘉定·期末）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 【解析】（1）由已知得､互为共轭复数，设，则， 则，可得， 又因为，即，则， 综合可得，即； （2）根据题意，两点关于轴对称，则， 又为等腰直角三角形，所以， 所以，即，， 根据韦达定理可得， 所以，解得或（舍）， 所以. 17．如图所示，正方形的相对顶点和，求顶点和的坐标． 【解析】由和，可得向量表示的复数为， 因为为正方形，可得， 设，则和表示的复数为， 设 可得， 即，解得，所以； 设 可得， 即，解得，所以. 18．（2025·高三·青海西宁·月考）已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. （2）因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 19．设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 【解析】（1），， ，， ， ，即，解得，即． （2）， ， ，的虚部为0，，该方程无实数解， 不存在实数，使得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 复数的四则运算 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、复数的加减运算 4 知识点二、复数的加减运算的几何意义 4 知识点三、复数的乘除运算 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：复数代数形式的加法与减法运算 6 题型二：复数加减法运算的几何意义探究 6 题型三：复数模的求解与综合应用问题 6 题型四：复数代数形式的乘法运算方法 7 题型五：复数代数形式的除法运算技巧 7 题型六：复数范围内的方程求解问题 7 题型七：求参数问题 8 05 强化训练 9 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、几何意义 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 题型一：复数代数形式的加法与减法运算 【典例1-1】（云南省2025年秋季学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试题）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为 . 【典例1-2】计算： ． 【变式1-1】（2025·高一·上海嘉定·期中）若复数满足，则 . 【变式1-2】（2025·高一·上海浦东新·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 【变式1-3】（2025·高一·北京通州·期中）已知复数，，若为纯虚数，则实数 ． 题型二：复数加减法运算的几何意义探究 【典例2-1】（2025·高一·甘肃白银·期末）若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是 . 【典例2-2】复数对应的点在以两复数，分别对应的点为端点的线段上运动，复数对应的点在以原点为圆心，而且以1为半径的圆上运动，则复数对应的点的轨迹围成的图形面积为 ． 【变式2-1】（2025·高一·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【变式2-2】复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为 ． 【变式2-3】在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为 ． 题型三：复数模的求解与综合应用问题 【典例3-1】（2025·高二·上海嘉定·月考）已知复数，则复数的模 . 【典例3-2】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 满足 ， 则 . 【变式3-1】（2025·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【变式3-2】（2025·高一·北京石景山·期末）已知纯虚数满足，则 ． 【变式3-3】（2025·宁夏银川·模拟预测）在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数的模长是 . 题型四：复数代数形式的乘法运算方法 【典例4-1】（2025·河北邯郸·模拟预测）复数的共轭复数记为，则（    ） A． B． C． D．2 【典例4-2】（2025·高三·江苏·月考）已知复数满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-1】（2025·高三·贵州贵阳·月考）在复平面内，是原点，已知向量，向量对应的复数分别是，，且，则（    ） A． B．1 C．或1 D．0 【变式4-2】复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 【变式4-3】（2025·高三·江苏·月考）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 题型五：复数代数形式的除法运算技巧 【典例5-1】（四川省泸州市2025-2026学年高二期末质量检测数学试题）的虚部为（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·广东·模拟预测）的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高三·河南南阳·期末）设复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ） A． B． C．1 D． 【变式5-2】（2025·高三·安徽·期末）设复数满足，则的实部为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高三·安徽阜阳·月考）若复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 题型六：复数范围内的方程求解问题 【典例6-1】（2025·高三·黑龙江·月考）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高一·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式6-1】（2025·高一·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高一·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·高一·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 题型七：求参数问题 【典例7-1】（2025·高一·浙江·期中）设为虚数单位，且，则 ． 【典例7-2】（2025·高一·广西·月考）已知，则的值为 ． 【变式7-1】（2025·高一·新疆·期中）已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ． 【变式7-2】已知复数，，若，则实数的取值范围为 ． 【变式7-3】实数x，y满足，且，则的值是 . 1．（2025·湖南长沙·二模）已知，则（ ） A． B． C． D．40 2．（2025·高三·河南焦作·月考）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（北京市西城区2026届高三期末考试数学试题）复数的模等于（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（北京市石景山区2026届高三期末考试数学试题）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昭通·模拟预测）设i为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2025·高三·辽宁沈阳·期末）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·吉林四平·月考）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025·新疆·二模）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数的虚部为（    ） A． B．7 C． D． 9．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数，，为虚数单位，若为纯虚数，则（   ） A． B．6 C．－6 D． 10．（多选题）（2025·高一·江苏南通·期末）已知复数所对应的向量分别为，，其中为坐标原点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（多选题）（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知i为虚数单位，复数，则（    ）． A． B． C． D．的虚部为 12．（多选题）（2025·吉林白山·一模）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 13．（2025·高三·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则 ． 14．（2025·高三·河北·期中）若， ． 15．（2025·高一·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为 . 16．（2025·高二·上海嘉定·期末）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 17．如图所示，正方形的相对顶点和，求顶点和的坐标． 18．（2025·高三·青海西宁·月考）已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 19．设复数，，其中． (1)若，求的值； (2)探究是否存在，使得，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $