直线和圆方程的应用讲义-2025-2026学年高二上学期数学期末专题复习

高二期末专题复习 直线和圆方程的应用 考向阐述 直线和圆是解析几何所研究的最简单图形，它们的方程及其应用是解析几何学习中最基本的初步知识，也是进一步研究圆锥曲线的基础内容.纵观历年高考试题，这部分内容主要以选择题与填空题的形式出现，解答题中常常会与椭圆、抛物线相结合进行考查.圆的方程、直线与圆的位置关系是高考的重要考点，也是被命题者所特别青睐的考试热点，试题主要考查:判断直线与圆的三种位置关系——相离、相切、相交；运用三种位置关系求参数的值或取值范围；直线与圆相交时，求弦长、弦的中点及轨迹问题等.以上这些考题既考查对基础知识的掌握情况，又考查对综合数学核心素养的运用能力. 考题展示与解析 例1.(1)已知点,点在圆:上运动,则直线的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. (2)若是圆:的内接三角形,且,,则线段的中点的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 解析:(1)圆方程化为,则圆心,半径.设过点的直线的斜率为,则直线方程为,由于直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离,解得或.故选C. (2)设线段的中点为,连接.因,,由图形分析可知与均是边长为的正三角形,易得,即线段的中点的轨迹是以为圆心,为半径的圆.故线段的中点的轨迹方程为.故选D. 例2.(1)已知直线:,:，则“”是“”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知点是轴对称点，则对称轴方程是 ( ) A. B. C. D. 解析:(1)若,则且,解得或；所以“”是“”的必要不充分条件.故选B. (2)因，则线段的中垂线的斜率，而的中点，由点斜式易得线段的中垂线方程为.故选C. 例3.已知圆:,圆:,若分别是圆上的动点,为轴上的动点.则当取得最小值时，点的坐标为 . 解析:由条件知两圆的圆心，半径.作圆心关于轴的对称点,连接与轴交于点,根据平面几何知识并结合图形 ,当且仅当与重合时取等号.故得 ；此时三点共线，易求出直线的方程为,令,得,得所求的点坐标为.故填. 例4.过点作圆的弦.(1)求最长弦与最短弦所在的直线方程;(2)试问弦长为整数的弦共有几条?请说明理由. 解析:(1)将圆化标准方程为，设圆心.易知点在圆的内部，在过点的所有弦中，其中最长弦为直径,而最短弦是与垂直的弦.因为，而.由直线的点斜式可得最长弦所在直线方程为,最短弦所在直线方程为. (2)由(1)知圆心到直线的距离，而圆的半径.则最短弦的长为,最长弦的长为.因此，弦长为的弦有条,弦长为的弦有条,故弦长为整数的弦共有条. 例5.已知圆经过两点，且在轴上截得的线段长为，半径小于. (1)求直线的方程与圆的方程；(2)若直线，且与圆交于两点，且，求直线的方程. 解析:(1)依题意，得直线方程为,即.由于圆心在弦的中垂线,即上,可设圆心,则有,又因为,以上两式消去可得,解得或,于是得或(舍去),而,故圆的方程为.综上,方程为,圆方程为. (2) 设；又因直线,设为，代入圆方程中整理得.由韦达定理得,且.由,知(或)，即得,又,从而得，代入化简得,解得或，它们均满足.故所求直线的方程为或. 例6.已知是圆:上任意一点.(1)求的最值；(2)求的最值；(3)求最值. 【解析】(1)设,得,它表示一条直线方程.依题意知直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离,即,解得.故的最小值为,最大值为. (2)设，即表示一条直线方程.依题意知直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离,解得.故,. (3)因为表示,结合图形知,则.故,. 考题精选与演练 1.若直线始终平分圆的周长,则的最小值为( ) A. B. C. D. 2.经过直线:和交点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线:，直线与抛物线交于两点(不同于原点)，以为直径的圆过坐标原点，则对直线判断正确的结论是（ ） A.过定点 B.过定点 C.过定点 D.过定点 4.已知圆与直线相交于两点，则当的面积最大时，实数的值为 . 5.在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程；(2)设圆与轴相交于两点，圆内的动点满足成等比数列,求的取值范围. 6.过圆：外一点，作圆的两条切线，切点分别是.(1)求直线的方程；(2)求的面积. 7.(1)设，判断直线与圆的位置关系；(2)已知直线方程为，圆方程为;若圆上到直线的距离等于的点有且仅有个,求实数的取值范围. 8.自点发出的光线射到轴上的点,再经轴反射后光线与圆：相切，切点为.(1)求光线所在直线的斜率；(2)求光线从点到切点所走过的路程. 演练题答案与解析 1.C 将圆方程化为，得圆心.由于直线平分圆的周长,知直线过圆心，可得.则 ，当且仅当,且,解得时取等号,得的最小值为.故选C. 2.D 当时，由和相乘消去得.又因当时，为，为，它们的交点为；但直线不可能过点，即.故选D. 3.D 因直线轴,故设直线为，交点；将方程代入中,可得,由韦达定理,而;又因为以为直径的圆过坐标原点，则，得；从而知直线恒过定点.故选D. 4.法1:易知圆心到直线的距离，弦长，故 ，当且仅当时，即时等号成立，即当的面积最大时，实数的值为. 法2:因圆心到直线的距离,且半径;而,当时取最大值;由，解得. 5.解:(1)依题意,原点到直线的距离,则圆方程为. (2) 由,令得,即;设,由成等比数列,得,化简整理得;而;由于点在圆内部，则，由此得,故的取值范围. 6.解:(1)依题意知，可得，.于是以为圆心，以长为半径的圆方程为,化一般式为 ①；又圆方程为 ②；将②-①化简得两圆公共弦所在的直线方程为. (2)法1:由点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离，则，从而得的面积. 法2:由等面积法知,得，则到直线的距离.故的面积. 7.解:(1)由于，且圆心到直线的距离，圆半径.则，即，故直线与圆相离. (2)将圆方程化为,则圆心，半径，圆心到直线的距离.因圆上到直线的距离等于的点有且仅有个，则必有，解得或为所求实数的取值范围. 8.解：(1)如图,将圆化标准方程为,易得圆关于的对称圆的方程为.设光线所在直线的斜率为,则的方程为,即.由题意及光学原理知直线与圆相切,则圆心到直线的距离,即,解得或为所求. (2)由平面几何知识，光线从点到切点所走过的路程等于圆的切线的长.易得，且,故为所求的路程. 学科网（北京）股份有限公司 $